張鵬程， 張 權(quán)， 郝慧艷， 陳 燕， 桂志國,2

(1. 中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051； 2. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051)

絕對差值排序的全變分低劑量CT重建算法

張鵬程1， 張 權(quán)1， 郝慧艷1， 陳 燕1， 桂志國1,2

(1. 中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051； 2. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051)

針對傳統(tǒng)全變分(Total Variation, TV)低劑量CT(Computed Tomography, CT)算法在重建圖像時(shí)出現(xiàn)階梯效應(yīng)和模糊圖像邊緣的問題， 提出了基于絕對差值排序(Rank-Ordered Absolute Differences, ROAD)和中值先驗(yàn)(Median Prior, MP)模型的TV低劑量CT重建算法. 首先采用ROAD對傳統(tǒng)TV模型中的擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)， 然后將改進(jìn)后的TV模型與MP模型結(jié)合得到新的懲罰項(xiàng)， 最后將該懲罰項(xiàng)應(yīng)用于基于懲罰加權(quán)最小二乘重建算法從而構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù). 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 新算法不僅可以抑制階梯偽影的產(chǎn)生， 還能夠很好地保留圖像邊緣細(xì)節(jié)信息.

低劑量CT; 全變分; 階梯效應(yīng); 中值先驗(yàn); 絕對差值排序

計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)(Computed Tomography， CT)現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于疾病預(yù)防、 臨床診療等方面. 高輻射劑量會損害人體健康組織器官， 因此需要在降低輻射劑量的同時(shí)獲取滿足臨床實(shí)際需求的解剖信息清晰、 密度分辨率高的CT圖像. 輻射劑量的降低會導(dǎo)致從X射線源發(fā)出的光子數(shù)目急劇減少， 投影數(shù)據(jù)被噪聲污染嚴(yán)重， CT圖像中出現(xiàn)明顯的條形偽影. 因此， 濾除低劑量CT圖像中的噪聲已成為眾多學(xué)者研究的重點(diǎn)問題.

解決這一問題主要有3種方法： ① 對投影數(shù)據(jù)降噪處理反投影重建獲取待求目標(biāo)圖像； ② 對低劑量CT含噪圖像直接進(jìn)行降噪的后處理算法； ③ 圖象域統(tǒng)計(jì)迭代重建算法. 本文主要是針對低劑量CT的統(tǒng)計(jì)迭代重建算法進(jìn)行研究. 針對加權(quán)最小二乘算法的不適定性， Wang等[1]采用逐次超松弛迭代算法[2]求解懲罰加權(quán)最小二乘(Penalized Weighted Least Square, PWLS)算法代價(jià)函數(shù)獲得比較滿意的圖像效果， PWLS模型現(xiàn)已在低劑量CT圖像的統(tǒng)計(jì)迭代重建算法中得到廣泛應(yīng)用. Zhang等[3]改進(jìn)傳統(tǒng)非局部均值先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械臑V波參數(shù)， 提出一種可以根據(jù)圖像相似程度自動(dòng)調(diào)節(jié)濾波強(qiáng)度的函數(shù)， 新算法在去除條形偽影的同時(shí)保留圖像更多的邊緣細(xì)節(jié)信息. 路利軍等[4]通過利用解剖圖像的區(qū)域信息進(jìn)行自適應(yīng)迭代估計(jì)來改進(jìn)權(quán)值參數(shù)， 進(jìn)而提出一種基于解剖自適應(yīng)的非局部先驗(yàn)貝葉斯PET圖像重建算法， 不僅對圖像邊緣有良好保持效果， 還能有效地提高病灶對比度. 王麗艷等[5]針對低劑量CT重建提出一種線性Bregrman迭代統(tǒng)計(jì)重建算法， 改善重建圖像的質(zhì)量且具有快的收斂速度. Sidky等[6]將全變分(TotalVariation, TV)最小化理論應(yīng)用到錐束CT重建中， 并在視覺效果和定量分析方面都取得理想效果. 何琳等[7]提出一種自適應(yīng)加權(quán)TV的低劑量CT統(tǒng)計(jì)迭代重建算法， 該算法中的邊緣擴(kuò)散函數(shù)基于圖像的梯度和加權(quán)方差得到， 新函數(shù)可以對圖像邊緣細(xì)節(jié)鄰域進(jìn)行自動(dòng)濾波處理， 因此， 重建圖像邊緣細(xì)小區(qū)域的噪聲在得到有效抑制的同時(shí)沒有模糊或犧牲細(xì)節(jié)特征.

