江蘇省泰州市姜堰區(qū)婁莊中學(xué)（2016級(jí)青海師范大學(xué)教育碩士在讀） 凌春霞

一道數(shù)學(xué)題的思考

江蘇省泰州市姜堰區(qū)婁莊中學(xué)（2016級(jí)青海師范大學(xué)教育碩士在讀） 凌春霞

二元變量求最值問題是高中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，近年來(lái)，高考試題中屢有考查。求解二元變量的最值，涉及函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等諸多高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等若干核心數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。學(xué)好二元變量最值的求解，是函數(shù)部分的一大重點(diǎn)。

一、消元法，函數(shù)思想

二元最值問題因?yàn)閱栴}含有兩個(gè)變量，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法使用熟悉的函數(shù)工具來(lái)解決問題。因?yàn)橥瑢W(xué)們所熟悉的函數(shù)是單變量的，因此可以結(jié)合條件進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化。

評(píng)析：將變量a，b轉(zhuǎn)化為關(guān)于單變量的表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)二元最值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的單變量函數(shù)問題，簡(jiǎn)化了問題，實(shí)現(xiàn)了問題由未知到已知的轉(zhuǎn)化。

二、基本不等式

若條件與目標(biāo)含有和、積、倒數(shù)和以及平方和等表達(dá)形式，可以考慮使用基本不等式建立關(guān)于目標(biāo)的不等式來(lái)解決問題。

故當(dāng)a=b=2時(shí)， 取最小值8。

評(píng)析：借助基本不等式將條件和目標(biāo)巧妙地聯(lián)系起來(lái)，建立關(guān)于目標(biāo)的不等式，是解決問題的關(guān)鍵。

三、數(shù)形結(jié)合，幾何意義

若條件和目標(biāo)可以在直角坐標(biāo)系中用相應(yīng)的幾何圖形表示，則數(shù)形結(jié)合，考查其幾何意義對(duì)解決問題有很大幫助，而且能夠直觀地感受數(shù)學(xué)問題。

解：因?yàn)闈M足a＞0，b＞0,a+b=4的點(diǎn)（a，b）的軌跡是一條線段（如圖），即線段AB，而的幾何意義是原點(diǎn)到點(diǎn)（a ， b）的距離的平方，所以的最小值為原點(diǎn)到線段AB的距離的平方，即的最小值為

評(píng)析：本題的關(guān)鍵是條件和目標(biāo)具備幾何意義，能在直角坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)化為相關(guān)圖形，這樣就將代數(shù)問題幾何化，利用幾何性質(zhì)解決問題。

目標(biāo)常見形式及其幾何意義：

目標(biāo) 幾何意義與直線的截距有關(guān)表示點(diǎn)（x ，y）到定點(diǎn)（a ，b）的距離的平方

點(diǎn)（x ，y）與點(diǎn)（a ，b）連線的斜率與點(diǎn)（x ，y）到直線的距離有關(guān)

小結(jié)：以上三種方法都有一個(gè)共同的條件，即已知二元變量的等量關(guān)系。通過這一等量關(guān)系去進(jìn)行等價(jià)變形、代換、轉(zhuǎn)化等，從而將我們不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)用已有知識(shí)能夠解決或熟悉的問題。

四、線性規(guī)劃，目標(biāo)函數(shù)

如果試題中的條件是二元變量的不等關(guān)系，以上方法就不適用了。

小結(jié)：這一類問題的主要特點(diǎn)是條件為二元變量的不等關(guān)系，這是運(yùn)用線性規(guī)劃解題的重要標(biāo)志，因?yàn)榫€性規(guī)劃主要就是解決二元變量不等關(guān)系的重要手段。同時(shí)，題中的a4可以換成關(guān)于a1和d的目標(biāo)函數(shù)，也可解決。

再回到開始的問題上，運(yùn)用以上方法較復(fù)雜、煩瑣，但只要中心思想正確就能解決。

評(píng)析：對(duì)于本題，函數(shù)思想是比較容易想到的方法，但解題過程較煩瑣，而基本不等式的方法又不容易想到，所以不少學(xué)生會(huì)放棄。因此，加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)技巧和能力也是至關(guān)重要的。

總之，在解題時(shí)要綜合分析條件和目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們與知識(shí)、思想的聯(lián)系，對(duì)號(hào)入座，選擇適當(dāng)、恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。如何分析和選擇方法，完全因題而異，而通過一定的解題實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)積累，對(duì)于二元最值問題的分析和解決會(huì)有很大幫助。