陸 宇，張星煦，趙廷玉

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院物理系,杭州 310018)

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基于細菌覓食算法的波前編碼相位掩模的優(yōu)化研究

陸 宇，張星煦，趙廷玉

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院物理系,杭州 310018)

為延拓光學(xué)成像系統(tǒng)的景深，獲得對物距不敏感的波前編碼光學(xué)成像系統(tǒng)，需求得最佳的相位掩模參數(shù)。以經(jīng)典的三次相位掩模為研究對象，采用細菌覓食算法，優(yōu)化了焦距為200.0 mm、入瞳直徑為25.4 mm的雙膠合波前編碼系統(tǒng)。仿真和實驗結(jié)果表明：未加相位掩模的普通光學(xué)系統(tǒng)景深僅為30.0 mm，而插入優(yōu)化后的相位掩模的波前編碼系統(tǒng)景深可達80.0 mm，大大拓展了景深。細菌覓食算法優(yōu)化波前編碼系統(tǒng)的相位掩模有著運算速度快、易跳出局部最優(yōu)解的優(yōu)點。

細菌覓食算法；波前編碼；相位掩模；優(yōu)化；景深

0 引 言

光學(xué)成像系統(tǒng)的景深延拓是應(yīng)用光學(xué)領(lǐng)域的熱點問題。Dowski等提出的波前編碼成像技術(shù)常用于延拓非相干光學(xué)系統(tǒng)的景深[1]。波前編碼光學(xué)成像技術(shù)是在光學(xué)系統(tǒng)中引入自由曲面形式的相位掩模對物體進行光學(xué)編碼，使得系統(tǒng)對物距的變化不敏感，即不同物距下光學(xué)傳遞函數(shù)(optical transfer function,OTF)和點擴散函數(shù)(point spread function,PSF)保持不變[2]。因此物距不同的點，在成像面上會得到模糊程度一致的圖像。利用數(shù)字濾波技術(shù)對模糊圖像處理可獲得最終的清晰圖像。波前編碼技術(shù)在不影響成像分辨率的前提下，可大大拓展光學(xué)系統(tǒng)的景深，增加圖像的信息量，并且有效抑制了離焦相關(guān)的像差，減少光學(xué)元件個數(shù)，降低成本。這項技術(shù)特別適用于實時顯示立體動態(tài)物體，在顯微成像、手機攝像、紅外空空導(dǎo)彈等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。

自由曲面形式的相位掩模的優(yōu)化設(shè)計是實現(xiàn)波前編碼系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)，而合適的優(yōu)化算法是相位掩模優(yōu)化設(shè)計的重要組成部分。目前，常用于優(yōu)化相位掩模的算法有遺傳算法[3-4]、模擬退火算法[5]等。傳統(tǒng)優(yōu)化算法從單個初始值開始迭代尋求最優(yōu)解，算法簡單但容易陷入局部最優(yōu)解。模擬退火算法在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上引入一定的概率突跳特性，在解空間中隨機尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解。該算法從較高的初始溫度開始，以一定的步徑降低系統(tǒng)溫度至預(yù)設(shè)的最低溫度結(jié)束。但使用該算法時產(chǎn)生的新解與初始解與步徑大小有關(guān)：當(dāng)步徑較小時，該算法難以跳出局部最優(yōu)解；當(dāng)步徑較大時，求取最優(yōu)解的過程中數(shù)值波動較大，得到的最優(yōu)解不穩(wěn)定；所以需要多次調(diào)試參數(shù)才能獲得最優(yōu)解。而遺傳算法不依賴于梯度信息，但可能因為搜索范圍較小或變異太少導(dǎo)致早熟收斂，容易陷入局部最優(yōu)解，而無法得到全局最優(yōu)解。本文使用細菌覓食算法[6-7]對波前編碼系統(tǒng)的相位掩模參數(shù)進行優(yōu)化，該算法具有較好的魯棒性，且在兼顧跳出局部最優(yōu)解的同時保證了算法的收斂速度，節(jié)約了光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中優(yōu)化所用的時間。

1 基于細菌覓食算法的相位掩模優(yōu)化

1.1 波前編碼系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

波前編碼由光學(xué)編碼和數(shù)字圖像處理兩部分組成，系統(tǒng)框圖如圖1所示。圖1中相位掩膜、透鏡和CCD組成了光學(xué)編碼部分，通過添加相位掩膜，使得CCD探測到的圖像對物距不敏感，再對圖像進行復(fù)原，獲得最終的清晰圖像。

圖1 波前編碼系統(tǒng)框圖

波前編碼理論以光學(xué)傳遞函數(shù)為理論指導(dǎo)，采用兩次變換法[8]可以推導(dǎo)光學(xué)傳遞函數(shù)，分析其對物距的不敏感性。波前編碼系統(tǒng)的光瞳函數(shù)P(x,y,ψ)可以表示為：

(1)

(2)

其中：λ為光的波長；D為光學(xué)系統(tǒng)的入瞳直徑；f為焦距；do和di分別為物距和像距。

在傅里葉光學(xué)理論中，光學(xué)系統(tǒng)的點擴散函數(shù)表征了光學(xué)系統(tǒng)在空間域上的成像特性，它與光瞳函數(shù)的關(guān)系可以表示為：

