劉詩(shī)序陳文思 池其源 嚴(yán)海

1)(福州大學(xué)土木工程學(xué)院,福州 350116)

2)(北京工業(yè)大學(xué)北京城市交通協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100124)

(2016年12月7日收到;2016年12月28日收到修改稿)

彈性需求下的網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化?

劉詩(shī)序1)?陳文思1)池其源1)嚴(yán)海2)

1)(福州大學(xué)土木工程學(xué)院,福州 350116)

2)(北京工業(yè)大學(xué)北京城市交通協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100124)

(2016年12月7日收到;2016年12月28日收到修改稿)

在現(xiàn)實(shí)交通系統(tǒng)中,網(wǎng)絡(luò)的交通需求是可變的,隨交通運(yùn)行狀態(tài)而改變.針對(duì)需求可變情形,以含兩條路徑的簡(jiǎn)單路網(wǎng)為例,建立了彈性需求下的網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化模型,基于非線性動(dòng)力學(xué)理論,證明了動(dòng)態(tài)演化模型的不動(dòng)點(diǎn)存在且唯一,并且推導(dǎo)出了彈性需求下網(wǎng)絡(luò)交通流動(dòng)態(tài)演化的穩(wěn)定性條件.通過數(shù)值實(shí)驗(yàn),分析了網(wǎng)絡(luò)交通流演化特征.研究發(fā)現(xiàn):在一定條件下流量演化會(huì)出現(xiàn)分岔和混沌現(xiàn)象,并且出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用越敏感,系統(tǒng)演化越可能穩(wěn)定;出行者路徑選擇的隨機(jī)性越小,系統(tǒng)演化越不可能穩(wěn)定;出行者對(duì)前一天實(shí)際費(fèi)用的依賴程度越小,系統(tǒng)演化越可能穩(wěn)定.

網(wǎng)絡(luò)交通流,彈性需求,動(dòng)態(tài)演化,混沌

1 引 言

交通網(wǎng)絡(luò)平衡分配問題的提出已有幾十年的歷史,學(xué)者們提出了很多擴(kuò)展的靜態(tài)模型,如用戶平衡分配(user equilibrium,UE)模型[1,2]、隨機(jī)用戶平衡分配(stochastic user equilibrium,SUE)模型[1,2],它是研究網(wǎng)絡(luò)交通流的主要手段,交通網(wǎng)絡(luò)平衡分配模型隱含著網(wǎng)絡(luò)交通流的平衡是可以達(dá)到的假設(shè).然而,網(wǎng)絡(luò)交通流是巨量的出行者路徑選擇博弈的集聚結(jié)果,受到出行者選擇行為的影響,現(xiàn)實(shí)中出行者的理性程度、出行者獲取的信息、出行者個(gè)體的差異性等都會(huì)影響出行者的路徑選擇[3].有研究指出,出行者第n天的行為受到第n?1天和之前的行為以及網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)的影響[1],因此每天的網(wǎng)絡(luò)交通流不是一成不變的重復(fù),呈現(xiàn)復(fù)雜曲折的逐日動(dòng)態(tài)演化過程.研究網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化規(guī)律,不僅可以了解交通網(wǎng)絡(luò)平衡是否能達(dá)到以及如何達(dá)到的過程,而且還可以認(rèn)識(shí)如果平衡達(dá)不到網(wǎng)絡(luò)交通流演化會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象.

學(xué)者們通過兩個(gè)途徑探索網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化規(guī)律.第一個(gè)途徑以出行者個(gè)體選擇行為為著眼點(diǎn),使用計(jì)算機(jī)微觀仿真與行為實(shí)驗(yàn)?zāi)M方法,以出行者個(gè)體為單元,研究網(wǎng)絡(luò)交通流的動(dòng)態(tài)演化過程.學(xué)者Nakayama等[4]、K lügl和Bazzan[5]、K im等[3]、Wei等[6]、Kusakabe和Nakano[7]、劉天亮和黃海軍[8]、劉詩(shī)序和關(guān)宏志[9]、Iida等[10]、Selten等[11]、Rapoport等[12]做了一些代表性的研究.另一個(gè)途徑則是從集計(jì)角度出發(fā),基于出行者逐日路徑選擇機(jī)理,建立逐日動(dòng)態(tài)分配模型,并以非線性動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ),研究網(wǎng)絡(luò)平衡的存在性及其穩(wěn)定性,建立的模型分為連續(xù)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(假設(shè)出行者出行的天數(shù)是連續(xù)變量)和離散型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(假設(shè)出行者出行的天數(shù)是離散變量)兩類.學(xué)者Sm ith[13,14]、Nagurney和Zhang[15]、Watling[16]、Cho和Hwang[17]、Kumar和Peeta[18]、Tan等[19]、Di等[20]、He和Peeta[21]、Iryo[22]、Xiao等[23]、 郭仁擁和黃海軍[24,25]、張波等[26]在連續(xù)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)方面做了一些工作.離散型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模方法最早由Horow itz提出[27],隨后,Cantarella和Cascetta[28?30]、Watling和Hazelton[31]、Bie和Lo[32]、He和Liu[33]、Han和Du[34]、Zhao和Orosz[35]、Di和Liu[36]、劉詩(shī)序和關(guān)宏志等[1,37]、郭仁擁和黃海軍等[38?40]、徐紅利等[41]學(xué)者進(jìn)一步做了大量的深入研究.最近, Cantarella和Watling[42]將連續(xù)模型和離散模型做了統(tǒng)一.

