山東 鄒 龍

“趙爽弦圖”的數(shù)學(xué)文化背景考題賞析

山東 鄒 龍

1700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖（后人稱之為“趙爽弦圖”，如圖1），采用“出入相補(bǔ)”原理使得勾股定理的成立不證自明．定理的證明體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義．

重視挖掘“趙爽弦圖”所潛在的數(shù)學(xué)文化價值和應(yīng)用功能，感受數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)及探究、解決數(shù)學(xué)問題的過程，進(jìn)而體會中國古代數(shù)學(xué)的偉大貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國主義情懷，顯得尤為必要．下面擷取幾道以“趙爽弦圖”為背景的高考題或模擬題，旨在拋磚引玉．

一、三角函數(shù)問題

【例1】2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值于________．

【分析】根據(jù)兩正方形的面積分別求出兩正方形的邊長，根據(jù)小正方形的邊長等于直角三角形的長直角邊減去短直角邊，利用三角函數(shù)的定義表示出5cosθ－5sinθ＝1，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡可得sin2θ的值，然后根據(jù)θ的范圍求出2θ的范圍即可判斷出cos2θ的正負(fù)，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系由sin2θ即可求出cos2θ的值．

【點評】該考題取材2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會（ICM2002）會標(biāo)，題干大氣，設(shè)問自然，流露出深刻的文化內(nèi)涵．既巧妙地考查了三角的相關(guān)知識，又豐富了弦圖的內(nèi)涵．

【變式1】2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則sin2θ－cos2θ的值等于 （ ）

【解】由題意知，小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10．設(shè)直角三角形中較小邊長為x，

二、向量問題

【分析】首先求出cosθ，然后利用向量投影的定義求解．

【解】由題意知大正方形的邊長為1，小正方形的邊長為

【點評】本題以“趙爽弦圖”為背景考查了三角恒等變換和平面向量的投影的概念和求法．

三、數(shù)列問題

【分析】利用直角三角形兩條直角邊的差求出第一個正方形的邊長，依次求出第二個、第三個小正方形的邊長，歸納總結(jié)得到第n個小正方形的邊長，則第n個陰影正方形的面積可求．

【解】因為每四個全等直角三角形都組成1個大正方形和1個小正方形，把這樣的一個組合稱為一組．

接下來的每一組大正方形的邊長都會逐漸變小，但是成一定規(guī)律的．

【點評】本題將“趙爽弦圖”置入平面直角坐標(biāo)系中，使“趙爽弦圖”與一次函數(shù)、數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列和的求法相結(jié)合，構(gòu)思新穎，設(shè)計巧妙，給人以美的享受．解答的關(guān)鍵在于通過求解前幾個小正方形的邊長，總結(jié)出小正方形邊長的關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式．本題對考生的要求較高，要正確解決本題，考生要有扎實的基礎(chǔ)知識，較強(qiáng)的分析問題、解決問題的能力和歸納推理能力，充分考查了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

（作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué)）