(3)

其中：κ為常數(shù)，在實際計算時通常忽略不計[9]；F表示傅里葉變換。

光學(xué)傳遞函數(shù)是點擴散函數(shù)的傅里葉變換，其表達式為：

(4)

調(diào)制傳遞函數(shù)(modulation transfer function,MTF)是輸出像與輸入像的對比度之比，可表示為光學(xué)傳遞函數(shù)的模：

(5)

從上面的分析可知，光學(xué)傳遞函數(shù)和點擴散函數(shù)兩者都表示光學(xué)系統(tǒng)的成像能力，前者在頻域中表示，后者在空間域中表示。從式(4)可知，兩者之間存在傅立葉變換關(guān)系。因此，如果一個系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)對物距不敏感，則其點擴散函數(shù)也不敏感；反之亦然。考慮到光學(xué)傳遞函數(shù)是復(fù)函數(shù)，從計算的簡便性出發(fā)，光學(xué)上通常用調(diào)制傳遞函數(shù)替代光學(xué)傳遞函數(shù)，即調(diào)制傳遞函數(shù)和點擴散函數(shù)都可以用來表示對物距的敏感性。

1.2 評價函數(shù)

本文用調(diào)制傳遞函數(shù)來表示光學(xué)系統(tǒng)的成像能力。波前編碼光學(xué)系統(tǒng)所成的像對物距不敏感，即處于不同物距下的物體在像面的模糊程度一致，不同物距下的調(diào)制傳遞函數(shù)或點擴散函數(shù)相同。與此同時，光學(xué)系統(tǒng)生成的中間圖像的模糊程度不能超過圖像處理的極限，系統(tǒng)在低頻段的MTF值不能太低，這樣模糊圖像可實現(xiàn)復(fù)原。

本文使用費希爾信息量[10-11]評價調(diào)制傳遞函數(shù)的離焦不變性，綜合考慮數(shù)字圖像處理中圖像的復(fù)原質(zhì)量，對調(diào)制傳遞函數(shù)加以限制，得出評價函數(shù)如下：

(6)

其中：u為空間頻率，M(u,ψ)為光學(xué)系統(tǒng)的MTF，th為系統(tǒng)可接受的最小MTF。

1.3 基于細菌覓食算法的相位掩膜板優(yōu)化

在構(gòu)建評價函數(shù)的基礎(chǔ)上，需要優(yōu)化搜索算法求解最佳的相位掩膜的參數(shù)。為了保證對參數(shù)全局優(yōu)化和收斂速度，本文選擇了細菌覓食算法進行優(yōu)化。

細菌覓食算法是模擬大腸桿菌覓食行為的一種新型算法。近年來已被用于解決實際中的數(shù)學(xué)問題[12-13]。細菌覓食包含趨化、復(fù)制和驅(qū)散三種行為方式。趨化是指細菌通過翻轉(zhuǎn)和前進，向營養(yǎng)豐富的地方聚集。翻轉(zhuǎn)是指細菌向隨機方向移動，前進是指根據(jù)翻轉(zhuǎn)后細菌的評價函數(shù)值，決定細菌接下來的是否按照原方向繼續(xù)移動。復(fù)制是根據(jù)評價函數(shù)值，選擇較差的細菌繼承較好細菌的位置，加快尋優(yōu)速度。細菌通過趨化和復(fù)制可獲得局部最優(yōu)解。驅(qū)散是讓細菌以一定概率出現(xiàn)在搜索空間的任意位置，可跳出局部最優(yōu)解，從而尋找全局最優(yōu)解。

細菌覓食算法求解相位板的最佳參數(shù)的流程如圖2所示，步驟如下：

a) 初始化參數(shù)。設(shè)置相位板參數(shù)的搜索范圍(αmin,αmax)，細菌總數(shù)S，趨化步數(shù)Nc，單項運動最大次數(shù)Ns，復(fù)制次數(shù)Nre，驅(qū)散次數(shù)Ned，驅(qū)散概率Ped。

b) 隨機產(chǎn)生S組初始解P0，不滿足限制條件MTF>th的解重新生成。

c) 驅(qū)散次數(shù)加1，判斷是否達到驅(qū)散結(jié)束條件。是，輸出解P0；否，進行下一步。

d) 復(fù)制次數(shù)加1，判斷是否達到復(fù)制結(jié)束條件。是，評價函數(shù)值較大的S/2組細菌死亡，剩下的S/2組細菌一分為二，保留細菌總數(shù)S，跳至步驟c；否，進行下一步。

