浙江省江山市清湖高級中學(324100) 康井榮

平面向量基本定理應用的幾種策略

浙江省江山市清湖高級中學(324100) 康井榮

縱觀近幾年的各地高考,經常出現平面向量基本定理應用的向量問題.這類問題一般屬于中檔題,但很多學生都怕做這種題目,碰到這種問題大多是空白一片.究其原因,是學生對平面向量基本定理理解得不深刻,對等式c=λa+μb中系數λ,μ的含義不清楚,導致對基本定理的處理,缺乏必要的方法和技巧;另外,處理這類問題時往往還需要數形結合,綜合運用平面幾何知識、解三角形知識、函數知識等加以解決,而學生這方面的綜合能力比較欠缺,思維比較單一,使得學生對這種問題心生畏懼,望而卻步.

其實這類問題的處理,基本思路是突出數形結合和轉化思想,運用平面幾何知識和向量的運算性質,化向量運算為純代數運算或幾何運算,歸納起來,大致有以下六種轉化策略:

1.將向量分解,轉化為平面幾何問題

平面向量基本定理實質就是向量的合成與分解.因此,將向量c沿基底a,b進行分解,結合已知條件和平面圖形的幾何性質,可以較快的找到λ,μ的關系.

2.利用向量相等的充要條件轉化為關于λ,μ的方程(組)解決

具體地說,就是根據已知條件c=λa+μb,結合圖形,用另一種方法將c用基底a,b線性表示,即將c寫成c=ma+nb,然后比較系數得到λ=m,μ=n的方程(組).

3.兩邊點乘向量轉化為純代數運算

由于向量的數量積是一個數量,因此,對等式c=λa+μb兩邊點乘向量a、b或c,也可以將其轉化為純代數運算.

4.通過兩邊平方,化向量為純代數運算

由于向量的模和平方都是數量,因此在等式c=λa+μb中,如果已知a,b的?；蛘咚鼈儕A角,可以通過兩邊平方轉化為純代數運算.

例4(2015年杭州二中高考仿真模擬題第16題)在△ABC中,∠B=60°,O為△ABC的外心,P為劣弧AC上的一動點,且則x+y的取值范圍為____.

分析由于向量的模相等,且的夾角也確定,因此可以考慮兩邊平方轉化為代數不等式問題.

5.利用坐標運算將向量問題轉化為純代數問題

由于向量的坐標運算也是純代數運算,因此通過建系設點,利用向量的坐標運算解決c=λa+μb的問題也是一種轉化的策略.

分析要求出動點P所形成的平面區(qū)域的面積,必須探求動點P所形成的平面圖形,為此我們可以通過建立坐標系,設出P點的坐標(m,n),再根據已知條件找到m,n所滿足的條件,這樣就將向量問題轉化為線性規(guī)劃的問題了.

6、利用平面向量基本定理的推論轉化為平面幾何問題

(1)平面向量基本定理的推論是指:設平面內有三點P、A、B,且若滿足λ+μ=1,則P、A、B三點共線,反之也成立.解題時,如果能將已知條件轉化為λ+μ=1,就可以根據這個結論確定c的終點位置,利用平面幾何知識快速解題.

分析如果將λ+2μ=2變換成再將OA延長一倍,那么就將條件轉化為λ′+μ′=1了,這樣就可以根據P點的位置快速求出投影的取值范圍.

小結深刻理解平面向量基本定理,牢牢抓住c=λa+μb轉化的基本思想,結合圖形和向量的運算性質,在解題過程中就會顯得游刃有余.同學們在平時解題中只要善于多思考,多總結,那么一切困難都可以迎刃而解.運用基本定理的推論,可以使解題更快捷簡便,前面的例4、例5兩個例題,都可以采用這個結論解決,讀者不妨一試!

[1]楊雪.一類向量線性和的系數問題解決方案的探究[J].中學教研,2014(9):33-36.

[2]高賀清.利用三點共線巧解一類向量系數問題[J].中學生數理化,2012(11):20-20.