倪志輝，王 偉，吳立春

(1. 重慶交通大學(xué) 水利水運工程教育部重點實驗室 國家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心，重慶 400074；2. 重慶交通大學(xué) 西南水運工程科學(xué)研究所，重慶 400016；3.重慶第二師范學(xué)院，重慶 400067)

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長河段河床縱剖面分形特征研究

倪志輝1,2，王 偉1，吳立春3

(1. 重慶交通大學(xué) 水利水運工程教育部重點實驗室 國家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心，重慶 400074；2. 重慶交通大學(xué) 西南水運工程科學(xué)研究所，重慶 400016；3.重慶第二師范學(xué)院，重慶 400067)

以長江干流水富至朱沱段為研究對象，建立一維非恒定分形數(shù)學(xué)模型，將研究河段分作3段，以岷江、沱江匯流口作為分界，計算各分段河道縱剖面分維數(shù)。研究表明：縱剖面分維數(shù)呈二階分維特性，且整體分維數(shù)小于分段分維數(shù)；整體分維數(shù)不等于各分段分維數(shù)算術(shù)平均值；縱剖面分維數(shù)隨流量增大而不斷減小；各分段河道縱坡降隨縱剖面分形維數(shù)的變化形態(tài)類似波形。

航道工程；縱剖面；非恒定流；分形維數(shù)；變維分形；數(shù)值模擬

0 引 言

樞紐下泄的非恒定流使下游水流條件變得異常復(fù)雜，使下游河道的天然水沙過程發(fā)生了較大改變，將在一定程度上影響下游河道功能的正常發(fā)揮。目前針對樞紐下游長河段縱剖面分形特征的研究還很少，并且還處于理論探索分析階段，因此樞紐下游長河段縱剖面分維數(shù)的研究對下游城市的發(fā)展有著重要的戰(zhàn)略和現(xiàn)實意義。

20世紀(jì)70年代，本華·曼德博在《科學(xué)》上發(fā)表了《英國海岸線有多長》的文章，分形理論被提出，其作為一種新的概念和方法，正在許多領(lǐng)域開展應(yīng)用探索。許多學(xué)者應(yīng)用分形理論研究流域特征，對河流的分形研究獲得了大量成果[1-18]。

蜿蜒性是河流的重要特征，在研究河流的蜿蜒曲折程度等不規(guī)則性形態(tài)特征過程中誕生了河流的分形維數(shù)這個特征量，河流的分維由河長分維和河網(wǎng)分維兩種組成[19]。而河長的分維又分為整體分維和局部分維。對于整條河流分維的探討，即為整體分維，而將河流分段，探討各分段的分維，即為分段分維(局部分維)。河流的整體分維和局部分維是河流形態(tài)的重要特征量，二者有著緊密聯(lián)系。

樞紐下泄非恒定流中，水位、流量的頻繁急劇變化加劇了航道與岸灘的不穩(wěn)定性，且由于影響因素眾多，因此筆者利用分形維數(shù)代替多個影響因素，建立數(shù)學(xué)模型。研究對象為水富(橫江匯流口)至朱沱水文站共長約270 km的河段。如圖1，根據(jù)大量實測地形資料，建立一維非恒定分形數(shù)學(xué)模型，采用二階累計和變維分形方法，計算壩下長河段河道縱剖面分形維數(shù)，并初步探討河流長度分段分維數(shù)與整體分維數(shù)，坡降、流量與縱剖面分維數(shù)的相互關(guān)系。

圖1 水富至朱沱段河道示意Fig. 1 River course schematic of the river section from Shuifu to Zhutuo

1 研究方法

1.1 基本方程

一維水流運動和連續(xù)方程：

(1)

(2)

式中：A為過水面積；Q為流量；U為斷面平均流速；Z為水位；B為水面寬度；x為河段水平方向，沿下游為正；t為時間；ρ為水的密度；τb為河底切應(yīng)力。

由于所研究的問題為長河段、長時段內(nèi)發(fā)生的，在實際計算中對方程組進行簡化。將整個計算時段劃分為小的計算時段，將長河段劃分為若干個短河段，可按恒定非均勻流考慮，水流運動變?yōu)?/p>

(3)

(4)

