顧海榮

[摘 要] 概念是數(shù)學(xué)知識(shí)大廈的根基，概念教學(xué)的質(zhì)量關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的高低，基于統(tǒng)整理念的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)應(yīng)該對概念本身有多維度的認(rèn)識(shí)，

[關(guān)鍵詞] 整體性；高中數(shù)學(xué)；概念課教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量如何提升？筆者認(rèn)為，應(yīng)該從整體上關(guān)注數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，尤其是“核心概念”的教學(xué). 從數(shù)學(xué)概念出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，是幫助學(xué)生準(zhǔn)確地、系統(tǒng)地領(lǐng)悟高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要源泉，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的重要抓手. 那么，如何統(tǒng)整？如何優(yōu)化我們的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)呢？本文就該話題進(jìn)行簡單的分析.

[?] 多維度對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分析

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)困難在哪里？從教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來看，相當(dāng)一部分學(xué)生存在著對數(shù)學(xué)概念的定義理解不全面，雖然能夠從感性的認(rèn)識(shí)角度對概念有初步的認(rèn)識(shí)，能夠記住概念的文字表征，但是概念本質(zhì)屬性的理解不到位，難以站到整個(gè)數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)之中去聯(lián)系著上、下位關(guān)系去分析數(shù)學(xué)概念，找不準(zhǔn)其在知識(shí)結(jié)構(gòu)中所處的位置，這些認(rèn)知上的缺失導(dǎo)致了學(xué)生在應(yīng)用概念解決實(shí)際問題時(shí)出現(xiàn)了障礙. 筆者認(rèn)為，我們在概念學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該對概念有多個(gè)維度的分析與認(rèn)識(shí).

1. 抓住核心概念這一知識(shí)主線

從高中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性來看，我們的概念并非零散的，彼此之間存在著聯(lián)系，而能夠?qū)⒍鄠€(gè)概念凝聚在一起的那些概念，我們稱之為核心概念. 核心概念是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的“控制中心”，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主要生長點(diǎn)，抓住核心概念由此向外發(fā)散可以滲透數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)體驗(yàn)知識(shí)轉(zhuǎn)化、規(guī)律發(fā)現(xiàn)的過程.

例如，“函數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念顯然是中學(xué)數(shù)學(xué)階段的核心概念，我們以此為主線可以將多個(gè)概念和數(shù)學(xué)思想“統(tǒng)整”過來，從上、下位關(guān)系來看，在“函數(shù)”這個(gè)核心數(shù)學(xué)概念下，冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等多個(gè)具體的下位函數(shù)概念. 我們在課堂教學(xué)中，對于具體的下位概念如何展開教學(xué)，可以從上位概念“函數(shù)”的定義出發(fā)，思考該下位概念所涉及的具體情境，從而引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)其所具有的特征對具體的函數(shù)類型進(jìn)行歸納.

除了上、下位關(guān)系外，我們在教學(xué)過程中還應(yīng)該關(guān)注概念本身所具有的本質(zhì)特征，如該概念具有怎樣的特點(diǎn)？數(shù)學(xué)思想方法如何？能否向外延展和轉(zhuǎn)化？仍以“函數(shù)”為例，“變化”是函數(shù)最為本真的性質(zhì)之一，我們在教學(xué)過程中完全可以引導(dǎo)學(xué)生從“變化”的思想入手對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行觀察、分析，找尋“不變”和“變”，最終在實(shí)現(xiàn)“不變”到“變”的轉(zhuǎn)變過程中認(rèn)識(shí)和理解“單調(diào)性”“奇偶性”等函數(shù)性質(zhì).

2. 抓住核心概念之間的關(guān)聯(lián)

在不具備上、下位關(guān)系的概念之間也是可以有關(guān)聯(lián)的，甚至于在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的多個(gè)核心概念之間也可以具有關(guān)聯(lián). 在教學(xué)過程中注重核心概念之間的關(guān)聯(lián)性，能夠深化理解概念，同時(shí)體驗(yàn)建模這一數(shù)學(xué)化過程.

