陜西 侯有岐

函數(shù)不等式證明的技巧

陜西 侯有岐

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)、方程、不等式等綜合性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用，也是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)．考查方式多樣，可以是選擇題或填空題，也可以是解答題，且多數(shù)有一定的難度．解決這類綜合性問(wèn)題除了要熟練掌握導(dǎo)數(shù)這個(gè)解題工具外，還要熟練運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等思想．

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，本質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性證明不等式．本文擬以2016年山東高考理科第20題為載體，談構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，證明函數(shù)不等式的技巧．

一、試題呈現(xiàn)

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

二、解題思路

本題第一問(wèn)是常規(guī)的討論，先求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)性．這里可用表格呈現(xiàn)討論結(jié)果，這樣更清楚，利于改卷老師評(píng)判．

第二問(wèn)要證明一個(gè)恒成立的不等式，證明難度頗大．通常通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，化成函數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和函數(shù)不等式的“恒成立”或“存在解”問(wèn)題．

一般地，要證明f（x）＜g（x），x∈（a，b），可以構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）－g（x），如果F′（x）＜0，則F（x）在（a，b）上是減函數(shù)，若同時(shí)F（a）≤0，由減函數(shù)的定義，可知對(duì)任意x∈（a，b），有F（x）＜0，即證明了f（x）＜g（x）．

三、解法剖析

3．1 尋求左側(cè)的最小值，證其大于常數(shù)a

一般地，要證明f（x）＞a（常數(shù)），需要對(duì)f（x）求導(dǎo)，判斷f（x）的單調(diào)性，算出f（x）的最小值，證明f（x）min＞a即可．

3．2 考慮到不等式的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，巧妙變形，分而治之

記φ（x）＝－3x2－2x＋6，則φ（x）在x∈［1，2］上單調(diào)遞減，又φ（1）＝1＞0，φ（2）＝－10＜0，故φ（x）在［1，2］上存在唯一零點(diǎn)x0∈（1，2），使得x∈（1，x0）時(shí)，φ（x）＞0，x∈（x0，2）時(shí)，φ（x）＜0，所以函數(shù)h（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增；在（x0，2）上單調(diào)遞減．

又等號(hào)不可能同時(shí)取得，故得證．

3．3 利用經(jīng)典不等式放縮后再證明

利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，不管怎樣等價(jià)變形，總體上是轉(zhuǎn)化成平時(shí)我們研究過(guò)的熟悉的函數(shù)，如y＝lnx，y＝xlnx，y＝ex等和高中數(shù)學(xué)中一些常見的經(jīng)典函數(shù)不等式，如y＝ex，y＝lnx，y＝x＋1，y＝x，y＝x－1在（0，＋∞）上的放縮關(guān)系為ex＞x＋1＞x＞x－1≥lnx，當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立．尤其是利用經(jīng)典的函數(shù)不等式放縮后再證明有關(guān)不等式往往能起到事半功倍的效果．本例還可這樣思考：

四、解后反思

函數(shù)不等式的證明體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，因而我們要關(guān)注轉(zhuǎn)化與構(gòu)造，在體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性作用上創(chuàng)新、積累．研究近幾年高考，歸納函數(shù)構(gòu)造方法和技巧有：

4．1 聯(lián)想導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造（選擇、填空題較多）

【例2】（2007·陜西理·11）f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）＋f（x）≤0．對(duì)任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有 （ ）

A．a(chǎn)f（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b）

C．a(chǎn)f（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）

【解析】因?yàn)閤f′（x）＋f（x）≤0，即xf′（x）≤－f（x），f（x）≥0且x＞0，

即bf（a）≥af（b）．故選A．

上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）·tanx成立，則 （ ）

【解析】解法1：令f（x）＝x，易選D．

4．2 通過(guò)作差變形構(gòu)造

【例3】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）求證：當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時(shí)，ex＞x2－2ax＋1．【解析】（1）易知f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，ln2］，單調(diào)遞增區(qū)間為［ln2，＋∞）．

f（x）在x＝ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）＝eln2－2ln2＋2a＝2（1－ln2＋a）．