式中：Z2、Z1為計算段上、下游斷面水位；V2、V1為計算段上、下游斷面平均流速；α2、α1為計算段上、下游斷面的動能修正系數(shù),一般取1.05；hf為沿程水頭損失；hj為局部水頭損失。

在流量、尾門位和水頭損失確定后，即可由式(4)算出河道斷面的各水力要素。

1.2 變維分形

按照B.B.MANDELBROT[20]的定義，分形分布滿足如下關(guān)系式:

s=Ay1-D

(5)

式中：S為歐氏長度；y為度量尺碼；D為分形維數(shù)；A為比例常數(shù)。

天然河道縱剖面分維，也存在統(tǒng)一的自相似性:

L=AQ1-D

(6)

式中：L為歐氏長度；Q為流量；D為分形維數(shù)；A為比例常數(shù)。

對式(5)兩端取自然對數(shù)得

lnL=lnA+(1-D)lnQ

(7)

把lnL繪于y軸，lnQ繪于x軸，用最小二乘法進行直線擬合，它的斜率取為1-D，即可得出分維值D。

當(dāng)D為常數(shù)時，這種分形稱為常維分形。若D與特征線度呈函數(shù)關(guān)系，則稱之為變維分形。筆者采用由累計和序列獲得的分維模型，稱為“累計和分形”[21]。

1.3 計算河段的劃分

由于河流長度分維反應(yīng)了河流彎曲程度，而天然河流的不同分段的彎曲程度不盡相同，所以，筆者將河流分段，研究各分段與整體分維之間的關(guān)系。筆者以岷江、沱江匯流口為分界點，將水富(橫江匯流口)至重慶朱沱水文站的全長270km的長江干流河段分作3段進行計算。第1段為水富(橫江匯流口)至宜賓(岷江匯流口)段，起點航道里程為1 073，終點航道里程為1 044。第2段為宜賓(岷江匯流口)至瀘州(沱江匯流口)段，起點航道里程為1 044，終點航道里程為912。第3段為瀘州(沱江匯流口)至朱沱水文站，起點航道里程為912，終點航道里程為805。筆者所述航道里程表示距宜昌距離，單位為km。為了保證計算結(jié)果的合理性與精度要求，研究河段布置了280個斷面，如圖2。金沙江江床地形圖為2008年3月測量；長江干流江床地形圖為2009年3月測量。

圖2 水富至朱沱段一維計算斷面布置Fig. 2 1-D arrangement of river section from Shuifu to Zhutuo

1.4 一維數(shù)學(xué)模型驗證

1.4.1 水位驗證

由于研究河段較長，限于篇幅，本次驗證僅以有實測瞬時水面線資料的燒瓦沱至棧橋灘河段、桐梓林至黃蔥咀河段、宜賓至李莊河段為例，分別驗證不同流量級下3個河段的水面線計算結(jié)果。燒瓦沱至棧橋灘河段驗證流量選取為洪水Q=10 322 m3/s、中水Q=8 660 m3/s和枯水Q=1 770 m3/s；桐梓林至黃蔥咀河段驗證流量選取枯水Q=1 770 m3/s；宜賓至李莊河段選擇枯水與洪水兩級流量Q=2 960 、10 322 m3/s進行驗證。計算值與實測值繪于圖3。由圖3可知，模型與原型水位差值在±0.16 m以內(nèi)，誤差較小，計算結(jié)果與實測資料吻合度高。

(a)燒瓦沱至棧橋灘段水位驗證

(b)桐梓林至黃蔥咀段水位驗證

(c)宜賓至李莊段水位驗證圖3 水位驗證結(jié)果Fig.3 Water level verification resnlts

1.4.2 流速驗證

限于篇幅，僅以有實測流速資料的馬皮包灘至和尚巖灘、棧橋灘至碎米灘河段、宜賓至李莊河段為例，分別驗證不同流量級下3個河段的流速計算結(jié)果。燒瓦沱至棧橋灘河段選取驗證流量分別為洪水Q=10 322 m3/s、中水Q=8 680 m3/s和枯水Q=1 770 m3/s；棧橋灘至碎米灘河段選取洪、中、枯3級流量驗證，驗證流量分別為Q=10 322、8 680、1 770 m3/s；宜賓至李莊河段選取驗證流量分別為枯水Q=2 960 m3/s和洪水Q=10 322 m3/s。計算值與實測值繪于圖4。