比如，“函數(shù)”這個(gè)核心概念與高中課程中的多個(gè)核心概念有著關(guān)聯(lián)，如“數(shù)列”這個(gè)概念，我們在教學(xué)過程中如果將其視作為一個(gè)特殊的函數(shù)，我們就可以將函數(shù)的思想方法遷移過來，深化理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)很多的數(shù)列問題也都可以借助于函數(shù)的思想方法來分析、處理和解決.

[?] 從整體的視角厘清概念的發(fā)展脈絡(luò)

既然我們站在整體的角度來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，那么認(rèn)識(shí)概念的上、下位關(guān)系，找到概念之間的關(guān)聯(lián)就不能浮于表面，應(yīng)該站在整體的角度，以關(guān)聯(lián)性為起點(diǎn)對概念間的整體聯(lián)系有一個(gè)結(jié)構(gòu)性的分析.

例如，我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)向量的時(shí)候，就可以以“三角函數(shù)”與“向量”這兩個(gè)概念之間的關(guān)聯(lián)性作為教學(xué)研究的起點(diǎn). 那么，他們之間存在著怎樣的關(guān)聯(lián)呢？

關(guān)聯(lián)1：數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一. “三角函數(shù)”這個(gè)概念，學(xué)生在初中就有所涉及，從數(shù)學(xué)思想方法來看，初中在定義銳角三角函數(shù)時(shí)借助于“長度的比值”，其本質(zhì)即為“互化”——長度與角度的互化，到了高中階段是如何深入研究的呢？借助于坐標(biāo)系，任意角的三角函數(shù)得以推廣和刻畫. 這種數(shù)學(xué)思想方法在向量的研究中同樣被應(yīng)用，向量的概念是“方向”“大小”這兩個(gè)要素，那么在向量的研究中是如何展開對這兩個(gè)要素的研究的呢？同樣可以引入“坐標(biāo)系”，借助于坐標(biāo)的多維度性質(zhì)來刻畫向量，從而感受數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一.

關(guān)聯(lián)2：代數(shù)、幾何間的橋梁式關(guān)聯(lián)性. 從所用的思想方法上，上面兩者均在研究時(shí)有統(tǒng)一性，如果我們從思維科學(xué)角度來進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)兩者是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，有了兩者人們對相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的研究實(shí)現(xiàn)了從定性到定量的進(jìn)一步深化，同時(shí)兩者交匯之處促成了向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)三個(gè)重要的概念構(gòu)成一體，提升了相關(guān)運(yùn)算技巧，而且長度與角度的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系變得更為明晰. 在幾何研究中，直線的斜率、曲線與方程等問題的研究越來越接近于數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)，“三角函數(shù)、向量”作為數(shù)與形之間轉(zhuǎn)化的橋梁，讓兩者學(xué)習(xí)時(shí)更具統(tǒng)一性.

[?] 從應(yīng)用的視角歸納解決問題的方法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不可回避“解題”和“應(yīng)試”，解題和應(yīng)試的過程是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決問題的過程，透過這個(gè)窗口，我們可以將數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法統(tǒng)整到一起.

