武漢市武漢外國語學(xué)校(430022) 李彬

關(guān)于有心圓錐曲線兩條性質(zhì)的注記

武漢市武漢外國語學(xué)校(430022) 李彬

圓,橢圓,雙曲線均是具有對稱中心的二次曲線,我們將之統(tǒng)稱為有心圓錐曲線.為了方便我們將其在平面直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一記為:

其中a,b＞0,ε=0或1.

性質(zhì)1兩條位似的有心圓錐曲線C1,C2以對稱中心為位似中心,若直線l與C1交于P,Q兩點,與C2交于S,T兩點,則|PS|=|TQ|.

圖1

圖2

圖3

證明設(shè)C1,C2在平面直角坐標(biāo)系中方程如下:

其中λ1,λ2＞0.當(dāng)直線l垂直于x軸時結(jié)論顯然.否則,設(shè)直線l方程為:y=kx+d分別代入(2),(3)可得到關(guān)于x的兩個二次方程.易知這兩個二次方程二次項系數(shù)(均非0,因有兩個交點)和一次項系數(shù)分別對應(yīng)相等,故由韋達(dá)定理可知:

即線段PQ和ST中點相同,從而|PS|=|TQ|.

注1.當(dāng)(2),(3)中ε=0且a=b(即C1,C2為兩個同心圓)時,此結(jié)論由平面幾何知識是顯然的.

2.當(dāng)(2),(3)中ε=0且a≠b(即C1,C2為兩個位似的橢圓)時,可通過伸縮變換

將C1,C2變?yōu)閮蓚€同心圓,再由注1即得(伸縮變換后線段PS和TQ變?yōu)楸煌膱A截得的兩條線段P′S′和T′Q′,且

3.當(dāng)(2),(3)中ε=1(即C1,C2為兩個位似的雙曲線)時,固定λ1,令λ2趨向于0,則極限情形時C2為C1的漸近線,由性質(zhì)1可知:直線l截雙曲線及其漸近線,夾于雙曲線和漸近線間的線段長度相等.

性質(zhì)2有心圓錐曲線D1,D2方程如下:

若直線l與D1交于P,Q兩點,與D2交于S,T兩點且P,Q,S,T均不在y軸上,則

證明當(dāng)直線l垂直于x軸時結(jié)論顯然.否則,設(shè)直線l方程為:y=kx+b分別代入(5),(6)可得到關(guān)于x的兩個二次方程.易知這兩個二次方程一次項系數(shù)和常數(shù)項分別對應(yīng)相等,二次項系數(shù)不等且均非0(因有兩個交點),故由韋達(dá)定理可知:

化簡即得(7).

注若直線l斜率存在,設(shè)其與y軸交于點R(0,yR).

1.當(dāng)ε=1(D1,D2均為雙曲線,見圖4),或ε=0(D1,D2均為橢圓或圓)且R在D1,D2外時(見圖5),點R關(guān)于D1,D2的切點弦 (或稱為極線)相同,均為設(shè)l2與l交點為M,則R,P,M,Q構(gòu)成調(diào)和點列,R,S,M,T也構(gòu)成調(diào)和點列.可知點M的橫坐標(biāo)xM既為P,Q橫坐標(biāo)的調(diào)和平均數(shù),又為S,T橫坐標(biāo)的調(diào)和平均數(shù),即

圖4

圖5

上述兩條關(guān)于有心圓錐曲線的性質(zhì)都是關(guān)心直線與有心圓錐曲線的兩個交點的橫坐標(biāo)所滿足的關(guān)系.當(dāng)圓錐曲線滿足特定的條件時,性質(zhì)1中兩個交點橫坐標(biāo)的代數(shù)平均值為常數(shù),性質(zhì)2中兩個交點橫坐標(biāo)的調(diào)和平均值為常數(shù),看上去兩個性質(zhì)的條件也好、結(jié)論也罷有相似之處,但又是截然不同的,似乎有著千絲萬縷的聯(lián)系,從我們給出的兩個具有異曲同工之妙的證明來看也印證了這一點.下面我們將從坐標(biāo)變換的角度來解釋兩條性質(zhì)之間的關(guān)系.

考慮對平面直角坐標(biāo)系作如下的坐標(biāo)變換:

注意坐標(biāo)變換(11)是將平面上所有不在y軸上的點構(gòu)成的點集映到自身的一個雙射.該變換將平行于y軸的直線m:x=d(d≠0)變?yōu)橹本€m′:將挖掉點(0,d)的直線n:y=kx+d變?yōu)橥诘酎c(0,k)的直線n′:y′=dx′+k.

注下文中在不引起混淆的情況下,將經(jīng)坐標(biāo)變換(11)后得到的曲線方程中x′,y′的直接寫作x,y.另外,下文中提到經(jīng)坐標(biāo)變換(11)某曲線C變?yōu)榍€C′時,不再特別指出需去掉C及C′與y軸的交點.

性質(zhì)1中的有心圓錐曲線

經(jīng)坐標(biāo)變換(11)變?yōu)?

符合性質(zhì)2中的條件.注意(11)將橢圓或圓變作雙曲線,將雙曲線變作橢圓或圓,另外性質(zhì)1中的直線仍變作直線.若性質(zhì)1中四個交點P,Q,S,T均不在y軸上,且在坐標(biāo)變換(11)下分別變?yōu)镻′,Q′,S′,T′,則由性質(zhì) 2 可知:

符合性質(zhì)1條件,設(shè)性質(zhì)2中四個交點P,Q,S,T在坐標(biāo)變換 (11)下分別變?yōu)镻′,Q′,S′,T′,則由性質(zhì) 1 可知:

即性質(zhì)2成立.