安徽省懷遠(yuǎn)第三中學(xué) (郵編：233400)

一節(jié)“內(nèi)容簡(jiǎn)單”課的教學(xué)思考

安徽省懷遠(yuǎn)第三中學(xué)宋在馥(郵編：233400)

學(xué)校舉行青年教師匯報(bào)課活動(dòng)，委托筆者出題，我指定的是北師大版數(shù)學(xué)必修(1)第一章《集合》的最后一節(jié)《全集與補(bǔ)集》， 提前2個(gè)小時(shí)供題，無(wú)材料備課，我也作為評(píng)委參加聽(tīng)評(píng)課.

有位年青教師教材很熟，簡(jiǎn)單地看看課本，很快地完成教學(xué)設(shè)計(jì).開(kāi)始上課，他先是從生活中舉一些例子，設(shè)置全集與補(bǔ)集的情境，又別出心裁地拿出一塊方紙，說(shuō)是全集U，從中撕下一塊說(shuō)是集合A，剩下的部分即為補(bǔ)集UA，生動(dòng)地說(shuō)明了全集U的子集A的補(bǔ)集的定義，以及集合表示UA={x|x∈U且x?A}，并輕松地得出結(jié)論A∪(UA)=U.

教材中的概念部分就是這些，下面是兩道例題.

例3試用集合A、B的交集、并集、補(bǔ)集分別表示圖1中I、II、III、IV四個(gè)部分所表示的集合，答案是：

Ⅰ部分：A∩B；

Ⅱ部分：A∩(UB)；

Ⅲ部分：B∩(UA)；

Ⅳ部分：U(A∪B)或(UB)∩(UA)．

例4設(shè)全集為R，A={x|x<5}，B={x|x>3}．求：

(1)A∩B； (2)A∪B；

老師采用取學(xué)生自己求解，合作交流，成果展示，集體評(píng)議的方式，很快地把這兩個(gè)例題干脆利索地解決了，同時(shí)還讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)了兩組結(jié)論：

然后學(xué)生們總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)，最后做了幾道練習(xí)作為學(xué)習(xí)效果的檢測(cè).從對(duì)學(xué)生的檢測(cè)結(jié)果上看，學(xué)生學(xué)得比較好，還剩有時(shí)間.老師又機(jī)智地安排了幾道題讓學(xué)生練習(xí)，要求同位之間相互檢查，最后分小組匯報(bào)結(jié)果.所有的程序進(jìn)行完畢，下課鈴聲響起，同時(shí)響起的還有熱烈的掌聲，鼓掌的有學(xué)生更有老師.

隨后是評(píng)課，老師們較為一致的評(píng)價(jià)是：這節(jié)課內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，不利于老師發(fā)揮，不過(guò)能上成這種效果，已經(jīng)難能可貴了.從學(xué)生的檢測(cè)結(jié)果與課堂的學(xué)習(xí)氛圍來(lái)看，是一節(jié)非常成功的課，不要說(shuō)是青年教師，就是資深教師也不過(guò)如此.大家講完后，目光齊聚向我這個(gè)出題人，我便談了如下的看法，實(shí)際上也是對(duì)如何用教材教的思考.

指定《全集·補(bǔ)集》作為課題，有點(diǎn)出乎預(yù)料，以往大致都是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、余弦定理、正弦定理、三角函數(shù)圖象、等差等比數(shù)列、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程等作為課題.而這節(jié)從教材上看確實(shí)簡(jiǎn)單，兩個(gè)概念，內(nèi)容敘述不足300字.兩個(gè)例題，也較容易解答，確實(shí)是大家平時(shí)所講的“沒(méi)有什么好講”的課.這節(jié)課如大家所評(píng)，是一節(jié)非常成功的課.我們是否就到此為止，能不能再有深入的思考？如果還想提高課的質(zhì)量，提升課的品位，就讓我們回顧一下《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的第二部分“課程目標(biāo)”，具體目標(biāo)有六個(gè)部分，其中第六部分：“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值.形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹(shù)立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀.”

我們的每一節(jié)課，應(yīng)該盡可能多的達(dá)成所列的目標(biāo).這節(jié)課所完成的僅僅是基本目標(biāo)，或說(shuō)初級(jí)目標(biāo)，底線目標(biāo).現(xiàn)在我們一起再來(lái)分析一下教材，看看還可以挖掘出哪些寶藏：

1 關(guān)于定義所得結(jié)論的哲學(xué)意義：

由補(bǔ)集定義不難得出：A∪(UA)=U，

A∩(UA)=?

