周香英, 潘 堅(jiān)(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 贛州 341000)

混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下冪型期權(quán)的定價(jià)

周香英, 潘 堅(jiān)
(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 贛州 341000)

文章假定原生資產(chǎn)的價(jià)格和利率的隨機(jī)過程服從混合分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng),利用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖技術(shù)和偏微分方程方法得到了混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下冪型期權(quán)的定價(jià)公式,推廣了相應(yīng)基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)定價(jià)公式和基于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)定價(jià)公式。

分?jǐn)?shù)維Hull-White模型;冪型期權(quán);偏微分方程方法;期權(quán)定價(jià)

0 引 言

期權(quán)是一種選擇權(quán),它賦予持有者未來以事先約定的價(jià)格購買或出售某種資產(chǎn)的權(quán)利。自從1973年Black和Scholes提出著名的B-S期權(quán)定價(jià)公式以來，期權(quán)定價(jià)已成為金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)。伴隨著期權(quán)交易在世界各地的迅速發(fā)展,不僅期權(quán)交易量迅速擴(kuò)大,交易品種也不斷增加,在傳統(tǒng)合約的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了許多新型期權(quán)。冪型期權(quán)就是其中的一種,即其到期收益為原生資產(chǎn)價(jià)格的冪函數(shù)或者是以多項(xiàng)式的形式給出的期權(quán),不再是原生資產(chǎn)價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格之間的價(jià)差,而是原生資產(chǎn)價(jià)格的某個(gè)指數(shù)冪函數(shù)與執(zhí)行價(jià)格的關(guān)系。在到期收益中,如果原生資產(chǎn)價(jià)格的冪大于1時(shí),期權(quán)價(jià)格高于相應(yīng)歐式期權(quán)的價(jià)格,對(duì)于期權(quán)的賣方來說就增加了收益。因此,冪型期權(quán)在期權(quán)市場(chǎng)受到不少投資者的青睞。

近年來,眾多學(xué)者[1-2]在經(jīng)典Black-Scholes框架下研究?jī)缧推跈?quán)的定價(jià)。經(jīng)典的B-S期權(quán)定價(jià)公式是建立在有效市場(chǎng)假設(shè)之下,認(rèn)為原生資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)是相互獨(dú)立的。但是對(duì)股票市場(chǎng)的大量實(shí)證研究[3-6]表明:原生資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率并非服從正態(tài)分布,而是服從一種“尖峰厚尾”的分布,且原生資產(chǎn)之間也并非隨機(jī)游走,而是存在著長(zhǎng)期相關(guān)性。為此,文獻(xiàn)[7]提出了分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng),其能夠有效地描述金融資產(chǎn)的自相似性、后尾性、長(zhǎng)期相關(guān)性等特征,成為修正傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型的合適工具。但分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)既不是Markov過程,也不是半鞅,因此不能應(yīng)用通常的隨機(jī)計(jì)算理論來研究金融資產(chǎn)的價(jià)格過程。為了使分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)能夠順利地應(yīng)用于金融市場(chǎng),有不少學(xué)者做了大量有關(guān)分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)積分理論方面的基礎(chǔ)性工作。文獻(xiàn)[8]建立了分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的路徑依賴型積分,但是隨后文獻(xiàn)[9]證明了按照該路徑依賴型隨機(jī)積分建立的金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型存在套利機(jī)會(huì),這使得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)似乎不適合用于刻畫股票價(jià)格變化的行為模式。因此,為了消除套利機(jī)會(huì)同時(shí)反映金融時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性等性質(zhì),眾多學(xué)者建議使用混合分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)(分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)中再加入布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行混合)作為噪聲來驅(qū)動(dòng)市場(chǎng)。文獻(xiàn)[10]證明了當(dāng)赫斯特指數(shù)H∈(3/4,1)時(shí),混合分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),此時(shí)市場(chǎng)是無套利的。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用Wick積分和分?jǐn)?shù)白噪聲理論定義了一種關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分,即Wick-Ito型隨機(jī)積分,并證明了在該積分框架下,當(dāng)H∈(3/4,1)時(shí),金融市場(chǎng)是無套利且完備的。文獻(xiàn)[12]應(yīng)用Wick-Ito型隨機(jī)積分得到了歐式期權(quán)的定價(jià)公式和相應(yīng)的套期保值策略。此后,許多學(xué)者在混合分?jǐn)?shù)維期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域開展了研究[13-16],但在混合分?jǐn)?shù)維隨機(jī)利率模型下研究期權(quán)定價(jià),特別是冪型期權(quán)的研究文獻(xiàn)并不多。