(a)燒瓦沱至棧橋灘段流速驗證

(b)棧橋灘至碎米灘段流速驗證

(c)宜賓至李莊段流速驗證圖4 流速驗證結(jié)果Fig.4 Flow velocity verification results

由圖4可知，計算流速與實測流速的差值在±0.4 m/s以內(nèi)，誤差較小，計算結(jié)果與實測資料吻合度高。

1.5 糙率選取

河道糙率作為水力計算的主要參數(shù)，與河道糙率與河道水位、斷面形狀、坡降等參數(shù)相關(guān)，需要用實測資料進行率定。長江上游河道糙率取值一般在0.03以上。根據(jù)數(shù)模計算結(jié)果，天然情況下研究河段糙率值變化很小，可采用線性內(nèi)插法進行取值，將各分段天然狀態(tài)下部分流量級別下糙率值列于表1。

2 河道縱剖面分維數(shù)

依據(jù)第1節(jié)研究方法所述，以長江主干道實測地形圖為資料，統(tǒng)計特征流量下長江主干道的左右岸長度，結(jié)果見圖5。

從圖5可知，數(shù)據(jù)點分布趨勢不呈直線形式，說明研究河段長度呈現(xiàn)變維分形關(guān)系，需建立變維分形模型對其進行處理。因此采用累計和變維分形的方法對長河段河流長度分形進行計算，左岸計算過程見表2。右岸計算過程與左岸相同，計算結(jié)果見圖6及表3。

表2 水富至朱沱段左岸變維分維維數(shù)計算結(jié)果Table 2 Calculation results of variable fractal dimension of the left river bank of the river section from Shuifu to Zhutuo

圖6 水富至朱沱段2階累計和整體分維序列Fig.6 Second-order accumulation and integral fractal dimension sequence of the river section from Shuifu to Zhutuo

岸別直線相關(guān)方程分維值相關(guān)系數(shù)R2長江干流左岸2階y=1.1017x-6.96442.07380.9995長江干流右岸2階y=1.1057x-7.04272.07330.9995

注：y=lnQi，x=lnS2

由圖6可看出，經(jīng)2階累計和分形變換后，數(shù)據(jù)點與擬合直線吻合很好，說明水富至朱沱段河流分維呈現(xiàn)2階累計和分形關(guān)系。經(jīng)過計算，河段左岸分維數(shù)為D2=2.073 8，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5；右岸分維數(shù)D2=2.073 3，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5,均能通過F顯著性檢驗。由此可見，水富至朱沱段河流長度具有二階分維特性。

3 分析與討論

筆者分別計算了研究河段的縱剖面分段分維數(shù)及整體分維數(shù)，將從分段分維數(shù)和整體分維數(shù)，縱剖面分維數(shù)與流量，縱剖面分維數(shù)與河道縱坡降3者的關(guān)系來探討河道縱剖面分形特性。

3.1 分段分維數(shù)

忽略較小支流的入?yún)R，以岷江、沱江匯流口作為分界點，將水富至朱沱270 km河段分作3段，即水富至宜賓段、宜賓至瀘州段、瀘州至朱沱段，按左、右岸分開計算各河段的分維數(shù)。計算結(jié)果見表4和圖7～圖9。

表4 分段計算數(shù)據(jù)直線相關(guān)方程及2階累計和分維值計算結(jié)果

注：y=lnQi，x=lnS2

圖7 水富至宜賓段2階累計和分段分維序列Fig.7 Second-order accumulation and subsection fractal dimension sequences of the river section from Shuifu to Yibin

圖8 宜賓至瀘州段2階累計和分段分維序列Fig.8 Second-order accumulation and subsection fractal dimension sequences of the river section from Yibin to Luzhou

圖9 瀘州至朱沱段2階累計和分段分維序列Fig.9 Second-order accumulation and subsection fractal dimension sequences of the river section from Luzhou to Zhutuo

由圖7～圖9可看出，水富至宜賓段左岸分維數(shù)為D2=2.078 2，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 6，右岸分維數(shù)D2=2.077 9，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5；宜賓至瀘州段左岸分維數(shù)為D2=2.098 3，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 2，右岸分維數(shù)D2=2.098 2，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5；瀘州至朱沱段左岸分維數(shù)為D2=2.101 8，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 4，右岸分維數(shù)D2=2.101 6，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 3，均能通過F顯著性檢驗。說明數(shù)據(jù)點與擬合直線吻合地很好，即各分段具有較好的二階分維特征，得到的分形維數(shù)能夠很好地反映各分段河道的特征。