（2）設(shè)g（x）＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，

于是g′（x）＝ex－2x＋2a，x∈R．

由（1）知，當(dāng)a＞ln2－1時(shí)，g′（x）的最小值為g′（ln2）＝2（1－ln2＋a）＞0，

于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，

所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．

于是當(dāng)a＞ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，＋∞），

都有g(shù)（x）＞g（0）．

而g（0）＝0，從而對(duì)任意x∈（0，＋∞），g（x）＞0．

即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1．

【評(píng)注】利用導(dǎo)數(shù)方法證明“不等式f（x）＞g（x）在區(qū)間D上恒成立”的基本步驟是先構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）－g（x），然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h（x）＞0．其中一個(gè)重要技巧是找到函數(shù)h（x）在什么地方可以等于0，這往往是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口，如本例中構(gòu)造的函數(shù)在x＝0處等于0，由于要證明當(dāng)x＞0時(shí)不等式成立，則只要證明構(gòu)造的函數(shù)在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增即可．

4．3 通過(guò)移項(xiàng)等價(jià)變形之后構(gòu)造

【評(píng)注】利用導(dǎo)數(shù)方法解決“任意、存在并存型”中的雙變量不等式成立問(wèn)題，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化．即對(duì)于“若x∈M，λ∈N，f（x）＜（＞）g（λ）恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類問(wèn)題，在求解時(shí)將其等價(jià)于f（x）max＜g（λ）max（f（x）min＞g（λ）min）即可，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

【變式3】已知f（x）＝－x－ln（－x），x∈［－e，0），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

【評(píng)注】本題不能將f（x）min＝1直接代入來(lái)證明，因?yàn)閒（x）min＞g（x）max成立是f（x）＞g（x）成立的充分不必要條件，但移項(xiàng)變形后便得到了f（x）＞g（x）型，如果能證明f（x）min＞g（x）max成立，便可證明f（x）＞g（x）．此法不常用，且易出錯(cuò)，要注意仔細(xì)體會(huì)．

4．4 利用結(jié)構(gòu)的相似性構(gòu)造

【例5】設(shè)函數(shù)f（x）＝x2＋ln（x＋1）．

當(dāng)x≥1時(shí)，h′（x）≥0，所以函數(shù)h（x）在［1，＋∞）上是增函數(shù)．

由已知，不妨設(shè)1≤x1＜x2，則h（x1）＜h（x2），

【評(píng)注】利用導(dǎo)數(shù)方法證明函數(shù)不等式問(wèn)題，對(duì)這類待證式相對(duì)復(fù)雜、抽象的題目，要充分利用待證式的結(jié)構(gòu)特征與我們學(xué)過(guò)的有關(guān)知識(shí)的相似性，尋找關(guān)聯(lián)，巧妙構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法，來(lái)解（證明）不等式，這樣會(huì)使看似復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀和簡(jiǎn)單．

【變式4】設(shè)函數(shù)f（x）＝x2－ln（x＋1）．

4．5 構(gòu)造函數(shù)，利用經(jīng)典不等式放縮后證明

【評(píng)注】證明f（x）＞1通過(guò)放縮變形后轉(zhuǎn)化為只需證明ex－1＞x（x＞0）成立，根據(jù)經(jīng)典函數(shù)不等式ex＞1＋x（x≠0）易證之．事實(shí)上，很多高考題的命制都以經(jīng)典不等式為背景，高中數(shù)學(xué)中一些常見的經(jīng)典函數(shù)不等式，如①lnx＜x－1＜x（x＞0）；

4．6 局部構(gòu)造函數(shù)后證明

【評(píng)注】根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)，通過(guò)局部構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xex＋1，利用導(dǎo)數(shù)工具求出最小值，證明最小值大于0達(dá)到證明f（x）＞0的目的．要證f（x）≤1，只需證明函數(shù)f（x）的最大值為1即可．

事實(shí)上，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式是一個(gè)綜合的整體，也是多年來(lái)高考命制壓軸題的主要背景，所以大家要以高考題為研究載體有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，本文僅根據(jù)2016年山東理第20題入手，探索構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法和函數(shù)的性質(zhì)證明不等式的一些典型方法，同學(xué)們應(yīng)引起重視，自覺(jué)、主動(dòng)的加以關(guān)注、積累、體會(huì)、強(qiáng)化訓(xùn)練，以卓越的“構(gòu)造”能力強(qiáng)勢(shì)應(yīng)對(duì)高考把關(guān)題、壓軸題．

（作者單位：陜西省漢中市四○五學(xué)校）