黃賀福，楊志宏，李 娜，張庚楠

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061)

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基于修正矩陣的剛?cè)峄旌夏Ｐ凸罘治龇椒?

黃賀福，楊志宏，李 娜，張庚楠

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061)

為了在設(shè)計(jì)階段進(jìn)行公差分析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化，文中討論了剛?cè)峄旌夏Ｐ偷难b配偏差，提出了一種基于修正矩陣的公差分析方法。將剛?cè)峄旌夏Ｐ偷睦硐胛蛔?、公差域表示為矩陣形式，借助齊次變換進(jìn)行公差累積。使用有限元模擬裝配變形，將仿真結(jié)果表示為修正矩陣，對原有的偏差累積路徑進(jìn)行修正，從而實(shí)現(xiàn)了對剛?cè)峄旌夏Ｐ完P(guān)鍵尺寸的精確預(yù)測，為設(shè)計(jì)優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。以汽車車燈裝配為例，驗(yàn)證了該方法的可行性。

公差分析；剛?cè)峄旌夏Ｐ?；齊次變換；有限元分析

0 引言

產(chǎn)品質(zhì)量由設(shè)計(jì)、制造、裝配三個環(huán)節(jié)共同控制。在制造過程中，零件的偏差是不可避免的。在裝配過程中，偏差源經(jīng)過累積、疊加后，影響著產(chǎn)品質(zhì)量[1]。所以，在設(shè)計(jì)階段進(jìn)行公差分析、裝配質(zhì)量驗(yàn)證有重要的意義。

通常的，剛性件是指剛性好、厚度大的零件，其產(chǎn)生的裝配變形可以被忽略；柔性件是指厚度遠(yuǎn)小于長度和寬度的板件，其在裝配過程中會產(chǎn)生明顯的變形。兩者在偏差來源、公差分析方法等方面有著明顯的不同。

剛性件的公差分析方法已經(jīng)進(jìn)行了多年的研究，典型的方法有封閉環(huán)模型、矩陣模型[2]、雅克比旋量模型[3]、T-MAP模型[4]等，這些方法的研究相對成熟，廣泛應(yīng)用于CAT領(lǐng)域中。針對柔性件的偏差研究始于80年代，Takezawa[5]對車身薄板件的裝配數(shù)據(jù)運(yùn)用回歸分析，指出裝配體偏差可能小于零件偏差，并接近于剛性較大的零件。Liu等[6]引入敏感度矩陣，建立了偏差源和裝配偏差的線性關(guān)系。Hashemian等[7]綜合考慮了夾具偏差、定位方案等因素對裝配偏差的影響。Wooyoung 等[8]對焊接變形進(jìn)行了研究。W?rmefjord[9]對焊接順序進(jìn)行了探索。Chen等[10]考慮了焊接方式對裝配偏差的影響。Xie等[11]研究了裝配過程中的接觸干涉。Camelio等[12]探索了偏差源之間的關(guān)系，通過主成分分析，得到了裝配偏差的統(tǒng)計(jì)分布圖。

在工程應(yīng)用中，剛性件和柔性件往往同時存在于產(chǎn)品中。現(xiàn)有的公差分析方法僅是針對剛性件或柔性件，并不適用于剛?cè)峄旌夏Ｐ汀１疚囊札R次變換為基礎(chǔ)，通過有限元分析將裝配變形表示為修正矩陣，修正原有的偏差累積路徑，從而建立了統(tǒng)一的針對剛?cè)峄旌夏Ｐ偷墓罘治龇椒?，?shí)現(xiàn)了對關(guān)鍵尺寸的精確預(yù)測。

1 剛?cè)峄旌夏Ｐ?/h2>

如果某個特征由單一元素組成，并且該元素限制此特征所有的自由度，那么該特征的理想位姿可以由依附在該元素上的坐標(biāo)系來表示，而關(guān)鍵尺寸則可以借助坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行計(jì)算。

柔性件在裝配過程中容易因?yàn)槎ㄎ?、夾緊等操作導(dǎo)致變形。特征一旦產(chǎn)生了變形，其上建立的坐標(biāo)系也將發(fā)生相應(yīng)的變化。所以為了精確的計(jì)算出關(guān)鍵尺寸，必須對變化的坐標(biāo)系進(jìn)行修正。

根據(jù)設(shè)計(jì)信息，創(chuàng)建裝配圖，建立零件坐標(biāo)系、特征坐標(biāo)系，借助齊次變換將關(guān)鍵尺寸表示為位姿矩陣、公差矩陣的乘積。使用有限元模擬裝配變形，將變形表示為修正矩陣，修正原有的關(guān)鍵尺寸表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)了對關(guān)鍵尺寸的精確預(yù)測，其流程如圖1所示。該方法可以應(yīng)用于復(fù)雜的剛?cè)峄旌夏Ｐ椭?，?jì)算結(jié)果更為真實(shí)有效的反映出裝配變形對關(guān)鍵尺寸的影響。