運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)方法研究網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化規(guī)律,不僅可以推導(dǎo)出網(wǎng)絡(luò)交通流演化的穩(wěn)定性條件,而且還可以探索網(wǎng)絡(luò)交通流不穩(wěn)定時(shí)呈現(xiàn)出的非線性特征.文獻(xiàn)[1]對(duì)含兩條路徑的簡(jiǎn)單路網(wǎng)研究發(fā)現(xiàn)了在一定條件下網(wǎng)絡(luò)交通流量的周期振蕩和混沌現(xiàn)象,完善了網(wǎng)絡(luò)交通流演化研究中不穩(wěn)定時(shí)的規(guī)律,文獻(xiàn)[37]拓展到有限理性情形.研究表明:網(wǎng)絡(luò)中出行者理性程度適中時(shí),流量演化容易出現(xiàn)分岔和混沌現(xiàn)象.

然而,上述研究都是針對(duì)固定需求的情形,即交通網(wǎng)絡(luò)的出行需求已知且固定,而在現(xiàn)實(shí)中,起訖點(diǎn)(OD)需求可能會(huì)受到交通網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀態(tài)的影響,如當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某一對(duì)OD之間的擁擠程度增加時(shí),有些出行者可能會(huì)改變出行計(jì)劃(例如放棄自駕選擇乘坐地鐵出行)或者放棄本次出行,因此出行需求會(huì)減小.國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)彈性需求情形下的網(wǎng)絡(luò)交通流靜態(tài)分配問題極為關(guān)注,提出了很多模型及其求解算法[43?46],但是對(duì)彈性需求下網(wǎng)絡(luò)交通流演化問題還未做深入研究.如果網(wǎng)絡(luò)的OD需求是可變的,以日為單位,每天的OD需求與交通網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀態(tài)有關(guān),出行者每天的路徑選擇受到前一天的行為和網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)的影響,那么網(wǎng)絡(luò)交通流的演化是否會(huì)穩(wěn)定？如果不穩(wěn)定,什么情況出現(xiàn)分岔和混沌？其演化特征和固定需求情形有何不同？

本文以兩條路徑的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)為對(duì)象,建立彈性需求下的網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化模型,研究網(wǎng)絡(luò)交通流動(dòng)態(tài)演化系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性、唯一性和穩(wěn)定性,分析彈性需求下網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化規(guī)律,探討系統(tǒng)演化不穩(wěn)定時(shí)出現(xiàn)分岔和出現(xiàn)混沌的條件.

2 模 型

如圖1所示,交通網(wǎng)絡(luò)中OD間有兩條平行路徑.設(shè)第n天的OD需求為d(n),第n天路徑1和路徑2的流量分別為和,第n天路徑1和路徑2的實(shí)際出行費(fèi)用為和,假設(shè)各路徑的出行費(fèi)用僅與本路徑的流量有關(guān),出行費(fèi)用函數(shù)為

圖1 路網(wǎng)示意圖Fig.1.Road network.

根據(jù)隨機(jī)用戶平衡原則的假設(shè)[2],出行者獲取的信息不完全,設(shè)第n天路徑r(r=1,2)上的理解出行費(fèi)用為為可觀測(cè)部分,為隨機(jī)誤差項(xiàng).

由假設(shè)1可知,第n天路徑1和路徑2的選擇概率為logit型,分別為

式中,θ是與出行者特性有關(guān)的參數(shù),且θ＞0,描述出行者路徑選擇時(shí)對(duì)路徑的費(fèi)用的敏感程度,θ越大,對(duì)路徑的費(fèi)用越敏感,出行者路徑選擇的隨機(jī)程度越小,反之,θ越小,對(duì)路徑的費(fèi)用越不敏感,出行者路徑選擇的隨機(jī)程度越大.根據(jù)SUE原則,流量分配為[2,46]

第n天的期望出行費(fèi)用根據(jù)第n?1天期望出行費(fèi)用和實(shí)際出行費(fèi)用更新,可以表示成二者的加權(quán)和[1,44]

式中,?是與出行者特性有關(guān)的參數(shù),且0≤?＜1,其大小反映出行者對(duì)前一天實(shí)際費(fèi)用的依賴程度, 0≤?＜1越大,依賴程度越小,反之,?越小,依賴程度越大.