本文在假定原生資產(chǎn)的價(jià)格和利率的隨機(jī)過程服從混合分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)下,首先利用Kolmogorov倒向隨機(jī)微分方程的知識(shí)和Feynman-Kac公式導(dǎo)出混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下零息票債券的定價(jià)公式。然后,利用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖技術(shù)、Wick-Ito型隨機(jī)積分和偏微分方程方法得到混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下冪型期權(quán)的定價(jià)公式,推廣了相應(yīng)基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)定價(jià)公式和基于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)定價(jià)公式,使應(yīng)用更為廣泛。

1 預(yù)備知識(shí)與基本假設(shè)

1.1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)(Ω,F,P)為一個(gè)概率空間,對(duì)于H∈(0,1),分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){BH(t),t∈R}是指滿足如下條件的隨機(jī)過程:

BH(0,w)=0, ?w∈Ω

(1)

(2)

(3)

(3)式表明標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的一種特殊情況。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的一些性質(zhì)及其證明參考文獻(xiàn)[11-13]。下面給出建立模型的一些必要基本假設(shè)。

1.2 基本假設(shè)

(1) 市場(chǎng)利率由混合分?jǐn)?shù)維Hull-White隨機(jī)利率模型給出，即

drt=[a(t)-b(t)rt]dt+

(4)

當(dāng)β1=0,α1≠0時(shí),(4)式為經(jīng)典的Hull-White隨機(jī)利率模型;當(dāng)α1=0,β1≠0時(shí),(4)式為分?jǐn)?shù)維Hull-White隨機(jī)利率模型。

(2) 原生資產(chǎn)(股票)的價(jià)格遵循如下混合分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng):

dSt=St[(μt-glnSt)dt+

(5)

當(dāng)g=0,β2=0,α2≠0時(shí),(5)式為經(jīng)典的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型。從模型假設(shè)(1)和假設(shè)(2)可以看出,本文后面的結(jié)論推廣了相應(yīng)文獻(xiàn)的結(jié)論。

(4) 原生資產(chǎn)連續(xù)支付紅利,紅利率為q(t)。

(5) 市場(chǎng)無摩擦,即不支付交易費(fèi)和稅收,考慮的市場(chǎng)是無套利市場(chǎng)。

2 零息票債券的定價(jià)公式

在利率衍生物的定價(jià)中,零息票債券的價(jià)格通常作為一個(gè)計(jì)價(jià)單位,通過該計(jì)價(jià)單位可以達(dá)到降維的目的,因此,本文首先給出零息票債券的定價(jià)公式。

引理1 在混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下,到期日為T的零息票債券在t∈[0,T]的值可以表示為：

P(r,t)=eA1(t)-A2(t)r

(6)

其中

；

證明 由于利率的隨機(jī)性,t時(shí)刻零息票債券的值可以表示為:

(7)

利用Kolmogorov倒向隨機(jī)微分方程的知識(shí)和Feynman-Kac公式,可以得到:

(8)

注意到在經(jīng)典Hull-White利率模型下零息票債券的值通常有仿射結(jié)構(gòu)解,為此令:

P(r,t)=exp[A1(t)-A2(t)r]

(9)

其中,A1(t)、A2(t)為待定的函數(shù)且A1(T)=0,A2(T)=0。將(9)式代入(8)式,可以得到如下定解問題:

(10)

(11)

利用變量分離的方法可以得到(10)式和(11)式的解,即

(12)

(13)

因此,引理1得證。

3 冪型期權(quán)的定價(jià)公式

3.1 期權(quán)定價(jià)模型

下面利用分?jǐn)?shù)維Ito公式、風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖技術(shù)和無套利原理推導(dǎo)出混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下的期權(quán)定價(jià)模型。

在時(shí)間段(t,t+dt)作一個(gè)投資組合Π,使得Π在該時(shí)間段內(nèi)無風(fēng)險(xiǎn),其中Π是由一份歐式期權(quán)V=V(S,r,t)、Δ1份的股票S和Δ2份的零息票債券P=P(r,t)空頭組成,即

Π=V-Δ1S-Δ2P

(14)

因此,在(t,t+dt)時(shí)間段內(nèi)Π的收益為:

dΠt=dVt-Δ1dSt-Δ1q(t)Stdt-Δ2dPt

(15)

(16)

根據(jù)無套利原理[1],有

(17)

注意到零息票債券的價(jià)格P在混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下滿足如下偏微分方程:

