湖北省陽新縣高級中學(435200) 鄒生書

一道定點調(diào)考題的解法與推廣探究

湖北省陽新縣高級中學(435200) 鄒生書

題目在平面直角坐標系中,設(shè)A,B,C三點是曲線上三個不同的點,且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,則過D,E,F三點的圓一定經(jīng)過定點____.

這是湖北省武漢市2017屆高三2月調(diào)考數(shù)學理科第15題,題意簡明易懂,試題能力立意,綜合考查數(shù)學思想方法和推理探究能力,考查對問題的整體掌控能力和直覺思維能力,考查創(chuàng)新意識、數(shù)學綜合素質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng).下面介紹筆者對這道定點調(diào)考題的解法與問題的推廣探究歷程,與讀者分享.

1.化歸轉(zhuǎn)化退步求解

華羅庚先生曾指出:“善于退,足夠的退,退到最原始而不失重要的地方,是學好數(shù)學的一個訣竅.”這里所說的“退”,其含義很豐富,包含從特殊退到特殊、從一般退到特殊和從特殊退到一般三種情形.所謂從特殊退到特殊,就是將一種特殊的情形退到另一種更為特殊的情形去研究;所謂從一般退到特殊,指的是運用特例法對問題的一般情形做出判斷;所謂從特殊退到一般,指的是把問題放在一個一般的背景中去思考.

問題在平面直角坐標系中,設(shè)A,B,C三點是曲線上三個不同的點,且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,則過D,E,F三點的圓一定經(jīng)過定點____.

2.合情推理探求定點

分析一方面,注意到的圖象是雙曲線,兩條坐標軸是它的對稱軸,坐標原點是它的對稱中心,因此解題時應(yīng)充分利用圖象的對稱性.另一方面,題目告訴我們過D,E,F三點的圓一定經(jīng)過定點,但沒有說是幾個定點,因此,首先要對定點個數(shù)作出判斷.顯然外接圓不可能過三過定點,假若過三個定點,則這些圓是同一個圓,這不可能.假若過兩個定點,那么這些圓的圓心在以這兩個定點為端點的線段的垂直平分線上,這也不可能.故外接圓只過一個定點.當然上面的推理用的是直覺思維,并非邏輯推理.基于上述兩點有如下幾種解法.

因為雙曲線關(guān)于原點對稱,則A,B,C三點關(guān)于原點的對稱點A′,B′,C′在雙曲線的另一支上,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點,由中心對稱知△D′E′F′的外接圓方程為

解方程①②得唯一解x=0,y=0,即原點是兩個圓的唯一公共點,故所求定點為原點.

點評上述解法需要解方程組有一定的運算量,下面我們改進上述解法,采用方程思想進行定性分析的方法求解.

解法2(用方程思想)設(shè)A,B,C是雙曲線在第一象限的一支上的任意三點,設(shè)過D,E,F三點的圓的方程為

因為雙曲線關(guān)于原點對稱,則A,B,C三點關(guān)于原點的對稱點A′,B′,C′在雙曲線的另一支上,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點,由中心對稱知△D′E′F′的外接圓方程為

依題意這兩個圓過同一定點,所以方程組①②有解.兩方程相減得

則

若f＞0,則方程組無解,從而兩圓沒有公共點,不合題意.若f＜0,則由方程③④知方程組有兩個解,但兩個解不是定值,即兩圓有兩個不是定點的公共點,不合題意.若f=0,則方程組有唯一而確定的解x=0,y=0,符合題意.故所求定點為原點.

解法3(根據(jù)軸對稱性進行合情推理)因為兩條坐標軸是雙曲線的對稱軸,設(shè)A,B,C三點關(guān)于x軸的對稱點分別為A′,B′,C′,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點,則△DEF的外接圓與△D′E′F′的外接圓也關(guān)于x軸對稱.因為這兩個圓經(jīng)過同一定點,所以定點一定在x軸上,同理定點也在y軸上,所以定點就是兩坐標軸的交點即坐標原點O.

解法4(根據(jù)中心對稱性進行合情推理)因為坐標原點是雙曲線的對稱中心,設(shè)A,B,C三點關(guān)于原點的對稱點分別為A′,B′,C′,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點,則△DEF的外接圓與△D′E′F′的外接圓也關(guān)于原點對稱.因為這兩個圓都只經(jīng)過同一定點,所以定點只能是坐標原點O.

根據(jù)以上分析和合情推理,我們不難求出調(diào)考題所求的定點坐標為(1,0).

3.演繹推理證明推廣

下面我們將問題一般化并將方程標準化可得如下結(jié)論:

性質(zhì)1 在平面直角坐標系中,設(shè)A,B,C三點是等軸雙曲線xy=λ(λ＞0)上三個不同的點,且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,證明過D,E,F三點的圓必過坐標原點O.

證法1(證四邊形OFDE的一組對角互補)因為A,B,C三點是等軸雙曲線xy=λ上三個不同的點,故可設(shè)A,B,C三點與雙曲線有如下兩種位置關(guān)系:一是三點均在同一支上,如圖1;二是其中一個點在一支上,另兩個點在另一支上,如圖2.

圖1

圖2

要證△ABC各邊的中點△DEF的外接圓過原點O,只需證O,D,E,F四點共圓,只需證∠EOF+∠EDF=180°.易知EAFD是平行四邊形,所以∠EDF= ∠BAC,故只需證 ∠EOF+ ∠BAC=180°,只需證 tan∠EOF=?tan∠BAC.

綜上,tan∠EOF=?tan∠BAC.故O,D,E,F四點共圓,則過D,E,F三點的圓經(jīng)過定點,這個定點就是坐標原點也就是等軸雙曲線的對稱中心.

同理,邊OD與邊OF的垂直平分線的交點坐標與點M相同,即它們也相交于同一點M.由線段垂直平分線的性質(zhì)得MO=MD=ME=MF,故O,D,E,F四點在以點M為圓心的圓上,所以過D,E,F三點的圓必經(jīng)過點O.

由曲線平移的知識可得如下一般性結(jié)論:

性質(zhì)2 在平面直角坐標系中,設(shè)A,B,C三點是曲線

上三個不同的點,且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,則過D,E,F三點的圓必過曲線的對稱中心即定點(a,b).

等軸雙曲線的上述性質(zhì)用文字語言表達如下:

性質(zhì)等軸雙曲線上任意三點所構(gòu)成的三角形的中點三角形的外接圓必過雙曲線的中心.

筆者借助幾何畫板研究發(fā)現(xiàn),上述性質(zhì)是等軸雙曲線的一個特有性質(zhì),并非所有的雙曲線所擁有.

通俗地說,合情推理是一種“合乎情理”的推理,在上述研究中,我們用合情推理猜測出“如果定點存在,則定點只能是一個并且是等軸雙曲線的對稱中心”,這一猜測為我們用四點共圓的方法來證明命題提供了證明的思路和方向.演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程,但數(shù)學結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.合情推理和演繹推理是思維的兩個不可缺失的方面,兩者相輔相成、相得益彰.數(shù)學的教學是思維的教學,在課堂教學中,我們不僅要教會學生學會證明,也要教會學生學會猜想.