由此得到逐日動(dòng)態(tài)交通流演化模型為

路徑流量分配

在彈性需求靜態(tài)平衡分配問題中,OD需求可表示為期望最小感知成本的單調(diào)下降函數(shù)[2],因此,第n天的OD需求d(n)可表示為第n天的期望最小感知成本S(n)的單調(diào)下降函數(shù),這里設(shè)[2,45,46]

式中,d0＞0,表示最大潛在OD需求;β≥0,表示需求量對(duì)最小期望感知成本的靈敏度,反映出行者的出行需求對(duì)出行費(fèi)用的敏感性,β越大,出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用越敏感,出行者越不愿意出行,反之,β越小,出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用越不敏感,出行者出行的愿望越強(qiáng).

由前面假設(shè)出行費(fèi)用隨機(jī)誤差項(xiàng)服從Gumbel分布,有[2,45,46]

因此

3 穩(wěn)定性分析和演化狀態(tài)劃分

3.1 不動(dòng)點(diǎn)的存在性、唯一性和穩(wěn)定性

設(shè)x為一向量,V(x)為一向量值函數(shù),K為一閉凸集.需說明的是,本文所用到的向量均為有限維空間的向量.

定義1 如果[V(x1)?V(x2)]T(x1?x2)≥0,?x1,x2∈K,則稱向量值函數(shù)V(x)在K上是單調(diào)的[47].

定義2 如果[V(x1)?V(x2)]T(x1?x2)＞0,?x1,x2∈K,x1?=x2,則稱向量值函數(shù)V(x)在K上是嚴(yán)格單調(diào)的[47].

引理1 設(shè)向量值函數(shù)V(x)在K上一階連續(xù)可微,且其Jacobian矩陣?V(x)是半正定的(正定的),則V(x)是單調(diào)的(嚴(yán)格單調(diào)的)[47].

假設(shè)2 路徑的出行費(fèi)用關(guān)于路徑流量的函數(shù)連續(xù)可微,且嚴(yán)格單調(diào)增加.

定理1 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)和(12)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).

由(19)和(20)式,令

向量值函數(shù)H(C)在不動(dòng)點(diǎn)處的Jacobian矩陣

注意到d?＞0,θ＞0,β≥ 0,p＞0,不難判斷出:當(dāng)β=0時(shí),H(C)的Jacobian矩陣?H(C)是半正定的,當(dāng)β＞0時(shí),H(C)的Jacobian矩陣?H(C)是正定的.根據(jù)定義1和定義2得到

由(23)和(24)式知:

代入(31)式得

顯然,(33)和(28)式矛盾.因此,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)和(12)不動(dòng)點(diǎn)唯一.證畢.

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)和(12)的Jacobian矩陣為

在平衡點(diǎn)處

由(25)和(29)式得

易知:矩陣A有兩個(gè)正的特征值λ1＞0,λ2＞0,J?的特征值λJ=??(1??)d?λ1,2.由于0≤ ?＜ 1, d?＞0,所以λJ＜1恒成立,根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性理論[48],當(dāng)離散型動(dòng)力系統(tǒng)平衡點(diǎn)Jacobian矩陣的所有特征值的模小于1時(shí)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定,不難得到定理2.

定理2 彈性需求下兩條路徑的簡(jiǎn)單路網(wǎng)逐日動(dòng)態(tài)分配系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條件是

不難驗(yàn)證(39)式和文獻(xiàn)[1]的穩(wěn)定性條件一致.判定條件(38)式更具有一般性.

注意到λ1,2,d?與?無關(guān).因此,不難得到推論1.

推論1 若d?λ1,2＜1,不論參數(shù)?取[0,1)內(nèi)任何值,彈性需求下兩條路徑的簡(jiǎn)單路網(wǎng)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定.

推論1表明只要交通系統(tǒng)滿足一定條件,不論出行者對(duì)信息的依賴程度多大,路網(wǎng)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定.

3.2 演化狀態(tài)劃分

由定理2可知,當(dāng)(38)式不滿足時(shí),網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化出現(xiàn)不穩(wěn)定情況,根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論,演化結(jié)果將出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)(分岔)或者混沌.

根據(jù)混沌理論,當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)大于0時(shí),系統(tǒng)才出現(xiàn)混沌.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)和(12)有2個(gè)Lyapunov指數(shù)[48]:

式中,eig(Jn?1Jn?2···J0)表示Jn?1Jn?2···J0的特征值.

由此得到動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)和(12)的最大Lyapunov指數(shù)為

因此,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)和(12)演化到穩(wěn)定的平衡點(diǎn)、周期運(yùn)動(dòng)(分岔)和混沌3種狀態(tài)的條件如表1.

表1 系統(tǒng)逐日動(dòng)態(tài)演化的狀態(tài)劃分Tab le 1.The state of day-to-day dynam ical evolu tion.

通過以上分析可知,彈性需求下網(wǎng)絡(luò)交通流動(dòng)態(tài)演化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)即為彈性需求下的SUE解,但是平衡點(diǎn)在一定條件才穩(wěn)定(定理2),否則會(huì)發(fā)生周期運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)(表1).下面通過數(shù)值實(shí)驗(yàn),來討論參數(shù)θ(表征出行者路徑選擇時(shí)對(duì)路徑費(fèi)用的敏感程度)、?(表征出行者對(duì)前一天實(shí)際費(fèi)用的依賴程度)、β(表征出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用的敏感性)對(duì)網(wǎng)絡(luò)交通流動(dòng)態(tài)演化的影響.注意到θ∈(0,+∞),?∈[0,1),β∈[0,+∞).

