四川 蔣 敏
“奔馳定理”巧解一類三角形的面積比
四川 蔣 敏
向量既有代數(shù)的運(yùn)算,又有幾何的特征,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.當(dāng)向量遇上三角形,由向量關(guān)系得出三角形面積的比值,屬于選擇、填空題中的難題.在高考、自主招生考試中時(shí)有出現(xiàn),其基本特征是:已知三角形內(nèi)任意一點(diǎn)O,再給出相關(guān)向量的線性關(guān)系,求相關(guān)三角形面積的比值.下面通過一道例題來探求這類題型的相關(guān)規(guī)律:
【典例】已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且有,記△ABC,△BOC,△AOC的面積分別為S1,S2, S3,則S1∶S2∶S3等于 ( )
A.3∶2∶1 B.3∶1∶2
C.6∶1∶2 D.6∶2∶1
1.“大膽猜想”——感性思維的直觀解法
【解法1】因?yàn)?,由直覺并聯(lián)想杠桿原理,在質(zhì)點(diǎn)系下,的1倍與△BOC的面積平衡的2倍才能與△AOC的面積平衡,的3倍才能與△AOB的面積平衡,所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3.
從而△ABC,△BOC,△AOC的面積S1∶S2∶S3=6∶1∶2,故選C.
【評(píng)注】根據(jù)題干的已知條件及圖形的大致特征,大膽開啟“猜想模式”,是解答選填題“不擇手段,小題小做”的一種途徑.
2.“小心求證”——理性思維的嚴(yán)格推理
攻略1:合理轉(zhuǎn)化,利用向量共線定理
【解法2】如圖分別取AC、BC的中點(diǎn)D、E,
由向量共線定理可知,O,D,E三點(diǎn)共線,
【評(píng)注】由于同底的兩個(gè)三角形面積之比等于高的比值,利用向量共線定理,找出對(duì)應(yīng)線段的比例,轉(zhuǎn)化到對(duì)應(yīng)高的比值上來,合理化歸是一種常用的數(shù)學(xué)思想.
攻略2:利用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式
【解法3】如圖,延長AO交BC于M.
【評(píng)注】利用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式:起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線,則分解后的系數(shù)之和等于1的小結(jié)論,巧妙得出λ,步步為營,進(jìn)一步求得面積的比值,這與解法2有異曲同工之妙!
攻略3:“另辟蹊徑”——解析法閃亮登場
【解法4】如圖,以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
于是△ABC、△BOC面積的比值,轉(zhuǎn)化為A、O縱坐標(biāo)的比值,設(shè)A、O的縱坐標(biāo)分別為y1、y2,由于可知等式左邊向量的縱坐標(biāo)為0:
(y1-y2)+2(0-y2)+3(0-y2)=0,
【評(píng)注】解析法是將幾何問題代數(shù)化,通過坐標(biāo)運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.是解決向量問題的一種常用辦法.選好原點(diǎn),建好坐標(biāo)系,過程優(yōu)美簡潔,一氣呵成!
3.“千呼萬喚始出來”——公式法速解巧解面積比
【定理】已知O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且有,記△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為S1,S2,S3,則S1∶S2∶S3=x∶y∶z.
【證明】設(shè).由題意可得,
所以O(shè)為△DEF的重心,由重心與頂點(diǎn)形成的三個(gè)三角形面積相等,可得S△OEF∶SΔOFD∶S△ODE=1∶1∶1,
【評(píng)注】此類問題對(duì)應(yīng)的圖形特別像奔馳汽車的標(biāo)志,我們形象地稱上述小結(jié)論為三角形中的奔馳定理.特別地,當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí),O為△ABC的重心.
【解法5】由于,由結(jié)論可得S△BOC∶ S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3,S1∶S2∶S3=6∶1∶2,故選C.
【評(píng)注】“奔馳定理”結(jié)論簡潔,易于記憶.目的性很強(qiáng),快速得出結(jié)果.對(duì)于解決選擇題、填空題更加獨(dú)具優(yōu)勢,別具一格.
【變式1】已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),則△ABC與△ABP的面積之比為 ( )
4.“我思考,我快樂”——思維的發(fā)散
【推廣1】面積與向量的結(jié)合
【例1】(南京大學(xué)自主招生考試)已知O為△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn),求證:.(其中S1,S2, S3為△BOC,△AOC,△AOB的面積)
【證明】設(shè)∠AOB=α,∠AOC=β,OA=x,OB=y(tǒng),OC=z.利用三角形正弦定理和面積公式,式子左邊
對(duì)上式兩邊同時(shí)與→OA作數(shù)量積得:
作數(shù)量積都得0.
【推廣2】“外面的世界更大”——將三角形內(nèi)部一點(diǎn)推廣至所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)
【例2】(全國高中聯(lián)賽湖北省預(yù)賽)已知點(diǎn)P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),滿足.求△ABP面積與△ABC面積之比.
【解析】將,變形得.
【評(píng)注】推廣后的結(jié)論中,O為△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),該點(diǎn)可在三角形內(nèi)部,外部,或者邊上.系數(shù)可能出現(xiàn)負(fù)數(shù),此時(shí)點(diǎn)O在三角形外部,這時(shí),只需取絕對(duì)值即可.但必須注意到,此時(shí)△ABC的面積不是最大,用結(jié)論時(shí)的參照系數(shù)為實(shí)際系數(shù)之和.
【解析】整理為,由結(jié)論可得面積的比為2∶1∶4.
(作者單位:四川省南充龍門中學(xué))