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構建函數(shù)求解二元不等式問題的策略

2017-08-08 03:01:38湖南石向陽
教學考試(高考數(shù)學) 2017年3期
關鍵詞:主元實數(shù)單調

湖南 石向陽 唐 亮

構建函數(shù)求解二元不等式問題的策略

湖南 石向陽 唐 亮

由于二元(或多元)不等式問題呈現(xiàn)形式復雜多樣,解題思路靈活多變,具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點,有時很難找到切入點.如果能靈活構建函數(shù),并利用導數(shù),往往能獲得簡捷解法.解決此類問題的關鍵就是怎樣合理構建函數(shù).從哪里入手,如何構建函數(shù),構建什么樣的函數(shù)?本文將就此問題做出探討.

一、考慮導數(shù)運算法則構建函數(shù)

若題設中出現(xiàn)與導數(shù)有關的不等式,則往往是根據(jù)導數(shù)的運算法則計算后而設計的,所以我們應多從這個角度考慮如何構建函數(shù).根據(jù)條件式特征,積極展開聯(lián)想,借助求導法則,如和差求導、積商求導法則等,恰當構建函數(shù),以便順利解決目標問題.

【例1】已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負可導函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0.對于任意正數(shù)a,b,若a<b,則必有 ( )

A.a(chǎn)f(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)

C.a(chǎn)f(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)

【解析】方法1:設g(x)=xf(x),則g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0(x>0),那么函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)(不一定是嚴格遞減).因此,當b>a>0時,g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b).又bf(a)≥af(a),bf(b)≥af(b),所以bf(a)≥af(b),正確的選項為C.

【評注】方法1利用積的求導法則構建函數(shù),而方法2利用商的求導法則構建函數(shù).在建構具體的函數(shù)時,需要對照題設中的條件,靈活應對.一般來說,有下面的規(guī)律:

1.含導數(shù)式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)可構建函數(shù):F(x)=f(x)g(x);

3.含導數(shù)式f′(x)+f(x)可構建函數(shù):F(x)=f(x)ex;

5.含導數(shù)式f′(x)+af(x)可構建函數(shù):F(x)=f(x)eax;

二、設定主元構建函數(shù)

在許多數(shù)學問題中,都含有常量、參量、變量等多個量.通常情況下,有一些元素處于突出和主導地位,可視之為主元;為了解決問題,也可人為突出某個量的地位作用,先將其當作主元;其他變元看作常數(shù)來構建函數(shù),再用函數(shù)求導知識,結合函數(shù)單調性求解.

【變式1】設a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.

【證明】構建以a為主元的函數(shù)f(x)=3x3-3bx2-2b2x+2b3(x≥b),f′(x)=9x2-6bx-2b2=(3x-b)2-3b2≥b2≥0(x≥b),所以f(x)在x∈[b,+∞)上單調遞增,得出f(a)≥f(b)=0.

【評注】視一個變量為主元,其他變量作常量來處理,這是多元不等式證明的一種重要思想.同時,主元策略還表現(xiàn)于主元選擇的變通性,選擇不同的主元,對于結構不對稱的式子能形成不同的解題途徑.

三、逆轉主元構建函數(shù)

解決數(shù)學問題時,大多是從條件出發(fā),借助于一些具體的模式和方法,進行正面的、順向的思考.如果正向思維受阻,那么“順難則逆、直難則曲、正難則反”.在多元不等式問題中,逆轉主元思想常使思考產(chǎn)生新的源泉.

(1)當x>0時,f(x)≥gt(x)對任意正實數(shù)t成立;

(2)有且僅有一個正實數(shù)x0,使得g8(x0)≥gt(x0)對任意正實數(shù)t成立.

故當x>0時,f(x)≥gt(x)對任意正實數(shù)t成立.

因此當x>0時,f(x)≥gt(x)對任意正實數(shù)t成立.

所以有且僅有一個正實數(shù)x0=2,使得g8(x0)≥gt(x0)對任意正實數(shù)t成立.

【評注】含參數(shù)問題通常含有兩個或兩個以上變元,習慣上我們把“x”當作自變量.第(1)問中的方法一就是以x為自變量構建函數(shù)求解,這是常規(guī)思路;方法二是視t為變量,x為常量,構建函數(shù)求解,這時就實現(xiàn)了自變量換位.這兩種方法的可行性體現(xiàn)了變量的相對性.但對于第(2)問,如果仍把“x”當作自變量,這種思維定式就會把問題變得相當復雜,這時用逆轉主元的思想將x與t角色換位,問題迎刃而解.一般地,可把已知范圍的那個看作自變量,另一個看作常量.