TV最小化是目前最受歡迎的一種邊緣保留的圖像恢復(fù)方法. Tian等[8]將TV正則化先驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵氲降蛣┝緾T重建算法中， 獲得的圖像具有良好的邊緣保持特性. TV正則化模型在去除圖像噪聲的同時(shí)會模糊圖像的邊緣， 使圖像出現(xiàn)階梯效應(yīng). Hsiao等[9]提出了一種具有優(yōu)異的邊緣保持能力的中值先驗(yàn)(Median Prior, MP)重建算法. 張芳等[10]提出一種基于小波和非局部的全變差MP重建算法， 在獲得高質(zhì)量圖像的同時(shí)提高圖像的抗噪聲性能. Liu等[11]提出一種稀疏角度下的低劑量CT的MP約束的全變分算法， 可以得到高分辨率和高信噪比的CT重建圖像. Shangguan等[12]提出一種聯(lián)合正則的稀疏角度腦CT統(tǒng)計(jì)迭代圖像重建， 通過MP和廣義全變分來正則化傳統(tǒng)PWLS的目標(biāo)函數(shù)， 最終獲得優(yōu)質(zhì)的高分辨率的腦CT圖像. Garnett等[13]首次使用絕對差值排序檢測法(Rank-Ordered Absolute Differences, ROAD)來去除圖像噪聲. 董嬋嬋等[14]將ROAD和小波收縮結(jié)合提出一種最大似然期望最大化的低劑量CT重建算法， 不僅可以抑制噪聲， 還能較好地保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息. 受文獻(xiàn)[9]和[13]的啟發(fā)， 本文提出一種絕對差值排序的全變分低劑量CT重建算法， 首先使用可以區(qū)分圖像光滑區(qū)域和邊緣區(qū)域的ROAD改進(jìn)擴(kuò)散函數(shù)并將其運(yùn)用到傳統(tǒng)TV模型中， 然后將改進(jìn)的TV模型與MP模型結(jié)合作為新的懲罰項(xiàng)， 再與PWLS重建算法構(gòu)造出新目標(biāo)函數(shù). 通過視覺效果和量化指標(biāo)分析， 新算法重建圖像質(zhì)量得到明顯改善且邊緣細(xì)節(jié)分辨率高.

1 投影數(shù)據(jù)噪聲特性

圖像噪聲問題的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)隨機(jī)過程的問題， 因此往往可以使用隨機(jī)過程的概率分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)來描述噪聲. 噪聲按照統(tǒng)計(jì)學(xué)理論可分為兩類： 一類是不隨時(shí)間增長而變化的平穩(wěn)噪聲， 另一類是非平穩(wěn)隨機(jī)噪聲， 其統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間而變. 如果依據(jù)噪聲幅度分布的統(tǒng)計(jì)特性又可分為高斯噪聲、 泊松噪聲和瑞利噪聲等. 高斯噪聲服從正態(tài)分布且數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單易計(jì)算， 目前， 圖像處理中常采用高斯噪聲模型對理想圖像進(jìn)行噪聲添加.

Wang[15]采用多層高速CT掃描機(jī)對仿真投影數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)， 通過計(jì)算投影數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)， 發(fā)現(xiàn)投影數(shù)據(jù)的噪聲可以通過高斯分布進(jìn)行準(zhǔn)確的建模. Li等[16]得出低劑量CT投影近似地服從非平穩(wěn)高斯分布， 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

2 懲罰加權(quán)最小二乘重建算法

PWLS重建算法是在最小二乘估計(jì)(Least Squares, LS)算法中加入帶有平滑約束的懲罰項(xiàng)得到. PWLS算法的目標(biāo)函數(shù)為

3 絕對差值排序的全變分低劑量CT統(tǒng)計(jì)迭代重建算法

3.1TV算法

TV算法是一種經(jīng)典的圖像去噪算法[6]，TV的正則化模型為

3.2 中值先驗(yàn)

基于TV正則化約束的低劑量CT重建算法雖然取得很好的降噪效果， 但TV降噪算法往往會導(dǎo)致圖像產(chǎn)生階梯狀偽影. 針對TV最小化先驗(yàn)存在的不足，Hsiao等[9]提出的MP先驗(yàn)在邊緣保持能力方面表現(xiàn)優(yōu)異， 因此本文懲罰項(xiàng)是由TV先驗(yàn)和MP先驗(yàn)共同決定.