圖1 剛?cè)峄旌夏Ｐ推罘治隽鞒虉D

2 公差分析方法

2.1 基于齊次變換的公差累積

齊次變換可以將n維空間下矩陣的計(jì)算統(tǒng)一為(n+1)維空間下的疊乘，它廣泛的應(yīng)用于公差累積中。以圖2所示的裝配圖為例說明齊次變換在公差累積中的應(yīng)用。

圖2 裝配圖

圖中，橢圓表示裝配零件。A、B、C為零件坐標(biāo)系，表示零件的位姿信息；F1A、F1B、F2B、F1C為特征坐標(biāo)系，這些特征提供了裝配約束；坐標(biāo)系間的有向曲線表示偏差傳遞路徑；雙向線段為關(guān)鍵尺寸，用來評價裝配質(zhì)量是否達(dá)到要求。

(1)若零件A、B、C在制造和裝配時沒有任何偏差，則坐標(biāo)系間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 無偏差坐標(biāo)系關(guān)系示意圖

則關(guān)鍵尺寸表示為：

TAC=TABTBC
TAB=TA-F1ATF1A-F1BTF1B-B
TBC=TB-F2BTF2B-F1CTF1C-C

式中，TA-F1A表示零件A的坐標(biāo)系和特征F1A的坐標(biāo)系之間的變換矩陣；TF1A-F1B為特征F1A的坐標(biāo)系和特征F1B的坐標(biāo)系之間的變換矩陣；所有的坐標(biāo)系都建立在裝配位置。

(2)若特征F2B存在定位偏差DB-F2B。則TBC修正為：

TB′C=TB-F2BDB-F2BTF2B-F1CTF1C-C

(3)若特征F2B存在形狀偏差DF2B，則TBC變?yōu)椋?/p>

TB′C=TB-F2BDF2BTF2B-F1CTF1C-C

(4)若特征F2B和F1C在裝配過程中存在偏差DF2B-F1C，則TBC表示為：

TB′C=TB-F2BTF2B-F1CDF2B-F1CTF1C-C

綜合三種偏差源，坐標(biāo)系間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 有偏差的坐標(biāo)系關(guān)系示意圖

借助齊次變換，包含全部偏差因素的關(guān)鍵尺寸為：

TAB=TA-F1ATF1A-F1BTF1B-B

TB′C=TB-F2B{[DB-F2B+DF2B]TF2B-F1C+TF2B-F1CDF2B-F1C}TF1C-C

TA′C=TABTB′CTA-F1ATF1A-F1BTF1B-BTB-F2B{[DB-F2B+DF2B]TF2B-F1C+TF2B-F1CDF2B-F1C}TF1C-C

2.2 修正矩陣

當(dāng)特征坐標(biāo)系建立后，該特征的任何變動都可以看作是繞坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)。借助機(jī)器人運(yùn)動學(xué)，特征的變動量可表示為修正矩陣M：

式中，T表示平移，R表示旋轉(zhuǎn)；下標(biāo)x,y,z表示方向；α,β,γ表示繞x,y,z旋轉(zhuǎn)的角度；u,v,w表示在x,y,z上的平移量；s和c分別表示正弦和余弦函數(shù)。

在有限元中，根據(jù)實(shí)際裝配情況施加邊界條件以及載荷。將變形的特征坐標(biāo)系原點(diǎn)與周圍節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，建立原點(diǎn)的變量輸出。在模擬結(jié)果中讀取相應(yīng)的數(shù)值，進(jìn)而計(jì)算修正矩陣。

假設(shè)圖2中的零件A在裝配過程中產(chǎn)生了變形，則需對特征F1A的坐標(biāo)系進(jìn)行修正。假設(shè)修正矩陣為M，則關(guān)鍵尺寸為：

TAC=TA-F1AMTF1A-F1BTF1B-BTB-F2B{[DB-F2B+DF2B]
TF2B-F1C+TF2B-F1CDF2B-F1C}TF1C-C

3 實(shí)例

圖5所示為一車燈的裝配實(shí)例。

圖5 車燈的裝配實(shí)例

該模型有4個零件。材料屬性：底座A, 頭燈C, 轉(zhuǎn)向燈D為剛性件；支架B的實(shí)際厚度是1.4mm，為柔性件，楊氏模量E=2.1×105N/mm2，泊松比v=0.3。裝配方案：A和B通過3個螺栓以及2個焊點(diǎn)連接在一起。C和D借助3對孔銷裝配在(A+B)上。偏差源：假設(shè)A上兩個焊接平面存在1mm的制造偏差(這里的設(shè)置是為了簡化運(yùn)算，其真實(shí)的偏差情況可以通過測量裝置得到)。C和D的端面存在平面度公差1mm。B上的兩個孔存在位置度公差1mm。B在裝配時會因?yàn)楹更c(diǎn)處的偏差產(chǎn)生變形。模型的關(guān)鍵尺寸為C和D端面的間隙。