(18)

因此,將(18)式、(16)式代入(17)式,可以得到混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下股票期權(quán)V滿足的偏微分方程:

從V滿足的偏微分方程可以看出,V的值與原生資產(chǎn)的收益率無關(guān)。因此,為了確定期權(quán)的價(jià)格(以看漲期權(quán)為例),就要在區(qū)域Σ:{0≤S<+∞,-∞≤r<+∞,0≤t≤T}上求解如下定解問題:

(19)

3.2 期權(quán)定價(jià)公式

下面利用函數(shù)變換技巧和偏微分方程方法得到定解問題(19)式的解析解。

定理1 混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下的冪型看漲期權(quán)定價(jià)公式為:

(20)

其中

(21)

其中

為了求解(21)式,作如下自變量和函數(shù)變換:

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算后,(21)式可化為如下定解問題:

(22)

由Poisson公式[17]得(22)式的解為:

(23)

(24)

經(jīng)過一系列的上述變換回到原變量和原函數(shù),定理1得證。用完全類似的方法,可以得到混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下的冪型看跌期權(quán)定價(jià)公式。

推論1 混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下的冪型看跌期權(quán)定價(jià)公式為:

(25)

(1) 當(dāng)n=1時(shí),定理1和推論1是非常熟悉的支付紅利的歐式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式。

(2) 當(dāng)n=2時(shí),定理1和推論1是平方期權(quán)的定價(jià)公式。

4 數(shù)字冪型期權(quán)的定價(jià)公式

本文運(yùn)用定理1的方法給出數(shù)字冪型期權(quán)的定價(jià)公式。

定義3 數(shù)字冪型期權(quán)在到期日T的收益函數(shù)為如下2種[6]:

(26)

其中,1{·}為示性函數(shù)。

因此,混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下數(shù)字冪型期權(quán)的定價(jià)問題就是在區(qū)域Σ:{0≤S<+∞,-∞≤r<+∞,0≤t≤T}上求解如下定解問題(以第一類數(shù)字冪型期權(quán)為例):

(27)

定理2 混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下,第一類數(shù)字冪型期權(quán)的定價(jià)公式為:

(28)

其中

其他參數(shù)見定理1。

證明 完全類似證明定理1的方法,作如下代換:

通過較為繁瑣的計(jì)算后,(27)式可化為:

(29)

由Poisson公式[17]得(29)式的解為:

(30)

其中

完全類似I1的求解,有

N(d3)

(31)

(32)

經(jīng)過一系列的上述變換回到原變量和原函數(shù),定理2得證。用完全類似的方法,可以得到第二類數(shù)字冪型期權(quán)的定價(jià)公式。

推論2 混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下,第二類數(shù)字冪型期權(quán)的定價(jià)公式為:

其中

其他參數(shù)見定理1。

5 結(jié) 論

在期權(quán)市場(chǎng)上,原生資產(chǎn)價(jià)格的行為模式是期權(quán)定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)。此外,利率作為金融市場(chǎng)上的一個(gè)重要因素,所有的證券價(jià)格及收益率都與之相關(guān)。因此,本文在混合分?jǐn)?shù)維Hull-White利率模型下,利用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖技術(shù)、無套利原理和偏微分方程函數(shù)變換法得到了股價(jià)基于混合分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)的定價(jià)公式,推廣了相應(yīng)基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)定價(jià)公式和基于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的冪型期權(quán)定價(jià)公式,這不僅為投資者提供了一種確定期權(quán)價(jià)格的方法和控制投資風(fēng)險(xiǎn)的手段,而且豐富了現(xiàn)有的期權(quán)定價(jià)理論。

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(責(zé)任編輯 張 镅)

Pricing of power options based on mixed fractional Hull-White interest rate model

ZHOU Xiangying, PAN Jian
(School of Mathematics and Computer Science， Gannan Normal University， Ganzhou 341000， China)

Under the framework of the underlying asset price and the stochastic interest rate obeying the mixed fractional Brownian motion， the pricing formulas for power options based on the mixed fractional Hull-White interest rate model are obtained by using the risk hedge technique and partial differential equation methods， which generalize the corresponding pricing formulas based on the geometric Brownian motion setting and the fractional Brownian motion setting.

fractional Hull-White model; power option; partial differential equation method; option pricing

2015-12-07；

2016-03-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11501125);江西省自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(20151BAB201010)

周香英(1980-),女，江西吉水人，贛南師范大學(xué)講師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.06.024

F830.9

A

1003-5060(2017)06-0847-07