3.2 整體分維數(shù)與分段分維數(shù)的關(guān)系

表5為水富至朱沱段的整體和分段分維數(shù)結(jié)果。由表5可知，整體分維數(shù)小于各分段分維數(shù)。全河段左岸分維數(shù)為2.073 8，水富至宜賓段左岸分維數(shù)為2.078 2，比全河段左岸分維數(shù)增加了0.21%；宜賓至瀘州段左岸分維數(shù)為2.098 3，比全河段左岸分維數(shù)增加了1.18%；瀘州至朱沱段左岸分維數(shù)為2.101 8，比全河段左岸分維數(shù)增加了1.35%，由此可知分維數(shù)不斷增大，右岸亦如此，即整體分維數(shù)小于各分段分維數(shù)[22]。

表5 水富至朱沱段整體及分段分維數(shù)計算結(jié)果Table 5 Calculation results of integral and subsection fractal dimension of the river section from Shuifu to Zhutuo

由表5可知，整體分維數(shù)并不等于各河段分維數(shù)的算術(shù)平均值[23]。各河段左岸分維數(shù)算術(shù)平均值為2.092 8，并不等于全河段左岸分維數(shù)2.073 8；各河段右岸維數(shù)算術(shù)平均值為2.092 6，并不等于全河段右岸分維數(shù)2.073 3。所以全河段整體分維數(shù)不等于各河段分維數(shù)的算術(shù)平均值。

3.3 縱剖面分形維數(shù)與流量的關(guān)系

對研究河段3個分段的左、右岸縱剖面分維數(shù)進行了計算，其相關(guān)系數(shù)都在0.99以上，說明數(shù)據(jù)點與擬合直線吻合得很好，流量與河道長度具有很好的相關(guān)性。將左、右岸Q=1 000～10 322 m3/s流量對應(yīng)的分維數(shù)繪于圖10。由圖10可知，縱剖面分形維數(shù)隨著流量不斷增大而不斷減小。

圖10 水富至朱沱段分形維數(shù)與流量關(guān)系Fig. 10 Relationship between fractal dimension and flow of the river section from Shuifu to Zhutuo

隨著河道來流量的加大，河岸逐漸被淹沒，河道彎曲程度逐漸變小[23]。因此，河道縱剖面分維數(shù)隨流量增大而減小。

3.4 縱剖面分形維數(shù)與河道縱坡降的關(guān)系

筆者統(tǒng)計了各河段在Q=1 000～10 322 m3/s流量下的河道縱坡降。圖11～圖13分別繪制了3個河段縱剖面分形維數(shù)與河道縱坡降關(guān)系曲線。由圖11～圖13可見，水富至宜賓段左岸，隨著流量增大，分維數(shù)減小，河道縱坡降不斷增大，分維數(shù)為2.099 7時坡降達到最大值0.249 7‰，對應(yīng)流量2 310 m3/s；分維數(shù)繼續(xù)減小，坡降開始減小，分維數(shù)為2.081 6時坡降達到最小值0.212 6‰，對應(yīng)流量3 969 m3/s；之后坡降隨分維數(shù)減小而增大。宜賓至瀘州段左岸分維數(shù)與河道坡降的變化規(guī)律與水富至宜賓段相類似。而瀘州至朱沱段左岸河道縱坡降與分形維數(shù)的變化曲線則與上述兩段不同，整體來說河道縱坡降隨著分維數(shù)減小而增大，分維數(shù)為2.123 5時坡降達到最大值0.260 7‰，對應(yīng)流量796 9 m3/s；之后坡降隨分維數(shù)減小而減小。各河段左、右岸縱坡降隨分形維數(shù)的變化規(guī)律基本相同，坡降隨分形維數(shù)的變化曲線類似波形。

圖11 水富至宜賓段分形維數(shù)與縱坡降關(guān)系Fig. 11 Relationship between fractal dimension and the gradient of the river section from Shuifu to Yibin

圖12 宜賓至瀘州段分形維數(shù)與縱坡降關(guān)系Fig. 12 Relationship between fractal dimension and the gradient of the river section from Yibin to Luzhou

