劉俊利, 賈 瀅, 張?zhí)?.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 70048; .長安大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 70064)

僅食餌有病的生態(tài)傳染病模型的全局性態(tài)分析

劉俊利1, 賈 瀅1, 張?zhí)?
(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048; 2.長安大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710064)

文章研究了僅食餌有病的捕食-食餌傳染病模型的全局動力學(xué)行為。根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)、Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變集原理,得到無病平衡點(diǎn)、邊界平衡點(diǎn)與正平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性。數(shù)值模擬給出了正平衡點(diǎn)處Hopf分支的存在性。

捕食-食餌模型;平衡點(diǎn);全局穩(wěn)定性;Hopf分支

近年來,以Lotka和Volterra為代表的種群動力學(xué)和以Kermack及Mckendrick為代表的流行病動力學(xué)已經(jīng)有了相當(dāng)大的發(fā)展,而將兩者結(jié)合建立生態(tài)傳染病模型則更具有實(shí)際意義。其中,食餌有病的生態(tài)傳染病模型引起了許多學(xué)者的關(guān)注,并取得了一些研究結(jié)果[1-7]。

文獻(xiàn)[8-9]相繼研究了兩類疾病僅在食餌中傳播的捕食者-食餌模型,且都給出了正平衡點(diǎn)處分支的存在性。文獻(xiàn)[8]考慮了捕食者的消化時(shí)滯,建立了時(shí)滯微分方程模型;文獻(xiàn)[9]中的捕食-食餌模型采用具有比率依賴的Michaelis-Menten型功能反應(yīng)函數(shù)。文獻(xiàn)[10]研究了具有Holling Ⅱ功能反應(yīng)、脈沖比例收獲和脈沖常數(shù)投放的食餌兩捕食者系統(tǒng)的分支與混沌。

基于以上假設(shè),建立如下捕食-被捕食模型:

(1)

為了研究方便,做以下變換:

同時(shí)用t代替ω,則模型(1)可化為:

(2)

模型(2)的初始條件為:

={(s,i,y)∈R3:s≥0,i≥0,y≥0}。

易證,模型(2)的解總存在且為正。

模型(2)總存在種群消亡平衡點(diǎn)E0(0,0,0)和無病平衡點(diǎn)E1(1,0,0)。

由文獻(xiàn)[9]中引理2.1得到模型(2)的解的有界性。

引理1 假設(shè)系統(tǒng)的初始條件滿足s0+i0≥1，下列結(jié)論有且僅有一個(gè)成立。

(1) 對任意t≥0,有s(t)+i(t)≥1,因此(s(t),i(t),y(t))→E1(1,0,0)。

(2) 存在t1>0,當(dāng)t>t1時(shí),有s(t)+i(t)<1。

因此,若s0+i0<1,則對任意t≥0,有

s(t)+i(t)<1。

由引理1易得系統(tǒng)的正向不變集為:

1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

首先研究平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

(3)

在E0(0,0,0)處,特征方程(3)變?yōu)?

(λ-a1)(λ+b1)(λ+b2)=0。

對應(yīng)的特征根為λ1=-b1,λ2=-b2,λ3=a1>0,則E0不穩(wěn)定。

在E1(1,0,0)處,特征方程(3) 變?yōu)?

(λ+a1)(λ+b1)(λ+b2-1)=0。

顯然,當(dāng)b2>1時(shí),上述特征方程的特征根均具有負(fù)實(shí)部,E1局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)b2<1時(shí),有正的特征根λ=1-b2,則E1不穩(wěn)定。

(λ-e1)(λ2+e2λ+e3)=0

(4)

其中

e2=a1b2λ+a1b2(1-b2);

e3=a1b2(1-b2)。

記方程(4)的特征根為λ1、λ2、λ3,則有:

λ2+λ3=-a1b2,

λ2λ3=a1b2(1-b2)。

當(dāng)b2<1且a1(1-b2)(kl-b1K)-ab1(a1+1)<0時(shí),易知方程(4)的3個(gè)特征根均具有負(fù)實(shí)部,即E2是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)b2<1且a1(1-b2)(kl-b1K)-ab1(a1+1)>0時(shí),λ1>0,因此E2不穩(wěn)定。