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

如圖1,路網(wǎng)的參數(shù)設(shè)定同文獻(xiàn)[1].路徑的行程時(shí)間關(guān)于流量的函數(shù)采用BPR(US Bureau of Public Roads)函數(shù)

式中t為路徑的行程時(shí)間,t0為路徑的自由流行程時(shí)間,f為路徑流量,Q為通行能力.設(shè)路徑1和路徑2的自由流行程時(shí)間分別為t10=22 m in和t20=25 m in,通行能力分別為Q1=1500輛/h和Q2=2000輛/h;潛在的最大OD需求d0= 1500輛/h;出行費(fèi)用只考慮出行時(shí)間.

4.1 穩(wěn)定的臨界曲線

根據(jù)推論1,當(dāng)θ=0.923時(shí),β=0是穩(wěn)定臨界點(diǎn),通過不同參數(shù)組合的數(shù)值實(shí)驗(yàn)繪制出系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)β-θ的臨界曲線,如圖2所示.由圖2可知,β的臨界值隨θ的變化分4個(gè)階段:1)當(dāng)θ≤0.923時(shí), β的臨界值不變(等于0),也即無論β取[0,+∞)的任何值、?取[0,1)的任何值,系統(tǒng)演化都穩(wěn)定且收斂到平衡點(diǎn);2)當(dāng)0.923＜θ≤2.293時(shí),穩(wěn)定臨界點(diǎn)β隨θ增大而增大,當(dāng)θ=2.293時(shí),β達(dá)到極大值0.00384;如當(dāng)θ=1.500時(shí),β=0.0032是穩(wěn)定臨界點(diǎn),說明,當(dāng)θ=1.500時(shí),不論β取[0.0032,+∞)的任何值、?取[0,1)的任何值,系統(tǒng)演化都穩(wěn)定且收斂到平衡點(diǎn);3)當(dāng)2.293＜θ≤28.564時(shí),穩(wěn)定臨界點(diǎn)β隨θ的增大而減小,當(dāng)θ=28.564時(shí),β達(dá)到極小值0.00154;4)當(dāng)θ＞28.564時(shí),穩(wěn)定臨界點(diǎn)β隨θ的增大而增大.

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)β-θ的臨界曲線Fig.2.The critical curve ofβ-θwhen the system is stab le.

總之,參數(shù)β和θ取曲線上方的點(diǎn)時(shí),不論?取[0,1)的任何值,系統(tǒng)演化都穩(wěn)定且收斂到平衡點(diǎn),參數(shù)β和θ取曲線下方的點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)的演化狀態(tài)與?的取值有關(guān),可能出現(xiàn)分岔或混沌.

4.2 固定β,討論θ和?不同時(shí)系統(tǒng)的演化

情況1 0≤β＜0.00155

以β=0.0002為例,由圖2的臨界曲線可知,當(dāng)θ＜0.940時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定.根據(jù)表1的判別條件,經(jīng)過多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):當(dāng)θ＞0.940時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)分岔;當(dāng)θ＞7.295時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)混沌.圖3是β=0.0002,θ取不同值時(shí)路徑1的流量關(guān)于參數(shù)?的分岔圖.

由圖2可見,當(dāng)β=0.0002,θ=0.5時(shí),系統(tǒng)演化是穩(wěn)定的.由圖3(b)和圖3(c)可見,當(dāng)β=0.0002,θ=6或7時(shí),隨著?從大到小變化,系統(tǒng)演化出現(xiàn)穩(wěn)定-倍周期分岔-半周期逆分岔的過程,最后?=0是2周期運(yùn)動(dòng),在文獻(xiàn)[1]和其他非線性動(dòng)力學(xué)模型中也可以看到類似的現(xiàn)象[1,49?51].由圖3(d)–(h)可見:隨著?從大到小變化,系統(tǒng)演化出現(xiàn)穩(wěn)定-倍周期分岔-混沌-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運(yùn)動(dòng);從縱軸方向看,在混沌區(qū)域中,中間有一些周期3、周期5等奇數(shù)周期窗口;從橫軸方向看,奇數(shù)周期窗口越來越寬,將混沌區(qū)域分割成多個(gè)帶,當(dāng)θ=8.5時(shí),混沌帶可以近似看成1片區(qū)域(奇數(shù)周期窗口很窄),當(dāng)θ=16時(shí),周期3窗口變得很寬,混沌區(qū)域分成了兩個(gè)帶,當(dāng)θ=22時(shí),混沌區(qū)域分成了3個(gè)帶,當(dāng)θ=33時(shí),混沌區(qū)域分成了4個(gè)帶,當(dāng)θ=40時(shí),混沌區(qū)域分成了5個(gè)帶(最左邊的混沌帶很窄).

