黃穎

【內(nèi)容摘要】教材中的題目都是精心挑選和設(shè)計的，是課堂教學(xué)的重點(diǎn)，教師需要根據(jù)學(xué)情，對書本中的題目進(jìn)行深入挖掘、引申、進(jìn)行創(chuàng)造性的設(shè)計，發(fā)揮課程教材應(yīng)有的功能。文章闡述了如何創(chuàng)新教材題目使用，有效激活數(shù)學(xué)教學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的問題。

【關(guān)鍵詞】教材開發(fā) 題目資源 思維能力

人教版數(shù)學(xué)課程教材中所安排的例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題普通較少。其目的就是給教師有充分的自由度，以便教師根據(jù)本地的社情和自己的生情適當(dāng)補(bǔ)充例題。但當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中往往存在著部分教師對教材題目挖掘不深，解決了一個數(shù)學(xué)問題后，就此止步。這樣容易造成教學(xué)中的疏漏和失誤。一方面，使教材固有的資源和課堂教學(xué)時間白白浪費(fèi)。另一方面，使學(xué)生起碼的知識遷移能力得不到有效的訓(xùn)練，創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力得不到應(yīng)有的培養(yǎng)。卻盲目補(bǔ)充大量的例題、練習(xí)題等，使部分學(xué)生陷入了新題海戰(zhàn)術(shù)的泥潭。致使新課標(biāo)下培養(yǎng)的大多數(shù)學(xué)生還停留在模仿的層面上，學(xué)生只會解決教師講過，平時練過的數(shù)學(xué)問題，碰到新型的數(shù)學(xué)問題如入霧里，無所適從。這與新課標(biāo)的要求大相徑庭。數(shù)學(xué)課標(biāo)明確指出：學(xué)生經(jīng)過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)知識，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式，去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決生活中的問題，具有一定的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，在情感態(tài)度和價值觀等方面有進(jìn)一步的發(fā)展。所以，教師進(jìn)一步領(lǐng)會課程教材實(shí)質(zhì)，充分挖掘教材題目的內(nèi)涵，努力發(fā)揮課程教材固有的功能，來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和思維能力。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)著力研究如何挖掘與創(chuàng)新運(yùn)用教材中的題目資源，有效激活數(shù)學(xué)教學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、發(fā)散式引發(fā)教材題目

發(fā)散式思維又稱輻射思維、擴(kuò)散思維和求異思維。它是一種創(chuàng)新思維。教師在授課時要誘發(fā)學(xué)生從一個數(shù)學(xué)問題出發(fā)，多方面、深層次地去思考、探索?？v橫聯(lián)想所學(xué)的知識，融合不同部分的數(shù)學(xué)知識和思想方法，對培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性大有幫助。

如問題1：設(shè)計一本長為27cm，寬為21cm的書的封面，要求正中央是一個與整個封面長、寬比例相同的矩形。如果使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的1/4，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？

分析并解決了例題的問題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，將上個問題變成問題2：四周的邊襯等寬時，且使彩邊占總面積的1/2時，求四周邊襯寬度（作為練習(xí)）。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，書的封面變成一張2倍尺寸的硬紙片，在四角上各裁去一個小正方形制成一個無蓋鞋盒，當(dāng)此小正方形的邊長為多少時，使制成鞋盒的底面積是原矩形面積的一半？若要制成的鞋盒是有蓋的呢？

教師還應(yīng)該繼續(xù)引發(fā)問題。假如以上矩形是某鎮(zhèn)中心花園，長為27m，寬為21m，現(xiàn)要在這塊園地上開辟一個花圃。使花圃的面積等于原矩形面積的一半。應(yīng)如何設(shè)計？設(shè)計得越多越好。（可延伸到課外）

以上就是通過將書本的一個例題進(jìn)行拓展，延伸，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。這樣充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，張揚(yáng)了個性，披露了靈性，有利于學(xué)生思維的拓展。

又如：求證等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高，引導(dǎo)學(xué)生將文字翻譯成幾何語言，即已知，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G。求證：DF+DE= CG。