①

②

對(duì)結(jié)論②引發(fā)思考：我們以往知識(shí)中有類似的結(jié)論嗎？這就進(jìn)入了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).學(xué)生容易想到，相反數(shù)的相反數(shù)是其本身，倒數(shù)的倒數(shù)是其本身，這也體現(xiàn)了辯論法的三大規(guī)律之一，“否定之否定”規(guī)律.由此啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到A∩(UA)=?是“對(duì)立”，A∪(UA)=U是“統(tǒng)一”，體現(xiàn)了辯證法的“對(duì)立統(tǒng)一”規(guī)律.這既有了哲學(xué)思辨，又有了文化價(jià)值，還體會(huì)到審美意義.

同時(shí)，數(shù)學(xué)中的反證法和計(jì)算中的“正難則反”技巧，都有補(bǔ)集內(nèi)容作理論基礎(chǔ).

2 關(guān)于例3的結(jié)論在分類方面的應(yīng)用價(jià)值

對(duì)于例3可以得到這樣的結(jié)論，設(shè)A、B是全集U的兩個(gè)子集，那么可以將全集分成不重不漏的四個(gè)部分：A∩B，A∩(UB)，B∩(UA)，(UA)∩(UB).

這個(gè)結(jié)論有很高的應(yīng)用價(jià)值，有了全集U不重不漏的四塊分割，確實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分類討論，有一種潛在的指導(dǎo)意義.比如：

某小組有6個(gè)人，選派3名去參加青年志愿者活動(dòng)，要求甲乙不同時(shí)去，問(wèn)有多少種選派方法.

此時(shí)這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用價(jià)值就體現(xiàn)出來(lái)了，先將選派方法分類：甲去且乙去，甲去且乙不去，乙去且甲不去，甲不去且乙不去.恰好對(duì)應(yīng)上述全集U的四個(gè)部分.而甲乙不同時(shí)去恰好包含后三類，可采用“正繁則反”的方法計(jì)算.

有些雖然不是嚴(yán)格意義上的與此對(duì)應(yīng)，但從分類的思維上卻是相似的，有借鑒和啟發(fā)作用.

比如，做題中常涉及到的不等式成立問(wèn)題，有以下結(jié)論f(x)、g(x)均存在最值：

?x1∈M，?x2∈N，使f(x1)≤g(x2)成立?f(x)max≤g(x)min；

?x1∈M，?x2∈N，使f(x1)≥g(x2)成立?f(x)min≥g(x)min；

?x1∈M，?x2∈N，使f(x1)≥g(x2)成立?f(x)min≥g(x2)max；

?x1∈M，?x2∈N，使f(x1)≤g(x2)成立?f(x)max≤g(x2)min.

如對(duì)函數(shù)按奇偶性分類，便有奇函數(shù)和偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)四類.

對(duì)兩個(gè)命題從充分條件與必要條件上厘清關(guān)系，可以分成“充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分也不必要條件”四種.如要做|x|+|y|=1的圖象，可按“x≥0且y≥0，x≥0且y<0，x<0且y≥0，x<0且y<0”等四種情況討論.

再如企業(yè)對(duì)人才的分類：以“德”與“才”為標(biāo)準(zhǔn)可以將員工分成四類：有德有才的，有德無(wú)才的，有才無(wú)德的，無(wú)才無(wú)德的.這分類以后，就可以排等次，選擇使用.

我們平時(shí)常講，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，能在全集U不重不漏的四塊分割啟發(fā)下，迅速準(zhǔn)確分類，就是數(shù)學(xué)意識(shí)增強(qiáng)的表現(xiàn).

3 關(guān)于例4的兩結(jié)論的理性精神

觀察計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)論：

這個(gè)結(jié)論是對(duì)計(jì)算結(jié)果的一種猜想，課本上的習(xí)題，要求用Venn圖來(lái)分析說(shuō)明.無(wú)論是對(duì)計(jì)算結(jié)果的猜想，還是用Venn圖觀察，都算不上嚴(yán)格的證明.實(shí)際上完全可以應(yīng)用交集，并集與補(bǔ)集的定義來(lái)證明.

證明?x∈U(A∩B)，則x?(A∩B)，必有x?A或x?B，

那么x∈UA或x∈UB故x∈(UA)∪(UB).

所以U(A∩B)?(UA)∪(UB).

對(duì)?x∈(UA)∪(UB)，則x∈(UA)或x∈(UB)故x?A或x?B.

從而x?(A∩B)，故x?∪(A∩B).