例如，“導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題”是我們學(xué)生在解題和應(yīng)試時(shí)往往會(huì)遇到障礙的一類數(shù)學(xué)問題，這里涉及的就是“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念的具體應(yīng)用. 在應(yīng)用過程中，根據(jù)不同的設(shè)問涉及多種數(shù)學(xué)思想方法，在平時(shí)的教學(xué)過程中要抓住典型問題與學(xué)生一起進(jìn)行解決數(shù)學(xué)問題方法的歸納，那么涉及哪些方法呢？直接求根法，此類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是學(xué)生常見的方程，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)可直接通過解方程獲得；利用重要的函數(shù)不等式，教材中的例題和習(xí)題也常常會(huì)涉及這個(gè)方法，同時(shí)在平時(shí)教材習(xí)題的解決中所用到的經(jīng)驗(yàn)和方法可以拿來作為基礎(chǔ)性結(jié)論為新問題的解決提供思路. 數(shù)形結(jié)合法，回避導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，這種方法的應(yīng)用能夠?qū)W(xué)生所掌握的常見函數(shù)的圖像及其性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)很好地應(yīng)用到問題的解決中來，有助于學(xué)生基本功的強(qiáng)化. 在學(xué)生認(rèn)知水平提升到一定程度后，我們還可以滲透設(shè)而不求法，虛擬設(shè)根，整體代換，以及巧妙分離函數(shù)法、特殊值代入法等.

在提供了典型的問題，學(xué)生解決完后，我們還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生站在“統(tǒng)整”的視角，對相關(guān)方法進(jìn)行客觀的評價(jià)與歸納，比如“導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)”的問題求解涉及哪些呈現(xiàn)形式？對應(yīng)著我們可以運(yùn)用哪些方法去求解？有這樣的思考，學(xué)生分析問題、解決問題的能力才會(huì)得到真正意義上的提升. 從呈現(xiàn)形式上看，這類問題主要有可求零點(diǎn)、不可求零點(diǎn)和無零點(diǎn)的三種呈現(xiàn)方式. 對于“可求零點(diǎn)”這種形式的數(shù)學(xué)問題，在方法的選擇上我們可以選擇直接求解，也可以選擇用特殊值法代入求解；對于“不可求零點(diǎn)”這種形式的問題，在方法的選擇上一般采用的是“設(shè)而不求”的解決辦法；對一些含超越方程形式的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)選擇“等價(jià)轉(zhuǎn)化”這種解決問題的方法能夠起到很好的化簡運(yùn)算的作用.

一言以概之，我們在概念的應(yīng)用和習(xí)題講評環(huán)節(jié)，如果我們能夠引導(dǎo)學(xué)生對遇到的數(shù)學(xué)問題及其解決問題的方法加以整理與概括，學(xué)生的視角會(huì)高于知識(shí)本身，站在解決某一類數(shù)學(xué)問題涉及的方法的頂端，達(dá)到“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”的境界.

[?] 結(jié)語

基于“統(tǒng)整理念”的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)需要我們從多維度著眼，從整體的角度思考，從多種解決問題的方法著手，那么，我們的學(xué)生如何實(shí)現(xiàn)呢？筆者結(jié)合多年的教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn)歸納出如下兩點(diǎn).

1. 充分掌握課本上的知識(shí)點(diǎn)

教材是我們教學(xué)資源之本. 高中數(shù)學(xué)課本本身就是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，也是我們解答的基礎(chǔ)，同時(shí)也是我們在解題過程中獲取思路的重要途徑，也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、思想方法的基礎(chǔ)，因而我們首先應(yīng)該對課本上的內(nèi)容進(jìn)行深度地挖掘，才能搞清楚整個(gè)數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)、脈絡(luò)，知道哪些概念屬于核心概念、基礎(chǔ)概念，找準(zhǔn)概念間的聯(lián)系，意識(shí)到復(fù)雜的、難的知識(shí)點(diǎn)也是在基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)上發(fā)展起來的.

2. 從題型中找到概念的應(yīng)用

正如前文所述，概念的應(yīng)用過程是統(tǒng)整理念應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方面，當(dāng)我們學(xué)習(xí)完概念之后，只有在練習(xí)的過程中，才能加深我們對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法的理解，同時(shí)應(yīng)用概念也能幫助學(xué)生進(jìn)一步記憶概念的多維表征. 在解題的過程中，我們學(xué)習(xí)掌握其他的思維方式，重要的也是對解答思路的分析，涉及的多種數(shù)學(xué)思想方法在解題后反思的過程中得以歸納、統(tǒng)整.