MP可通過構(gòu)造輔助向量得到， 其目標(biāo)函數(shù)

φ

式中：m是f的輔助向量， 兩者具有相同的維數(shù);Nj是像素j的鄰域;φ表示勢能函數(shù);fj和mk鄰域像素間的相互關(guān)系用權(quán)值函數(shù)ωjk表示， 當(dāng)k∈Nj時(shí)，ωjk的值為1， 當(dāng)k?Nj時(shí)，ωjk則為0.

勢函數(shù)選取φ(z)=|z|， 則R(f,m)可改寫為

|fj-mk|.

輔助向量鄰域像素mk的大小為

mk=median{fj∶j∈Nk}.

3.3 絕對差值排序法

傳統(tǒng)TV正則化算法， 對圖像的平滑區(qū)域和邊緣細(xì)節(jié)區(qū)域的濾波程度相同， 往往會造成平滑區(qū)域降噪不充分， 邊緣區(qū)域?yàn)V波程度過強(qiáng)， 從而導(dǎo)致圖像邊緣模糊. 傳統(tǒng)TV模型與MP的結(jié)合在一定程度上會抑制階梯效應(yīng)的產(chǎn)生， 但邊緣細(xì)節(jié)依舊存在模糊不清的不足.

Garnett等[13]提出的ROAD可以有效地區(qū)分圖像邊緣和圖像中含有的噪聲， 因此， 將ROAD與偏微分方程中的擴(kuò)散系數(shù)結(jié)合構(gòu)成新邊緣指示函數(shù)， 能夠針對圖像區(qū)域的不同而進(jìn)行不同強(qiáng)度的去噪.ROAD的公式為

dx,y=|ux-uy|,

式中： 像素y表示以像素x為中心的鄰域像素. 因此， ROAD是圖像的一個(gè)局部統(tǒng)計(jì)特性， 本文是在3×3鄰域中計(jì)算，dx,y是像素x和像素y的強(qiáng)度差的絕對值.

按升序排列dx,y的值， 則有

式中：ri(x)是第i小的dx,y； 2≤m≤7.

偏微分方程的擴(kuò)散函數(shù)為

ct(x,y)=g(

圖像邊緣區(qū)域附近的鄰域像素與中心像素的強(qiáng)度值相差較小，ROAD的值就較小， 濾波程度相對就小， 可以更好地保護(hù)圖像的邊緣區(qū)域； 圖像中的噪聲會使中心像素與周圍大多數(shù)或所有鄰域像素值相差很大， 表明ROAD的值較大， 邊緣指示函數(shù)的值就越大， 就可以有效地去除圖像中含有的大量噪聲.

因此， 基于ROAD的新邊緣指示函數(shù)可以表示為

由上可知，ROAD可以很好地區(qū)分圖像的邊緣區(qū)域和噪聲， 把ROAD引入到傳統(tǒng)TV模型中是切實(shí)可行的， 可以有效地彌補(bǔ)傳統(tǒng)TV正則化去噪算法模糊圖像邊緣， 產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺點(diǎn).

3.4 絕對差值排序的全變分CT重建算法

基于ROAD的全變分模型表示為

絕對差值排序的全變分低劑量CT重建算法的目標(biāo)函數(shù)可重寫為

Φ(f)=(y-Gf)T∑-1(y-Gf)+

β1RMTV(u,f)+β2RMP(f,m).

采用可分離拋物面替代算法[17]求解式(12)為

采用梯度下降流和數(shù)值計(jì)算方法求解MTV模型， 則有

式中： ε是一個(gè)非常小的正參數(shù)， ε=10-8.

3.5 重建算法描述

算法描述如下：

1) 以FBP重建算法獲取的重建圖像作為初始化的CT重建圖像， 記為f0；

2) 利用式(7)～(10)計(jì)算得到新邊緣指示函數(shù)gROAD；

3) 將初始化圖像f0和邊緣指示函數(shù)函數(shù)gROAD代入式(13)～(15)， 通過可分離拋物面法和梯度法求解新目標(biāo)函數(shù).