故(UA)∪(UB)?U(A∩B)，

同理可證：

學(xué)生在解此題時(shí)，答案不外乎兩種：{x|x≠-1或x≠3}或{x|x≠-1且x≠3}，

我們多次糾正，總還會(huì)出答案是{x|x≠-1或x≠3}的錯(cuò)誤，這是受了解方程x2-2x-3=0，x1≠-1或x=3的負(fù)遷移.如果不從根本上講清，以后還會(huì)再犯這樣錯(cuò).運(yùn)用上述公式，恰好可以清晰地說(shuō)明錯(cuò)誤的根源.記A={x|x≠-1}，B={x|x=3}，M={x|x2-2x-3=0}=A∪B，{x|x2-2x-3≠0}=RM=R(A∪B)=(RA)∩(RB)={x|x≠-1}∩{x|x≠3}={x|x≠-1且x≠3}，聯(lián)詞是“或”還是“且”便真相大白，如此才能做到真正地理解，做出的判斷才是理性的.

4 關(guān)于備課和上課的思考與建議

以上是對(duì)這節(jié)課的一些思考，當(dāng)然并不是要求教師在課堂上把這些內(nèi)容當(dāng)做教學(xué)任務(wù)來(lái)完成，只想讓大家感到，不能僅僅從教材的形式上去判斷內(nèi)容的簡(jiǎn)單與復(fù)雜，淺顯與深?yuàn)W.教材僅僅是一個(gè)范本，需要我們?nèi)ァ坝媒滩慕獭倍皇恰敖探滩摹?，至少我們備課時(shí)要想到這些或更多.課堂教學(xué)中，盡可能地去啟發(fā)學(xué)生，探及到這些，以期有更多更好的生成.因此在備課中，應(yīng)該熟悉新課程標(biāo)準(zhǔn)中的十大基本理念和六大課程目標(biāo)，于是有以下建議：

(1)確定合理的教學(xué)目標(biāo).這一點(diǎn)最受重視而常常又被忽視，因?yàn)楝F(xiàn)在有了三維目標(biāo)的要求，因此教案上必有這“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”和“情感態(tài)度與價(jià)值觀”，卻常常又是大而空.課堂上看似有目標(biāo)，實(shí)際是信馬由僵.應(yīng)根據(jù)課標(biāo)中的六大課程目標(biāo)，以及學(xué)生核心素養(yǎng)指標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，確立“具體、明晰、可實(shí)現(xiàn)”的目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)既能指導(dǎo)課堂教學(xué)，又利于檢測(cè)達(dá)成度.

(2)充分地利用教材.教材是一個(gè)檸檬，需要老師把它做成檸檬水.過(guò)去對(duì)教材的分析，只在數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論及函數(shù)與方程的思想及方法層面.現(xiàn)在提倡的是“具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎的思維習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.”要求將教材的效益最大化，因此要在課程理念的指導(dǎo)下，根據(jù)課程目標(biāo)，去充分地挖掘教材.

(3)機(jī)智地調(diào)控課堂.課堂是可預(yù)設(shè)但不可預(yù)知的.通過(guò)過(guò)程，完成“知識(shí)與方法”的教與學(xué)，進(jìn)一步地去達(dá)成“情感態(tài)度與價(jià)值觀”層面的目標(biāo)，這是預(yù)設(shè)，當(dāng)然可能會(huì)出現(xiàn)“意外”.比如學(xué)生在基礎(chǔ)學(xué)習(xí)上出現(xiàn)障礙，那我們的目標(biāo)可以削減，內(nèi)容可以“裁軍”.比如證明結(jié)論U(A∪B)=(UA)∩(UB)，并不是預(yù)設(shè)的內(nèi)容，而課堂上學(xué)生對(duì)此深感興趣，那么我們不妨調(diào)整內(nèi)容，與學(xué)生一塊做一次“探索與發(fā)現(xiàn)”.比如，學(xué)生受例3中的U的子集A與B將U分成不重不漏的四個(gè)部分的啟發(fā)，大家在尋找例子上樂(lè)此不疲，積極性空前高漲，我們可以放棄其他內(nèi)容，讓學(xué)生做一次“知識(shí)大搜尋”.課堂調(diào)控應(yīng)堅(jiān)持一個(gè)原則，凡是有利于培養(yǎng)學(xué)生能力與意識(shí)的生成都是有價(jià)值的.

海爾集團(tuán)總裁張瑞敏有言：簡(jiǎn)單的事情做好了就是不簡(jiǎn)單.

1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材《數(shù)學(xué)》(必修1)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社

2 中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社

2017-03-26)