圖13 瀘州至朱沱段分形維數(shù)與縱坡降關(guān)系Fig. 13 Relationship between fractal dimension and gradient of the river section from Luzhou to Zhutuo

水富至宜賓段位于向家壩下游，河床受樞紐下泄水流沖刷嚴(yán)重，河床床面形態(tài)變形加劇，床面高低不平，高程相差較大，且該河段地區(qū)地形高程相差較大，故坡降分維關(guān)系曲線呈現(xiàn)驟升驟降態(tài)勢,與簡諧波形狀相似。宜賓至瀘州段經(jīng)岷江、橫江匯流，流量較大，河床沖刷嚴(yán)重，坡降分維關(guān)系曲線亦驟升驟降。而瀘州至朱沱段地區(qū)地形較為平緩，水流較為平穩(wěn)，故坡降分維關(guān)系曲線較為平滑，與簡諧波形狀相似度最高。這進一步揭示了流量、坡降、縱剖面分維數(shù)3者之間的關(guān)系，為城市防洪和航道整治等工程問題的解決提供一種新的依據(jù)。

4 結(jié) 論

1)筆者研究對象為向家壩下游約270 km的長河段，建立了一維非恒定-分形數(shù)學(xué)模型，該模型的計算結(jié)果與原型實測資料吻合良好，驗證精度符合要求，表明該模型合理可靠。

2)研究河段左岸分維數(shù)為D2=2.073 8，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5；右岸分維數(shù)D2=2.073 3，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5，且均能通過F顯著性檢驗。

3)水富至宜賓段左岸分維數(shù)為D2=2.078 2，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 6，右岸分維數(shù)D2=2.077 9，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5；宜賓至瀘州段左岸分維數(shù)為D2=2.098 3，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 2，右岸分維數(shù)D2=2.098 2，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 5；瀘州至朱沱段左岸分維數(shù)為D2=2.101 8，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 4，右岸分維數(shù)D2=2.101 6，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 3，且均能通過F顯著性檢驗。

4)研究河段縱剖面分形維數(shù)呈2階分維特性，且分段分維數(shù)大于整體分維數(shù)；各分段縱剖面分維數(shù)的算術(shù)平均值不等于整體分維數(shù)；縱剖面分維數(shù)隨流量增大而減小；各分段河道縱坡降隨縱剖面分形維數(shù)的變化曲線類似波形。

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(責(zé)任編輯：譚緒凱)

Fractal Characteristics of Longitudinal Section of River Bed

NI Zhihui1, 2, WANG Wei1, WU Lichun3

(1. Key Laboratory of Hydraulic and Waterway Engineering of the Ministry of Education, National Engineering Research Center for Inland Waterway Regulation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P. R. China; 2. Southwestern Research Institute of Water Transportation Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400016, P. R. China; 3. Chongqing University of Education, Chongqing 400067, P. R. China)

Taking Shuifu to Zhutuo section in mainstream of the Yangtze River as the research object, an unsteady and fractal mathematics model with one-dimension was established. The studied section was divided into 3 segments, and the confluence of Minjiang River and Tuojiang River was taken as a demarcation. The fractal dimension of longitudinal section in river profile was calculated. The research indicates that: the fractal dimension of longitudinal section has two order fractal characteristics, and the overall fractal dimension is smaller than that of the piecewise. The value of overall fractal dimension is not equal to the arithmetic mean of fractal dimension of various sections. Fractal dimension of longitudinal section decreases as the flow increases. The longitudinal slope in various sections of river course is changing with the fractal dimension of longitudinal section, whose morphology is similar to the wave shape.

waterway engineering; longitudinal section; unsteady flow; fractal dimension; variable dimension fractal; numerical simulation

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.10

2015-09-12；

2016-11-12

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃項目(2016YFC0402104)；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃項目(cstc2016jcyjA0380)；省部共建水利水運工程教育部重點實驗室暨國家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心開放基金項目(SLK2016B03)；內(nèi)河航道整治技術(shù)交通行業(yè)重點實驗室開放基金項目(NHHD-201514)

倪志輝(1980—)，男，湖南衡陽人，博士，副研究員，主要從事河流海岸水動力學(xué)、環(huán)境及數(shù)值模擬方面的研究。E-mail：benny251@163.com。

TU612.3

A

1674-0696(2017)07-058-08