數(shù)學(xué)教育家G·波利亞提倡主動性學(xué)習(xí)，基本原則是“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”因此，教師利用△BDE或△CDF的模型進(jìn)行翻折，使學(xué)生悟出兩種基本的解題方法（延接法，截割法）。在此基礎(chǔ)上教師還應(yīng)引導(dǎo)他們，由于DE、DF、CG都垂直于AB或AC，且AB=AC，所以嘗試用三角形的面積法，師生共同完成后，教師告訴學(xué)生還有其他證明的方法，希望學(xué)生課外繼續(xù)探究。

條條大路通羅馬。解題和走路一樣，數(shù)學(xué)問題的解法往往大多不是單一的。每解完一道題，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行周密地思考分析：是否有規(guī)律可尋找，能否從特殊問題的解法中引伸出一般數(shù)學(xué)問題的通用性解法。這個問題解法有沒有與其他問題的解法相似或相同，通過比較、歸納，從而找出解答這一類問題的技巧和方法。這樣強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，提高學(xué)生的知識遷移能力?？朔糠謱W(xué)生只會模仿的缺點(diǎn)，有利于創(chuàng)新思維的發(fā)展。

二、聯(lián)想式引發(fā)教材題目

聯(lián)想是一個數(shù)學(xué)問題想到另一個（類）數(shù)學(xué)問題的心理活動。因?yàn)閯?chuàng)造離不開想象，想象離不開聯(lián)想。想象和聯(lián)想是創(chuàng)新思維的兩大支柱。所以，怎樣培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)問題、善于提出問題，這就要求教師能夠深入分析并把握知識之間的聯(lián)系，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn)，提出富有啟發(fā)性或趣味性的問題。教師可以針對課本題目設(shè)計一些開放性的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生展開充分的聯(lián)想和想象。

如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高。根據(jù)上述條件，結(jié)合圖形寫出結(jié)論并加以證明。

問題一出，課堂頓時沸騰了。教師適時組織大家討論。

有的學(xué)生回答∠1=∠B，∠2=∠A；有的學(xué)生提出，既然∠1=∠B，∠2= ∠A，便可得出△ACD∽△CBD，進(jìn)一步討論后得出：△ABC∽△ACD∽△CBD；又有學(xué)生認(rèn)為，有相似就有對應(yīng)線段成比例……教師都一一給予肯定，并要求學(xué)生通過對應(yīng)線段正比例找出等積式，這樣大多數(shù)同學(xué)都能得出：CD2=AD·BD，BC2=BD·AB，AC2= AD·AB。如果見到有兩條直角邊AC、BC的平方，教師就提醒：將兩直角邊的平方加起來試試。于是學(xué)生迅速得出AC2+BC2=AB2。學(xué)生興趣高漲。繼續(xù)探究，根據(jù)面積法可得出AB·CD=BC·AC。如果知道兩直角邊，就可求出斜邊上的高CD= ，這比用其他方法求解容易多了。

這道例題充分激發(fā)學(xué)生探求問題結(jié)論的興趣，實(shí)現(xiàn)了靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、開發(fā)智力、提高能力的教學(xué)目標(biāo)。在數(shù)學(xué)解題中，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽而合理的聯(lián)想和猜想，往往有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，找到解決問題的途徑，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

三、改變式引發(fā)教材題目

改變會產(chǎn)生創(chuàng)造。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生的原材料上進(jìn)行“改組、顛倒、迭加”等。將新的數(shù)學(xué)問題展現(xiàn)在學(xué)生的面前，使學(xué)生感到好奇，進(jìn)而用新視角去觀察，發(fā)現(xiàn)問題，并尋找解決問題的途徑和方法。

例如：九年級教材中：有塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm。

如圖（1），要把它加工成正方形零件，使正方形的邊在BC邊上，問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

在分析并解決原題的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將問題不斷展開：

（1）當(dāng)其他條件不變，而截去的是矩形時，能否求出該矩形的最大面積？帶著這個問題，讓共桌學(xué)生展開討論、交流。經(jīng)過合作交流后，多數(shù)學(xué)生會利用二次函數(shù)的最值求得矩形的面積。