4) 重復(fù)2)和3)一定次數(shù)， 不斷調(diào)整實(shí)驗(yàn)過程中涉及的所有參數(shù)， 選取高對比度、 高分辨率、 邊緣清晰且與原圖差距最小的圖像作為所求圖像.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

采用Shepp-Logan大腦模型和數(shù)字胸腔模型[18]進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的可行性、 有效性和可靠性. 算法的編程環(huán)境為MATLAB7.6.0(R2008a)， 本文仿真實(shí)驗(yàn)是在操作系統(tǒng)為Windows7， 處理器為Intel(R)Core(TM)i7-4770KCPU@3.50GH， 內(nèi)存為4G的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行. 圖 1 展示的是Shepp-Logan大腦模型和數(shù)字胸腔模型， 兩模型的尺寸均為256×256. 實(shí)驗(yàn)對比算法分別為懲罰加權(quán)最小二乘算法(PWLS)、 懲罰加權(quán)最小二乘全變分算法(PWLS-TV)、 懲罰加權(quán)最小二乘中指先驗(yàn)全變分算法(PWLS-MPTV).

圖 1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.1 Experimental model

同時(shí)， 采用式(1)中的非平穩(wěn)高斯分布噪聲模型向理想的投影數(shù)據(jù)中添加噪聲， 其中ξi=200， η=22 000. 高斯濾波中的方差σ=15， 邊緣指示函數(shù)中的擴(kuò)散系數(shù)K=8， 控制保真項(xiàng)和懲罰項(xiàng)之間的平滑參數(shù)β1=8, β2=15.

圖 2 給出的是大腦模型各算法恢復(fù)圖像， 由圖可知，PWLS算法獲得的重建圖像比較模糊， 不利于醫(yī)生做出準(zhǔn)確的診療判斷.PWLS-TV算法在偽影抑制和噪聲去除方面有明顯提高， 由于TV只能逼近分片常數(shù)函數(shù)， 會出現(xiàn)階躍響應(yīng)， 表現(xiàn)在圖像上就是階梯效應(yīng)， 恢復(fù)圖像中引入了理想模型圖像中沒有的塊狀偽影.PWLS-MPTV算法能夠去除PWLS-TV算法中的階梯效應(yīng)， 但由于該算法自適應(yīng)能力較差， 會失去圖像一小部分的特征結(jié)構(gòu). 本文算法幾乎不會丟失圖像的邊緣細(xì)節(jié)紋理結(jié)構(gòu)， 且重建圖像清晰明亮、 分辨率高.

圖 2 大腦模型各算法重建圖像Fig.2 Reconstructed image processed by various algorithms for the brain model

為從視覺效果上更清晰明了地觀察本文算法的優(yōu)越性， 選取圖2的4種算法重建圖像的兩個(gè)感興趣區(qū)域(RegionofInterest,ROI)進(jìn)行對比分析， 分別如圖 3 和圖 4 所示. 由圖可知， 本文重建算法明顯優(yōu)于其他3種對比算法， 尤其在降噪能力、 偽影抑制、 邊緣細(xì)節(jié)信息保留以及分辨率保持等方面表現(xiàn)優(yōu)異.

圖 3 圖2各對比算法重建圖像的ROI1放大圖Fig.3 The ROI1 enlarged drawing of reconstructed image of Fig.2

圖 4 圖2各對比算法重建圖像的ROI2放大圖Fig.4 The ROI2 enlarged drawing of reconstructed image of Fig.2

為更直觀地驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性和有效性， 給出Shepp-Logan模型與4種算法重建圖像在第125列的縱向剖面圖的密度曲線， 如圖 5 所示.PWLS算法與原始圖像125列像素差異比較大，PWLS-TV算法與理想圖像的差距減少但像素曲線波動(dòng)較大不平穩(wěn). 本文算法不僅相比PWLS-MPTV算法更接近原圖且波動(dòng)最小， 表明本文所提算法有優(yōu)異的邊緣保持效果.

圖 5 原圖和各重建圖第125列縱向剖面圖Fig.5 Comparison of 125th column longitudinal profiles of reconstructed image processed by various algorithms

為保證本文所提算法更具普遍性， 接著采用數(shù)字胸腔模型做進(jìn)一步深入的研究， 本文算法與3種對比算法的恢復(fù)圖像分別如圖 6 所示.PWLS算法雖在一定程度能抑制偽影和噪聲， 但圖像邊緣模糊達(dá)不到理想的復(fù)原效果.PWLS-TV算法可以克服PWLS算法模糊圖像的問題， 但卻引入新的塊狀偽影.PWLS-MPTV算法在去除噪聲方面有較大改善， 而且不會帶來圖像中未出現(xiàn)的偽影和噪聲， 但該算法自適應(yīng)能力不足， 會造成圖像邊緣細(xì)節(jié)紋理的損失. 本文算法在抑制大量噪聲偽影的同時(shí)幾乎不會過濾圖像重要細(xì)節(jié)信息.

