廣東 鄭榮坤

一道函數(shù)題解法探究與推廣

廣東 鄭榮坤

（1）求f（x）的最小值；

（2）若方程f（x）＝a有兩個(gè)根x1，x2（x1＜x2），證明：x1＋x2＞2．

本題第（1）問(wèn)的解答比較簡(jiǎn)單，在此我們不對(duì)它深入探究．

所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，故f（x）的最小值為f（1）＝1．

以下我們重點(diǎn)探究第（2）問(wèn)的解法．

一、探究第二小題的多種解法

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題，此類不問(wèn)題方法技巧性強(qiáng)，很多學(xué)生難以掌握其解題方法，近幾年來(lái)在各地高考題和模擬考題中，此類問(wèn)題屢屢出現(xiàn)．下面筆者對(duì)此題解法做一些探究，并摸索出了一些解決此類題型的方法．

【評(píng)注】此解法由命題人提供的，由題目條件推出x1，x2的等式，用分析法尋找所要構(gòu)造的函數(shù)，先換元再求所得函數(shù)的最值，這是證明此類不等式的常用方法和技巧．但這樣的方法學(xué)生掌握起來(lái)往往很困難，為了讓優(yōu)化解題思路，下面繼續(xù)探究解法．

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）＜0，所以y＝f（x）在（0，1）遞減，

當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)f′（x）＞0，所以y＝f（x）在（1，＋∞）遞增．

【評(píng)注】此解法由（1）求出的函數(shù)極值點(diǎn)為1，設(shè)x0＝2－x1，x0與x1關(guān)于極值點(diǎn)對(duì)稱，通過(guò)比較｜f′（x0）｜與｜f′（x1）｜的大小來(lái)判斷曲線的凹凸程度，從而證明不等式．此解法雖然過(guò)程簡(jiǎn)單，但解題思路大部分學(xué)生仍然覺(jué)得很難，所以筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)作出下面的解法探究．

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，所以y＝f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以y＝f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，

即當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．

故x1＋x2＞2．

【評(píng)注】為了優(yōu)化上述解法思路，筆者引導(dǎo)學(xué)生探究出此解法，設(shè)x0＝2－x1，x0與x1關(guān)于極值點(diǎn)對(duì)稱，通過(guò)構(gòu)造差函數(shù)g（x）＝f（x）－f（2－x），求差函數(shù)最值從而證明不等式．下面筆者介紹對(duì)數(shù)平均不等式，讓學(xué)生利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明．

取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．

利用對(duì)數(shù)平均不等式，可以得到如下解法．

【解法5】若方程f（x）＝a有兩個(gè)根x1，x2（0＜x1＜x2），

【評(píng)注】運(yùn)用“對(duì)數(shù)平均值不等式”，這種類型的題直接由此結(jié)論即可證得，那么這道壓軸題就顯得很單薄了．為了更好把握此類問(wèn)題的解答，我們從此類函數(shù)的特征挖掘發(fā)現(xiàn)，它是極值點(diǎn)偏移函數(shù)，下面讓我們通過(guò)研究極值點(diǎn)的偏移，更好地理解解決這一類問(wèn)題．

二、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的定義及其判斷方法

1．極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的定義

對(duì)于函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，方程f（x）＝0的解分別為x1，x2，且a＜x1＜x0＜x2＜b．

2．極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常用判斷方法

對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y＝f（x）在（x1，x2）內(nèi)只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)x0，且f（x1）＝f（x2）．

三、常用判斷方法的應(yīng)用

1．不含參數(shù)的問(wèn)題

2．含參數(shù)的問(wèn)題

【例2】（2016·新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有兩個(gè)零點(diǎn)．設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1＋x2＜2．

【證明】設(shè)x1＜x2，不難求出x1∈（－∞，1），x2∈（1，＋∞），2－x2∈（－∞，1），f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，所以x1＋x2＜2等價(jià)于f（x1）＞f（2－x2），即f（2－x2）＜0．由于f（2－x2）＝－x2e2－x2＋a（x2－1）2，而f（x2）＝（x2－2）ex2＋a（x2－1）2＝0，

所以f（2－x2）＝－x2e2－x2－（x2－2）ex2．

設(shè)g（x）＝－xe2－x－（x－2）ex，

則g′（x）＝（x－1）（e2－x－ex）．

所以當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，而g（1）＝0，

故當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜0．

從而g（x2）＝f（2－x2）＜0，故x1＋x2＜2．

【總結(jié)】解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題有多種方法，但本質(zhì)上都是把兩個(gè)變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為一元問(wèn)題求解．其中，筆者認(rèn)為構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)是最常用的方法，此方法解題思路學(xué)生容易接受．近幾年在各地高考題和模擬考題中，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題屢屢出現(xiàn)，雖然我們無(wú)法猜測(cè)高考命題者的出題意圖，但我們?cè)诟呖紓淇歼^(guò)程中要高度重視，常用方法必須掌握．

（作者單位：廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)縣第一中學(xué)）