（2）去掉使正方形的邊在BC邊上的條件時，這個正方形與△ABC的位置關(guān)系有哪些情況？①正方形的一邊FG在△ABC的外部，能否求出該正方形的邊長？（師生共同分析探索，說明不能求出正方形的邊長）。然后引導(dǎo)學(xué)生編擬出函數(shù)問題，設(shè)正方形EFGH與△ABC 的重疊部分的面積為y，正方形的邊長為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍。②正方形的一邊FG在△ABC的內(nèi)部，其他同上。

（3）教師深入引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動：把以上的正方形改為等腰直角三角形EFG的EG平行于BC，點(diǎn)F與點(diǎn)A在EG的兩側(cè)，設(shè)此等腰直角三角形與△ABC的公共部分的面積為y，斜邊EG為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

布魯納指出，“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動?！睂W(xué)生的思維往往是遇到問題時，才凸顯出格外活躍的狀態(tài)，問題或問題的發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)新思維的“啟動器”，正是說明了這個道理。由此可見，教師在教學(xué)中能夠引領(lǐng)學(xué)生充分挖掘課程教材三題的潛在功能，對其進(jìn)行合理的改變。不僅開闊了學(xué)生思路，提高了學(xué)習(xí)的效率，還使學(xué)生領(lǐng)略了探索、嘗試的全過程。使他們學(xué)會了觀察、分析、綜合、概括等方法。鍛煉了歸納、演繹等推理能力，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)了創(chuàng)新思維的發(fā)展。

四、歸納式引發(fā)教材題目

歸納是一種由特殊的和具體的認(rèn)識推導(dǎo)出一般性結(jié)論的認(rèn)識方法。歸納式引發(fā)要求學(xué)生分析特殊的事例，找出隱含在其背后的一般規(guī)律，然后又借助進(jìn)一步的特殊化去檢驗(yàn)一般規(guī)律的正確性，以訓(xùn)練學(xué)生綜合分析能力和綜合概括能力等。

如：（1）三角形ABC中，CB=a，D1、E1是AB、AC的中點(diǎn)，D2、E2是AD1、AE1的中點(diǎn)，則D2E2=_____；……

DnEn是ADn-1、AEn-1的中點(diǎn)，則DnEn=____

（2）若D2、E2是BD1、CE1的中點(diǎn)，D3、E3是BD2、CE2的中點(diǎn)，則D3E3=____；……

Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn=____（n≥1的正整數(shù)）

再如：觀察下列等式32-12=8；72-52=24；92-72=32……

經(jīng)過以上系統(tǒng)性的特殊化，學(xué)生可以獲得以下的一般規(guī)律，即任何兩個相鄰奇數(shù)的平方差都是8的倍數(shù)：（2n+ 1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，反過來，以可用特殊化對一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)n=20時，側(cè)412-392=20×8。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對相鄰偶數(shù)的平方差作出猜想，并加以證明。

科學(xué)上的創(chuàng)新，總是在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上發(fā)展得來的。學(xué)生每解決一個數(shù)學(xué)問題后，教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對該問題進(jìn)行分析、概括、總結(jié)、反思、使學(xué)生從特殊的、具體的問題中領(lǐng)悟出一般的、普遍的規(guī)律，不斷培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)、歸納、反思的能力。

著名數(shù)學(xué)家笛卡兒說：“世界上最有價值的知識是關(guān)于方法的知識?！笔谥隰~，不如授之漁的寓意也就在此。教師立足教材并且創(chuàng)造性地使用教材，巧妙引發(fā)數(shù)學(xué)問題，又防止學(xué)生“一葉障目，不見泰山”。學(xué)生學(xué)會多角度、多領(lǐng)域地審視數(shù)學(xué)問題，不斷發(fā)現(xiàn)新問題，提出新見解，揭示新規(guī)律，解決新問題。這樣學(xué)生才能逐步從模仿走向創(chuàng)新。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 耿飛飛. 數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中知識促進(jìn)能力的發(fā)展[J]. 課程·教材·教法，2014 （2）.

[2] 何金明、楊柳. 數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究[J]. 教學(xué)與管理，2016（1）.

（作者單位：浙江省臺州市黃巖區(qū)院橋初級中學(xué)）