圖 6 胸腔模型各算法重建圖像Fig.6 Reconstructed image processed by various algorithms for the thoracic model

圖 7 是圖 6 中4種重建圖像的局部放大圖， 可以看出，PWLS算法復(fù)原圖中殘留噪聲和偽影；PWLS-TV算法與PWLS算法相比， 濾除噪聲和抑制偽影的能力有明顯提高， 但代價(jià)是胸腔模型的局部區(qū)域出現(xiàn)塊狀偽影；PWLS-MPTV算法基本上可以滿足臨床應(yīng)用需求， 但在濾除噪聲的同時(shí)會過濾圖像的邊緣特征. 本文算法在去除噪聲和邊緣保留方面明顯優(yōu)于其他算法， 所得圖像質(zhì)量效果最佳.

圖 7 胸腔模型各算法局部放大圖Fig.7 The local enlarged drawing of reconstructed image for the thoracic model

為定量評價(jià)本文算法的優(yōu)越性， 則通過計(jì)算各重建圖像與原圖定量誤差參數(shù)來評判重建效果的優(yōu)劣性. 因此， 采用歸一化平均絕對距離(NormalAverageAbsoluteDistance,NAAD)、 歸一化均方距離(NormalizedMeanSquareDistance,NMSD)和信噪比(SignalNoiseRate,SNR)以及重建時(shí)間等定量評價(jià)指標(biāo)， 其定義分別為

式中： M和N表示圖像的行和列； Fi和qi表示重建圖像與原圖的像素灰度值； Mi和mi表示恢復(fù)圖像與理想圖像的均值. NAAD和NMSD的值表征重建圖像與原始圖像的差異程度， 其值越小表明越接近理想圖像且算法復(fù)原效果佳. 信噪比SNR的值越大， 則反映圖像失真程度越小， 重建圖像質(zhì)量越好.

表 1 和表 2 分別是Shepp-Logan模型和胸腔模型的各重建算法客觀質(zhì)量評價(jià)參數(shù). 由表 1， 表 2 分析可知， 本文算法NMSD和NAAD值最小且有最高的SNR， 表明本文算法與原圖差異最小， 信噪比高說明有用信息與噪聲比值大， 可以重建出優(yōu)質(zhì)的圖像.

表 1 大腦模型各算法質(zhì)量評價(jià)參數(shù)

表 2 胸腔模型各算法質(zhì)量評價(jià)參數(shù)

5 結(jié)束語

本文提出一種絕對差值排序的全變分低劑量CT重建算法， 首先采用基于ROAD的邊緣指示函數(shù)改進(jìn)傳統(tǒng)TV模型， 接著將修改的TV模型、 MP模型和PWLS重建算法結(jié)合， 通過可分離拋物面法求解得到重建圖像. 采用大腦和數(shù)字胸腔模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)， 主要從視覺效果(重建圖像、 圖像的ROI以及局部放大區(qū)域)、 像素曲線對比圖以及定量評價(jià)參數(shù)等方面評估了算法的優(yōu)越性.

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Total Variation Algorithm Based on Rank-Ordered Absolute Differences for Low-lose CT Reconstruction

ZHANG Peng-cheng1， ZHANG Quan1， HAO Hui-yan1， CHEN Yan1， GUI Zhi-guo1,2

(1. National Key Laboratory for Electronic Measurement Technology, North University of China, Taiyuan 030051, China; 2. Key Laboratory of Instrumentation Science & Dynamic Measurement, North University of China, Taiyuan 030051, China)

A new total variation algorithm based on the rank-ordered absolute differences (ROAD) method and the median prior (MP) model for low-lose CT reconstruction was proposed to overcome the drawback of the traditional total variation (TV) algorithm, which can result in the staircase effect and blur the image edge for the low-dose computed tomography (CT). The ROAD was applied to improve the diffusion function of the traditional TV model at first. Then, combining with this TV model, a new penalty item was formulated with the improved MP model. At last, this new item was applied to establish the new objective function based on the penalized weighted least square reconstruction algorithm. The experiment results illustrate that the new algorithm can reducing staircase artifacts, while can well preserve image details and edges.

low-dose computed tomography; total variation; staircase effect; median prior; rank-ordered absolute differences

1673-3193(2017)04-0498-07

2017-02-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271357)； 山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015011046)； 中北大學(xué)2013年?？茖W(xué)基金資助項(xiàng)目

張鵬程(1984-)， 男， 講師， 博士， 主要從事圖像處理與重建， 劑量計(jì)算與方案優(yōu)化的研究.

TP391

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.04.017