關(guān)鍵尺寸可以按下列步驟進(jìn)行計(jì)算：

(1)創(chuàng)建裝配圖；

(2)建立坐標(biāo)系；

(3)將公差域轉(zhuǎn)換為公差矩陣D；

(4)建立關(guān)鍵尺寸傳遞路徑，如圖6所示。

圖6 關(guān)鍵尺寸傳遞路徑

(5)識別變化的坐標(biāo)系。模型中，B因變形導(dǎo)致了特征坐標(biāo)系F1B和F2B的變化，其對應(yīng)的修正矩陣表示為E、F。

(6)有限元分析。因?yàn)閯傂粤慵嗀上的兩個小平面存在制造偏差，所以焊接時柔性零件B上的兩個焊點(diǎn)也會產(chǎn)生相應(yīng)的1mm位移偏差，直接對焊點(diǎn)施加位移載荷。經(jīng)過有限元操作，其變形如圖7所示。利用模擬結(jié)果，計(jì)算修正矩陣E、F，如表1所示。

圖7 變形示意圖

E=11.2×10-2-7×10-41.362-1.2×10-2110-3-1.915×10-17×10-4-10-31-3.5×10-30001é?êêêù?úúúF=11.78×10-2-4×10-33.423×10-1-1.78×10-2110-4-1.82×10-14×10-3-10-41-7×10-40001é?êêêù?úúú

(7)修正原有的偏差累積路徑。修正后的關(guān)鍵尺寸表達(dá)式為：

在公差域內(nèi)隨機(jī)取值5000次。同時，在不考慮裝配變形(無修正矩陣M)的情況下隨機(jī)取值5000次，關(guān)鍵尺寸的分布情況如圖8所示。

圖8 關(guān)鍵尺寸分布圖

3DCS是一款公差分析軟件。運(yùn)用該軟件的柔性模塊，對裝配體進(jìn)行偏差分析，如圖9所示(A被簡化為了約束點(diǎn))。經(jīng)過5000次模擬后得到關(guān)鍵尺寸的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，將此結(jié)果和上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，如表2所示。

圖9 3DCS模擬示意圖

3DCS模擬剛?cè)峄旌夏Ｐ臀纯紤]變形均值5.34965.35045.6668方差0.450.42310.4228

結(jié)果分析：未考慮變形時，關(guān)鍵尺寸的均值和3DCS模擬結(jié)果的一致性為：5.6668/5.3496≈1.0592；文中所提方法的均值和3DCS模擬結(jié)果的一致性為：5.3504/5.3496≈1.0001。3DCS模擬和所提方法的結(jié)果具有更好的相符性，證明了該方法的有效性?？梢姡瑢τ趧?cè)峄旌夏Ｐ?，該方法將裝配變形引入到公差分析的計(jì)算中，實(shí)現(xiàn)了關(guān)鍵尺寸的精確預(yù)測。

4 總結(jié)

本文以齊次變換、有限元分析為基礎(chǔ)，建立了基于修正矩陣的剛?cè)峄旌夏Ｐ凸罘治龇椒ā?/p>

(1)借助機(jī)器人運(yùn)動學(xué)、有限元分析，提出了修正矩陣的概念。利用有限元仿真結(jié)果，將裝配變形表示為修正矩陣的形式，實(shí)現(xiàn)了偏差源信息更為全面的表述。

(2)借助齊次變換，建立了以理想位姿矩陣、公差矩陣以及修正矩陣為基礎(chǔ)的偏差累積路徑。案例結(jié)果表明，在剛?cè)峄旌夏Ｐ椭校b配變形是影響關(guān)鍵尺寸的重要因素之一。該方法將裝配變形引入到公差分析的計(jì)算中，更為真實(shí)有效地預(yù)測出關(guān)鍵尺寸的分布情況。

(3)有限元分析是該方法的核心之一。如何根據(jù)實(shí)際裝配情況建立簡化的有限元模型、如何施加正確的邊界條件、載荷等操作是機(jī)械設(shè)計(jì)人員亟需提高的技能。

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(編輯 李秀敏)

A Unified Tolerance Analysis Method Based on Modified Matrix for Rigid-Compliant Hybrid Model

HUANG He-fu, YANG Zhi-hong, LI Na, ZHANG Geng-nan

(School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan 250061,China)

For tolerance analysis and structure optimization in the design stage, this paper discusses assembly variation for rigid-compliant hybrid model. A unified tolerance analysis method based on modified matrix is proposed. Information of position, orientation of parts and tolerance zone are expressed in the form of matrix. The key product characteristic(KPC) is represented with the help of homogeneous transformation. The assembly deformation is simulated through finite element analysis (FEA) and the simulation result is used to modify the original variation buildup. The accurate prediction of the key product characteristic of rigid-compliant hybrid model is achieved, which lays the foundation for design optimization. A case study employing this methodology is presented and demonstrated by 3DCS software.

tolerance analysis; rigid-compliant hybrid model; homogeneous transformation; FEA

1001-2265(2017)07-0005-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.002

2016-10-15；

2016-11-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375277)；山東省科技發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013GGX10303)

黃賀福(1991—)，男，內(nèi)蒙赤峰人，山東大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)楣罘治雠c精度控制，(E-mail)imhefu@foxmail.com。

TH161;TG659

A