當(dāng)β=0時(shí),第n天的需求d(n)=d0,彈性需求退化成固定需求情形,文獻(xiàn)[1]的研究表明,固定需求下,當(dāng)θ＜0.923時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定,當(dāng)θ＞0.923時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng),當(dāng)θ＞6.983時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象(更詳細(xì)的討論見文獻(xiàn)[1]).對(duì)比發(fā)現(xiàn), β=0.0002時(shí),隨θ的增大,流量演化關(guān)于?的分岔圖的規(guī)律與β=0相似.

根據(jù)表1系統(tǒng)逐日動(dòng)態(tài)演化狀態(tài)劃分方法,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn),繪制出β=0.0002時(shí)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)θ和?的狀態(tài)劃分圖,如圖4所示.

從圖4和圖5可以發(fā)現(xiàn),隨著β的增大,穩(wěn)定區(qū)域面積越來越大,不穩(wěn)定區(qū)域面積越來越小,特別是混沌區(qū)域面積越來越小,這說明β對(duì)系統(tǒng)演化的穩(wěn)定性有“正”作用,從圖2的穩(wěn)定臨界曲線也可以看到,當(dāng)β＞0.00384時(shí),不論參數(shù)θ取(0,+∞),?取[0,1)內(nèi)任何值,系統(tǒng)演化都是穩(wěn)定的.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)β=0.0002,θ取不同值時(shí)流量關(guān)于?變化的分岔圖 (a)θ=0.5;(b)θ=6;(c)θ=7; (d)θ=8.5;(e)θ=16;(f)θ=22;(g)θ=34;(h)θ=40Fig.3.(color on line)Flow bifu rcation diagram s w ith?whenβ=0.0002 andθis d iff erent:(a)θ=0.5; (b)θ=6;(c)θ=7;(d)θ=8.5;(e)θ=16;(f)θ=22;(g)θ=34;(h)θ=40.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)β=0.0002時(shí)系統(tǒng)關(guān)于θ和?的狀態(tài)劃分圖Fig.4.(color on line)The system’s state w ithθand? whenβ=0.0002.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)β=0.0007和0.0012時(shí)系統(tǒng)關(guān)于θ和?的狀態(tài)劃分圖 (a)β=0.0007;(b)β=0.0012Fig.5.(color on line)The system’s state w ithθand?w henβ=0.0007 and 0.0012:(a)β=0.0007;(b)β=0.0012.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)β=0.00155和0.0018時(shí)系統(tǒng)關(guān)于θ和?的狀態(tài)劃分圖 (a)β=0.00155;(b)β=0.0018Fig.6.(color on line)The system’s state w ithθand?whenβ=0.00155 and 0.0018:(a)β=0.00155; (b)β=0.0018.

情況2 0.00155≤β＜0.00233

圖6是β=0.00155,0.0018時(shí)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)θ和?的狀態(tài)劃分圖.

從圖6可見,當(dāng)β≥0.00155時(shí),不穩(wěn)定區(qū)域分開為兩部分,以圖6(a)為例,左邊部分(θ＜28.352)是周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域,右邊部分(θ＞28.352)周期運(yùn)動(dòng)和混沌并存.同時(shí),還可以看到,隨著β的增大,穩(wěn)定區(qū)域的面積越來越大,不穩(wěn)定區(qū)域面積越來越小.以β=0.00155為例,由圖2的臨界曲線可知,當(dāng)θ＜1.096時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定.根據(jù)表1的判別條件,經(jīng)過多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):當(dāng)θ＞1.096時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)分岔,當(dāng)θ＞38.494系統(tǒng)出現(xiàn)混沌.取θ=0.5,8.5, 16,35,38,42,45,50繪制出路徑1的流量關(guān)于參數(shù)?的分岔圖,如圖7所示.

由圖7(b)和圖7(c)可以看到,當(dāng)β=0.00155時(shí),在圖6(a)中θ＜28.352的左半不穩(wěn)定區(qū)域,對(duì)于固定的θ,流量隨?變化的分岔圖是相似的,流量演化隨?從大到小變化,呈現(xiàn)穩(wěn)定-2周期分岔過程,也即,系統(tǒng)只有兩種狀態(tài):穩(wěn)定狀態(tài)和2周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由圖7(d)–(h)可以看到:當(dāng)β=0.00155時(shí),在θ＞28.352的右半不穩(wěn)定區(qū)域,流量演化關(guān)于?的分岔圖的規(guī)律和β=0.0002的情況類似;當(dāng)28.352＜θ＜38.494時(shí),流量演化隨著?從大到小變化,呈現(xiàn)出現(xiàn)穩(wěn)定-倍周期分岔-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)θ＞38.494時(shí),流量演化隨著?從大到小變化,呈現(xiàn)出穩(wěn)定-倍周期分岔-混沌-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運(yùn)動(dòng).