四、巧妙消元構建函數(shù)

因為多元,所以通過消元來解決是很自然的想法.解題中,通過消元,消多為少、化繁為簡、變難為易,??山档退季S難度.

【例4】設函數(shù)f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明f′(x0)<0.

①當a≥0時,對任意x>0,f′(x)>0,

∴此時函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間及極值;

(2)若方程f(x)=2存在兩個不同的實數(shù)解x1、x2,求證:x1+x2>2a.

【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

①當a≤0時,f′(x)>0,f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞),無極值.

②當a>0時,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,a),單調遞增區(qū)間為(a,+∞).f(a)為f(x)的極小值.

(2)因為方程f(x)=2存在兩個不同的實數(shù)解x1、x2,不妨設x1<x2,所以f(x)必不能為單調函數(shù),所以a>0.令F(x)=f(x)-2,則F(x)與f(x)的單調性相同,單調遞減區(qū)間為(0,a),單調遞增區(qū)間為(a,+∞).F(x)=f(x)-2=0存在兩個不同的實數(shù)解x1、x2,所以最小值F(a)<0,且0<x1<a<x2.

要證x1+x2>2a成立,只需證x2>2a-x1.又因為0<x1<a2a-x1>a,所以x2、2a-x1∈(a,+∞),而當a>0時函數(shù)F(x)在區(qū)間(a,+∞)單調遞增.所以等價于只要證明F(x2)>F(2a-x1),又F(x1)=F(x2)=0,即只需證明F(x1)>F(2a-x1).

下面證明:x∈(0,a],F(xiàn)(x)>F(2a-x).

【評注】本題第(2)問,x1+x2>2ax2>2a-x1,利用函數(shù)的單調性轉化為證明F(x2)>F(2a-x1),進一步轉化為證明F(x1)>F(2a-x1),因而將兩個變量的不等式問題,轉化為一個變量的不等式問題.構建函數(shù)g(x)=F(2a-x)-F(x)<0=g(a),只需證明g(x)在x∈(0,a)上單調遞增即可.

五、整體換元構建函數(shù)

在處理多變元函數(shù)問題中,用新元去代替該函數(shù)中的部分(或全部)變元.從而使變量化多元為少元,即達到減元的目的.問題中的參數(shù)減少了,復雜問題就簡單化、明朗化了,這就是換元思想獨到的作用.

【評注】本題是多元不等式的證明,在變形過程中發(fā)現(xiàn)式子中出現(xiàn)一個整體k(x1-x2),此時巧妙地運用換元法化簡式子,把二元問題化歸為一元問題.構建函數(shù)使問題得以轉化.一般地,變形過程中若出現(xiàn)指數(shù)形式ekx2-ekx1=ekx2[1-ek(x1-x2)],可考慮對k(x1-x2)作整體換元.

【變式2】同【例4】第(2)問.

【證明】不妨設A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2.

六、利用相似結構構建函數(shù)

有些多元不等式問題,可以通過分離變量,凸顯出原不等式隱藏的規(guī)律,即左右兩邊式子的結構特征相似,這時可以構建函數(shù),利用單調性解決.

【分析】對原不等式進行變形,構建函數(shù),利用函數(shù)的單調性,進行參變分離,求出a的取值范圍.

【解】已知可轉化為x1>x2>0時,mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立.

在根據(jù)特征構建函數(shù)時,需要有較強的觀察和聯(lián)想能力,靈活地針對不同的特征構建出相應的函數(shù),這也需要我們平時注意積累,掌握一些常見解題模式.

又如已知m,n是正整數(shù),且2<m<n,求證:(1+m)n>(1+n)m.此問題求證的結論取對數(shù)后.構建函數(shù)f(x)=,只需證明f(x)在(2,+∞)上為減函數(shù)即可.

此兩題不等式m,n位置交錯,無法直接構建函數(shù),考慮到是冪指數(shù)不等式,嘗試兩邊取對數(shù),發(fā)現(xiàn)原不等式變得非?!昂椭C”.再根據(jù)結構特征很容易構建出相應的函數(shù).事實上,這種取對數(shù)使函數(shù)結構顯露出來的方法是處理此類問題非常重要的手段.

通過上述幾個例題可以看出,在求解多元不等式的問題中,我們可以通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段,構建出適當?shù)暮瘮?shù),化多元問題為一元問題,并在此基礎上利用函數(shù)的方法(如單調性)使原問題獲解.它體現(xiàn)了數(shù)學中化歸轉化的思想,其中也滲透著猜想、探究等重要的數(shù)學思想.筆者認為這是函數(shù)思想解題的高層次體現(xiàn).

(作者單位:湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學,湖南省長沙市教育科學研究院)

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