綜上所述,有如下定理。

定理1 對模型(1)而言,有以下結(jié)論。

(1)E0(0,0,0)為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

(2) 當(dāng)b2>1時(shí),E1(1,0,0)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)b2<1時(shí)，E1(1，0，0)不穩(wěn)定。

由結(jié)論(3)得,E*(s*,i*,y*)處的特征方程為：

λ3+Q1λ2+Q2λ+Q3=0,

其中

由Routh-Hurwitz判據(jù)知,E*(s*,i*,y*)局部漸近穩(wěn)定的充分必要條件是Q1>0,Q3>0,Q1Q2-Q3>0。由Q1、Q2、Q3的表達(dá)式知Q3>0,而Q1、Q2的符號不確定。因此,E*(s*,i*,y*)的局部穩(wěn)定性不能確定。由第2部分的數(shù)值模擬可以看到,在正平衡點(diǎn)E*(s*,i*,y*)處會出現(xiàn)Hopf分支現(xiàn)象。

下面研究平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

定理2 當(dāng)b2≥1時(shí),無病平衡點(diǎn)E1(1,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 令

考慮如下Liapunov函數(shù):

L1=s-1-lns+i。

由模型(2)得：

L1′=-a1(1-s)(1-s-i)+(1-b2)i-

當(dāng)b2≥1時(shí),L1′≤0且L1′=0當(dāng)且僅當(dāng){(s,i)|(s,i)=(1,0)}。

定理3 若b2<1且kl

證明 由模型(2)的第3式得:

由模型(2),當(dāng)t>t1時(shí),有

(5)

和

(6)

考慮輔助方程組:

(7)

易知方程組(7)有一個(gè)正平衡點(diǎn):

且(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的。因此,由比較原理得:

再考慮輔助方程組:

(8)

方程組(8)有一個(gè)正平衡點(diǎn):

且(u*,v*)是全局漸近穩(wěn)定的。根據(jù)比較原理得:

由η的任意性,有

因此,當(dāng)t→∞時(shí),有

下面給出正平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。

定理4 若s+s*≥1,且滿足如下條件:當(dāng)

證明 令

則

因?yàn)?/p>

+(a1+1)b2i*-(a1+1)si*+

所以

故在題設(shè)條件下得L2′≤0,即E*全局漸近穩(wěn)定。

2 數(shù)值模擬

在第1節(jié)中,正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性沒有得到解決;本節(jié)從數(shù)值上證明:在一定情形下,正平衡點(diǎn)處會出現(xiàn)Hopf分支現(xiàn)象。

圖1 模型(2)的解關(guān)于時(shí)間t的曲線

3 結(jié) 論

本文討論了一類僅食餌有病的生態(tài)傳染病模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性。通過分析特征方程,由Routh-Hurwitz判據(jù)討論了無病平衡點(diǎn)和邊界平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性;利用Lyapunov函數(shù)和比較原理證明了無病平衡點(diǎn)、邊界平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。數(shù)值模擬證明了正平衡點(diǎn)處Hopf分支的存在性。

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(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Global behavior of an eco-epidemic model with disease in the prey

LIU Junli1, JIA Ying1, ZHANG Tailei2
(1.School of Science， Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China; 2.School of Science, Chang’an University, Xi’an 710064, China)

The global behavior of a predator-prey epidemic model with disease in the prey is studied. Based on the Routh-Hurwitz criteria， Lyapunov function and LaSalle invariant set principle， local and global asymptotic stability of the disease-free equilibrium， boundary equilibria and positive equilibrium are derived. The existence of Hopf bifurcation at the positive equilibrium is proved by numerical simulation.

predator-prey model; equilibrium; global stability; Hopf bifurcation

2016-01-22；

2016-05-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11101323);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014JQ1038;2014JQ1018);陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(16JK1331)和西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(CX201608)

劉俊利(1981-),女,河南濮陽人,博士,西安工程大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師; 張?zhí)?1980-),男,湖北松滋人,博士,長安大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.06.026

O175.13

A

1003-5060(2017)06-0860-05