圖7 (網(wǎng)刊彩色)β=0.00155,θ取不同值時(shí)流量關(guān)于?的變化分岔圖 (a)θ=0.5;(b)θ=8.5;(c)θ=16; (d)θ=35;(e)θ=38;(f)θ=42;(g)θ=45;(h)θ=50Fig.7.(color on line)Flow bifu rcation diagram w ith?w henβ=0.00155 andθis d iff erent:(a)θ=0.5; (b)θ=8.5;(c)θ=16;(d)θ=35;(e)θ=38;(f)θ=42;(g)θ=45;(h)θ=50.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)β=0.00233,0.0032和0.004時(shí)系統(tǒng)關(guān)于θ和?的狀態(tài)劃分圖 (a)β=0.00233;(b)β=0.0032; (c)β=0.004Fig.8.(color online)The system’s state w ithθand?whenβ=0.00233,0.0032,0.004:(a)β=0.00233; (b)β=0.0032;(c)β=0.004.

圖9 β=0.00233,θ=3時(shí)流量關(guān)于?的變化分岔圖Fig.9.(color on line)Flow bifu rcation d iagram w ith? whenβ=0.00233 andθ=3.

情況3 β≥0.00233

圖8是β=0.00233,0.0032,0.004時(shí)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)θ和?的狀態(tài)劃分圖.圖9是β=0.00233, θ=3時(shí),流量關(guān)于?的變化分岔圖.

對(duì)比圖6(a)和圖6(b)以及圖8(a)和圖8(b),可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)β≥0.00233時(shí),系統(tǒng)不穩(wěn)定的右半部分區(qū)域消失,此時(shí)混沌現(xiàn)象也消失,從圖9還可以看到,系統(tǒng)不穩(wěn)定的狀態(tài)是2周期運(yùn)動(dòng).從圖8(a)–(c)可以看到,隨著β的增大,周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積逐漸減小,最后完全是穩(wěn)定狀態(tài),通過多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到,當(dāng)β≥0.00384時(shí),系統(tǒng)完全是穩(wěn)定狀態(tài),也即,當(dāng)β≥0.00384時(shí),不論θ取(0,+∞)內(nèi)任何值、?取[0,1)內(nèi)任何值,系統(tǒng)演化都穩(wěn)定,這一結(jié)論也可以從圖2的系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)β-θ的臨界曲線得出.

4.3 固定θ,討論β和?不同時(shí)系統(tǒng)的演化

圖10是θ=0.5,3,9,25時(shí)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)β和?的狀態(tài)劃分圖.

從圖10可見,當(dāng)θ較小時(shí),系統(tǒng)都是穩(wěn)定的,隨著θ的增大,先出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng),后出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.經(jīng)過多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):當(dāng)θ≤0.923時(shí),系統(tǒng)演化穩(wěn)定,即當(dāng)θ≤0.923時(shí),無論β取[0,+∞)的任何值、?取[0,1)的任何值,系統(tǒng)演化都穩(wěn)定且收斂到平衡點(diǎn);當(dāng)0.923＜θ≤6.983時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)θ＞6.983時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)混沌.注意到,系統(tǒng)出現(xiàn)分岔和混沌的θ的臨界值和β=0時(shí)是一致的[1].

圖10 (網(wǎng)刊彩色)θ取不同值時(shí)系統(tǒng)關(guān)于β和?的狀態(tài)劃分圖 (a)θ=0.5;(b)θ=3;(c)θ=9;(d)θ=25Fig.10.(color on line)The system’s state w ithβand?whenθis d iff erent:(a)θ=0.5;(b)θ=3;(c)θ=9; (d)θ=25.

4.4 固定?,討論β和θ不同時(shí)系統(tǒng)的演化

圖11是?=0,0.05,0.3,0.8,0.86,0.9時(shí)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)β和θ的狀態(tài)劃分圖.

從圖11可以看出,當(dāng)?較小時(shí),系統(tǒng)演化穩(wěn)定或者周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)?比較大時(shí),系統(tǒng)演化穩(wěn)定;當(dāng)?取中間值時(shí),系統(tǒng)演化有穩(wěn)定、周期運(yùn)動(dòng)和混沌狀態(tài).經(jīng)過多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):當(dāng)?≤0.036時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的或周期運(yùn)動(dòng)的;當(dāng)0.036＜ ?＜ 0.85時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定、周期運(yùn)動(dòng)或者混沌狀態(tài);當(dāng)0.85≤ ?＜ 0.89時(shí),系統(tǒng)演化是穩(wěn)定的或周期運(yùn)動(dòng)的;當(dāng)0.89≤?＜1時(shí),系統(tǒng)演化是穩(wěn)定的.同時(shí),從圖11還可以發(fā)現(xiàn),隨著?的增大,穩(wěn)定區(qū)域的面積越來越大,不穩(wěn)定區(qū)域的面積越來越小,直到?=0.89時(shí)整個(gè)區(qū)域都是穩(wěn)定的.

4.5 系統(tǒng)演化規(guī)律

根據(jù)以上的分析可知,參數(shù)θ(表征出行者路徑選擇時(shí)對(duì)路徑的費(fèi)用敏感程度),?(表征出行者對(duì)前一天實(shí)際費(fèi)用的依賴程度),β(表征出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用的敏感程度)對(duì)網(wǎng)絡(luò)交通流的逐日動(dòng)態(tài)演化都有影響.

