福建 彭耿鈴

兩類數(shù)列不等式的證明探析

福建 彭耿鈴

不等式的證明因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要具備較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)潛能，因而成為高考試題考查的極好素材，備受青睞．本文就此類題目進行總結(jié)梳理，希望讀者能決勝于高考．

一、對數(shù)型數(shù)列不等式的證明

【例1】（2014·陜西理）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x）（x≥0），其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）令g1（x）＝g（x），gn＋1（x）＝g［gn（x）］（n∈N＊），求gn（x）的表達(dá)式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)n∈N＊，比較g（1）＋g（2）＋…＋g（n）與nf（n）的大小，并加以證明．

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略；

在解題（Ⅲ）中引入（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)論，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們的即時應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識，這應(yīng)在平時的訓(xùn)練加以重視．

（Ⅰ）用a表示b，c；

（Ⅱ）若f（x）≥lnx在［1，＋∞）上恒成立，求a的取值范圍；

【小結(jié)】在證明形對數(shù)型數(shù)列不等式，其常用的證明方法是設(shè)數(shù)列不等式的左、右兩邊分別為Sn，Tn，只要控制Sn的通項an大于或小于Tn的通項bn即可，而證明an＞bn（an＜bn），一般利用本題中（Ⅰ）（Ⅱ）的特殊結(jié)論，再迭加求和即可證明不等式．

二、常數(shù)形數(shù)列不等式的證明

【例3】（2014·新課標(biāo)卷Ⅱ）已知數(shù)列｛an｝滿足an＝1，an＋1＝3an＋1．

（Ⅰ）若x1，x3，x5成等比數(shù)列，求參數(shù)λ的值；

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略．

由（Ⅱ）可知，當(dāng)λ＞1時，xn＋1＝λn－1xn，yn＋1≥λn－1yn，

【總結(jié)】在證明常數(shù)形數(shù)列不等式，其常用的證明方法是構(gòu)造一個小于或大于不等式的右邊常數(shù)的數(shù)列和Tn，只要控制不等式左邊的通項an大于或小于Tn的通項bn即可．

（作者單位：福建省泉州市第七中學(xué)）