王國(guó)燦

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

某一類三階非線性方程的三點(diǎn)線性邊值問(wèn)題

王國(guó)燦

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

利用積分算子與上下解方法，研究了某一類三階非線性方程的三點(diǎn)線性邊值問(wèn)題，得到了其解的存在性與唯一性.另外，在恰當(dāng)?shù)臈l件下，通過(guò)構(gòu)造具體的上下解，證明了結(jié)論的應(yīng)用性.

非線性三階方程;線性三點(diǎn)邊值;存在性與唯一性;上下解

0 引言

在工程物理上有重要應(yīng)用，而且在流體力學(xué)中有重要意義的三階非線性常微分方程邊值問(wèn)題，文獻(xiàn)[1- 8]及其所列參考文獻(xiàn)已經(jīng)做過(guò)不少研究，但以往的工作主要局限于特殊的非線性方程及簡(jiǎn)單三點(diǎn)邊界條件，至于解的唯一性問(wèn)題，只見(jiàn)到幾篇文獻(xiàn)[1，5].本文利用上下解方法，考慮下列一般的三階非線性微分方程的三點(diǎn)線性邊值問(wèn)題

(1)

其中，ai,bi≥0(i=1,2)，a1+a2>0,b1+b2>0.

我們將討論問(wèn)題(1)、(2)的解的存在性與唯一性.

1 引理

下面考慮某一類二階積分Volterra型微分方程的線性邊值問(wèn)題

(3)

(4)

引理1 如果方程(3)與邊界條件(4)滿足

(1)函數(shù)f(t,v,u)∈C([-1,1]×R2)，且在[-1,0]上關(guān)于v單調(diào)不減，在[0,1]上關(guān)于v單調(diào)不增;

(2)存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤β(t)，

則邊值問(wèn)題(3)、(4)有解u(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤u(t)≤β(t),-1≤t≤1.

(5)

它們滿足以下不等式

(7)

又從條件(1)知，存在非負(fù)常數(shù)N1,N2，使得

則邊值問(wèn)題

(8)

(9)

只有零解.

證明：利用反證法.

2 結(jié)論

最后我們將證明邊值問(wèn)題(1)、(2)解的存在性與唯一性定理.

定理1 如果方程(1)與邊界條件(2)滿足

(1)f(t,x,x′)∈C([-1,1]×R2)，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不減；當(dāng)0≤t≤1時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不增;

(2)存在函數(shù)α(t),β(t)∈C3[-1,1]，使當(dāng)-1≤t≤1時(shí)α′(t)≤β′(t),α″(t)≤β″(t)，α?(t)≥f(t,α(t),α′(t))，β?(t)≤f(t,β(t),β′(t))，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，

則邊值問(wèn)題(1)、(2)有解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

(1)′

(2)′

選取α′=α*,β′=β*，顯然有α*≤β*，

此外，由條件(2)及f的單調(diào)性易知，當(dāng)-1≤t≤1時(shí)

定理2 如果滿足

(1)定理1中的條件(1)成立;

(2)存在函數(shù)β(t)∈C3[-1,1]，使當(dāng)-1≤t≤1時(shí)0<β′(t),0<β″(t)，β?(t)≤fx′(t,x,x′,x″)β′(t)+fx(t,x,x′,x″)β(t)，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，β(t)≤0，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，0≤β(t)，β(0)=0，0

證明：假設(shè)邊值問(wèn)題(1)、(2)有兩個(gè)不同的解x1(t)，x2(t)，令y(t)=x2(t)-x1(t)，于是y(t)滿足下述邊值問(wèn)題

定理3 如果滿足

(1)函數(shù)f(t,x,x′)及其關(guān)于t,x,x′的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={(t,x,x′)|-1≤t≤1,-∞

(2)當(dāng)(t,x,x′)∈Ω時(shí)，fx′(t,x,x′)≥m>0，當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，fx(t,x,x′)≥0，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，fx(t,x,x′)≤0，且|fx(t,x,x′)|≤l.

則邊值問(wèn)題(1)、(2)有且僅有唯一解.

證明：構(gòu)造上下解分別為

其中，

M=max(M1,M2)，N=max(N1,N2).

余下的工作只需逐步驗(yàn)證β(t),α(t)滿足定理1的條件即得存在性.

[1]王國(guó)燦.某一類三階非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解的存在性與唯一性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 1997，20(4):631- 634.

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[6]周欽德，苗樹(shù)梅.Volterra 型積分微分方程的奇攝動(dòng)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，3(3):392- 400.

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[9]BERNFELD S R,LASHMIKANTHAN V．An introduction to nonlinear boundary value problems[M].New York:Academic press，1974.

Nonlinear Third-Order Equation for Linear Three-Point Boundary Value Problem

WANG Guocan

(School of Mathematics and Physics, Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

In this paper, we study linear three-point boundary value problem for nonliear third order equation, by making use of upper and lower solutions method, existence and uniqueness of solutions are obtained.

nonlinear third order differential equation;linear three-point boundary value problem;existence and uniqueness;upper and lower solution

1673- 9590(2017)04- 0196- 03

2016- 12- 25

王國(guó)燦(1963-),男，教授,碩士，主要從事常微分方程的邊值問(wèn)題研究E-mail:wanggcshuxue@163.com.

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