1)臨界曲線特征

若對(duì)任意的?∈[0,1)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化都穩(wěn)定,那么臨界曲線β隨θ的變化為:當(dāng)θ≤0.923時(shí),β的臨界值不變(等于0);當(dāng)θ＞0.923時(shí),β先增大后減小,然后又增大,β出現(xiàn)極大值點(diǎn)0.00384(當(dāng)θ=2.293時(shí))和極小值點(diǎn)0.00154(當(dāng)θ=28.564時(shí)).

2)參數(shù)β對(duì)系統(tǒng)演化的影響

①當(dāng)0≤β＜0.00155時(shí),對(duì)于固定的β,隨θ的增大,系統(tǒng)演化關(guān)于?的分岔圖的規(guī)律與β=0相似.即θ較小時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定;θ取中間值時(shí),系統(tǒng)隨著?從大到小變化出現(xiàn)穩(wěn)定-倍周期分岔-半周期逆分岔的過程,最后?=0是2周期運(yùn)動(dòng);θ較大時(shí),系統(tǒng)隨著?從大到小變化出現(xiàn)穩(wěn)定-倍周期分岔-混沌-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運(yùn)動(dòng).

②當(dāng)0.00155≤β＜0.00233時(shí),對(duì)于固定的β,系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)θ和?的狀態(tài)的劃分圖的不穩(wěn)定區(qū)域分開為左右兩部分:左邊是2周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域,右邊周期運(yùn)動(dòng)和混沌并存.

圖11 (網(wǎng)刊彩色)?取不同值時(shí)系統(tǒng)關(guān)于β和θ的狀態(tài)劃分圖 (a)?=0;(b)?=0.05;(c)?=0.3;(d)?=0.8; (e)?=0.86;(f)?=0.9Fig.11.(color on line)The system’s state w ithβandθwhen?is d iff erent:(a)?=0;(b)?=0.05; (c)?=0.3;(d)?=0.8;(e)?=0.86;(f)?=0.9

③當(dāng)0.00233≤β＜0.00384時(shí),對(duì)于固定的β,系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)θ和?的狀態(tài)的劃分圖的不穩(wěn)定區(qū)域只有一個(gè)區(qū)域,并且不穩(wěn)定狀態(tài)是2周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

④當(dāng)β≥0.00384時(shí),系統(tǒng)完全是穩(wěn)定狀態(tài)(與參數(shù)θ和?無關(guān)).

⑤隨著β的增大,系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)θ和?的狀態(tài)的劃分圖的穩(wěn)定區(qū)域面積越來越大,最后當(dāng)β≥0.00384時(shí),系統(tǒng)完全是穩(wěn)定狀態(tài).

3)參數(shù)θ對(duì)系統(tǒng)演化的影響

當(dāng)θ≤0.923時(shí),系統(tǒng)演化穩(wěn)定(與參數(shù)β和?無關(guān));當(dāng)0.923＜θ≤6.983時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)θ＞6.983時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)混沌.

4)參數(shù)?對(duì)系統(tǒng)演化的影響

①當(dāng)0.89≤?＜1時(shí),系統(tǒng)演化是穩(wěn)定的;當(dāng)?≤0.036或0.85≤?＜0.89時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的或周期運(yùn)動(dòng)的,當(dāng)0.036＜?＜0.85時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定、周期運(yùn)動(dòng)或者混沌狀態(tài).

②隨著?的增大,系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)β和θ的狀態(tài)劃分圖的穩(wěn)定區(qū)域的面積越來越大,直到?=0.89時(shí)整個(gè)區(qū)域都是穩(wěn)定的.

5 結(jié) 論

本文假設(shè)交通需求是彈性的,以兩條平行路徑的簡(jiǎn)單路網(wǎng)為例,建立了逐日動(dòng)態(tài)交通流演化模型(固定需求是β=0時(shí)的特殊情形),在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,通過改變與出行者特性有關(guān)的參數(shù)β,θ和?的取值,分析系統(tǒng)的演化規(guī)律.研究結(jié)論如下.

1)彈性需求動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)存在且唯一(定理1),平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定需要滿足一定的條件(定理2).

2)若對(duì)任意的?∈[0,1)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化都穩(wěn)定,那么臨界曲線β隨θ的變化為:當(dāng)θ≤0.923時(shí),β的臨界值等于0;當(dāng)θ＞0.923時(shí),β先增大后減小,然后又增大.

3)系統(tǒng)演化隨參數(shù)β,θ和?的變化呈現(xiàn)復(fù)雜的特征,有穩(wěn)定、分岔和混沌現(xiàn)象.總體上,參數(shù)β對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有“正”作用,即出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用越敏感,系統(tǒng)演化反而越可能穩(wěn)定,當(dāng)β≥0.00384時(shí),系統(tǒng)完全是穩(wěn)定狀態(tài);參數(shù)θ對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有“負(fù)”作用,即出行者路徑選擇時(shí)對(duì)路徑的費(fèi)用越敏感,系統(tǒng)演化越不可能穩(wěn)定,換言之,出行者路徑選擇的隨機(jī)性越小,系統(tǒng)演化越不可能穩(wěn)定;參數(shù)?對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有“正”作用,即出行者對(duì)前一天實(shí)際費(fèi)用的依賴程度越小,系統(tǒng)演化越可能穩(wěn)定.

注意到參數(shù)β反映的是出行者的出行意愿(是否出行),β越大,出行者的出行需求對(duì)費(fèi)用越敏感,出行者越不愿意出行,總的出行者數(shù)量就越小,系統(tǒng)越有可能穩(wěn)定.參數(shù)θ反映的是出行者一旦出行了,他在選擇路徑時(shí)路徑的費(fèi)用的影響程度(如何出行),θ越大,出行者路徑選擇時(shí)對(duì)路徑的費(fèi)用越敏感,出行者路徑選擇的隨機(jī)性越小,出行者越傾向于選擇最短路徑,而不是分散地選擇所有路徑,系統(tǒng)越不可能穩(wěn)定.因此,微觀個(gè)體出行者在做是否出行和如何選擇路徑?jīng)Q策時(shí),路徑的費(fèi)用的敏感性對(duì)網(wǎng)絡(luò)交通流演化的影響效果不同.

需要說明的是,本文的結(jié)論只在兩條路徑的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)中才成立,對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),可以參考本文的研究方法,分析網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化規(guī)律.對(duì)于更復(fù)雜的交通網(wǎng)絡(luò),其網(wǎng)絡(luò)交通流動(dòng)態(tài)演化模型是高維的非線性動(dòng)力學(xué)模型,但是分岔和混沌現(xiàn)象也應(yīng)該存在,只不過這時(shí)的非線性現(xiàn)象可能更加復(fù)雜,如可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)分岔和混沌的臨界點(diǎn),甚至在一定條件下還可能出現(xiàn)超混沌現(xiàn)象.

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PACS:05.45.–a,05.45.Gg,05.45.Pq,01.75.+mDOI:10.7498/aps.66.060501

Day-to-day dynam ical evo lu tion of netw ork traffi c fl ow w ith elastic dem and?

Liu Shi-Xu1)?Chen Wen-Si1)ChiQi-Yuan1)Yan Hai2)

1)(School of Civil Engineering,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China)
2)(Beijing Collaborative Innovation Center for M etropolitan Transportation,Beijing University of Technology, Beijing 100124,China)
(Received 7 Decem ber 2016;revised m anuscrip t received 28 Decem ber 2016)

Network traffi c fl ow is an aggregated result of a huge number of travelers’route choices,which is in fluenced by the travelers’choice behaviors.So day-to-day traffi c fl ow is not static,but presents a com p lex and tortuous day-to-day dynam ic evolution p rocess.Studying day-to-day dynam ic evolution ofnetwork traffi c flow,we can not only know whether the traffi c network equilibrium can be reached and how the p rocess is achieved,but also can know what phenomenon w ill occur in the evolution of network traffi c flow if the equilibrium is not reached.In a real traffi c system,taking day as scale unit,the day-to-day network traffi c dem and is variable and changes w ith everyday’s traffi c network state.The travelers’route choices are also influenced by the previous day’s behaviors and network state.Then,w ill the day-to-day network traffi c flow evolution be stable?If it is unstable,when w ill bifurcation and chaos occur?In this paper we discuss the day-to-day dynam ic evolution of network traffi c fl ow w ith elastic dem and in a sim p le two-route network. The dynam ic evolution model of network traffi c fl ow w ith elastic demand is formulated.Based on a non linear dynam ic theory,the existence and uniqueness of the fixed point of dynam ic evolution m odel are proved,and an equilibrium stability condition for the dynam ic evolution of network traffi c flow w ith elastic demand is derived.Then,the evolution of network traffi c flow is investigated through num erical experim ents by changing the three param eters associated w ith travelers,which are the sensitivity of travelers’travel dem and to travel cost,the random ness of travelers’route choices, and travelers’reliance on the previous day’s actual cost.Our findings are as follows.Firstly,there are three kinds of final states in the evolution of network traffi c flow:stability and convergence to equilibrium,periodicm otion and chaos. The final state of the network traffi c flow evolution is related to the above three param eters.It is found that under certain conditions the bifurcation diagram of the network traffi c flow evolution reveals a com p licated phenomenon of period doubling bifurcation to chaos,and then period-halving bifurcation.M eanwhile,the chaotic region is interspersed w ith odd periodic w indows.M oreover,them ore sensitive to cost the travelers’travel dem and them ore likely the system evolution is to be stable.The smaller the randomness of travelers’route choices,the less likely the system evolution is to be stable.The lower the degree of travelers’reliance on the previous day’s actual cost,the m ore likely the system evolution is to be stable.

network traffi c flow,elastic demand,dynam ical evolution,chaos

10.7498/aps.66.060501

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):51308126,51378036,51308018)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:liushixu@fzu.edu.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.51308126,51378036,51308018).

?Corresponding author.E-m ail:liushixu@fzu.edu.cn