e) 趨化次數(shù)加1，判斷是否達到趨化結(jié)束條件。是，轉(zhuǎn)步驟f；否，轉(zhuǎn)步驟g。

f)S組解以一定概率隨機出現(xiàn)在解空間內(nèi)，轉(zhuǎn)步驟d。

g) 計算解P0的評價函數(shù)J0(1∶S)。

h) 產(chǎn)生新解P1(1∶S),并計算其評價函數(shù)J1(1∶S)。

i) 比較J0和J1中各組值，將評價函數(shù)值較好的解保存至P(0∶S)，再將最優(yōu)值賦予P0(0∶S)。

j) 運動步數(shù)加1，判斷是否達到單項最大運動次數(shù)。是，轉(zhuǎn)步驟e；否，轉(zhuǎn)步驟g。

圖2 基于細菌覓食算法的波前編碼系統(tǒng)相位板參數(shù)優(yōu)化流程

2 優(yōu)化結(jié)果與分析

針對焦距為200.0mm，通光孔徑為25.4mm的雙膠合透鏡(GCL-010606,大恒光電)光學(xué)系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計。以經(jīng)典的三次相位掩模為例，在光學(xué)系統(tǒng)的光瞳面插入相位掩模，使用細菌覓食算法進行優(yōu)化設(shè)計。考慮到圖像的大部分能量都集中在低頻段，取umax=70線對/mm，為確保模糊圖像可被復(fù)原，設(shè)閾值th=0.1。初始參數(shù)取解空間為[0,100]，細菌總數(shù)S=8，趨化步數(shù)Nc=3，單項運動最大次數(shù)Ns=3，復(fù)制次數(shù)Nre=3，驅(qū)散次數(shù)Ned=3，驅(qū)散概率Ped=0.3。使用細菌覓食算法進行多次優(yōu)化，得到的相位板參數(shù)值的波動在2%以內(nèi)，較為穩(wěn)定。多次優(yōu)化取平均值，得出最佳相位板參數(shù)：α=66.21。圖3為插入優(yōu)化后的三次相位掩膜的波前編碼系統(tǒng)在不同物距下的MTF曲線?？梢?，插入優(yōu)化后的相位掩模后，雖然光學(xué)系統(tǒng)的MTF值下降，但各種物距下的MTF曲線基本重合，并且MTF沒有零點，意味著低頻與高頻的圖像信息沒有丟失。

圖3 三次相位板波前編碼MTF曲線

本文仿真了傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)，即只有雙膠合透鏡沒有相位掩膜板的情況作為對比。光學(xué)系統(tǒng)在不同物距下的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線如圖4所示。由圖4可見，該系統(tǒng)對1000.0 mm的物距清晰成像，隨著物距do偏離量的增加，系統(tǒng)的MTF曲線變化明顯，MTF值迅速下降并出現(xiàn)零點，造成了圖像信息丟失。

圖4 相位掩模加入前的傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)MTF曲線

3 實驗結(jié)果

為了驗證上述的仿真結(jié)果，本文搭建了實驗裝置，如圖5所示。相位掩模采用Holoeye空間光調(diào)制器(spatial liquid modulation，SLM)(型號：SLM-0017)實現(xiàn)，SLM前后的偏振片是為了實現(xiàn)相位調(diào)制而采用[14]。從左往右依次為CCD相機、偏振片、雙膠合透鏡、SLM-0017、偏振片、被測物。被測書本傾斜放置，使得每行字與光學(xué)系統(tǒng)之間的距離不同，便于比較不同物距下的成像質(zhì)量。

1.CCD相機；2.偏振片；3.雙膠合透鏡；4.空間光調(diào)制器；5.偏振片；6.被測物圖5 實驗實物照片

考慮PSF容易測得，下面用PSF評價實際光學(xué)系統(tǒng)的成像特征，像面捕捉到的傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)(未加相位掩模)與波前編碼系統(tǒng)(加入相位掩模)的PSF如圖6和圖7所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)在對焦時，其PSF為一個銳利的點，但當(dāng)離焦時，PSF退化為彌散斑，且隨著物距偏離量的增大，彌散斑越來越大，導(dǎo)致成像性能惡化，直至無法分辨圖像。但對于插入相位掩膜的波前編碼光學(xué)成像系統(tǒng)，在對焦時，PSF為彌散斑(形狀和大小由相位掩膜板形式?jīng)Q定)，雖然會導(dǎo)致模糊，但隨著物距偏離量的增大，PSF幾乎不變，這樣便可以使用同一種濾波器進行復(fù)原，得到清晰圖像。

圖6 傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)不同物距下的PSF

圖7 波前編碼系統(tǒng)不同物距下的PSF

圖8為傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)和波前編碼系統(tǒng)的實際成像比較。傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)實際成像如圖8(a)所示，從圖中可以看出，被測書本中間部分的文字清晰可見但隨著物距偏離量的增大，圖像的模糊程度越來越大，上下兩端的文字已經(jīng)完全模糊，無法進行分辨。而使用插入優(yōu)化后的相位掩膜板的波前編碼系統(tǒng)，圖像的模糊程度一致，如圖8(b)所示。導(dǎo)致圖像模糊的PSF如圖7所示，以此作為反卷積核，使用簡單的維納濾波算法[15]可復(fù)原出較為清晰的最終圖像如圖8(c)所示，可以看到整幅圖像都清晰可見，實現(xiàn)了大景深成像。未加相位掩模的光學(xué)系統(tǒng)景深為30.0 mm，而加入相位掩模的雙膠合系統(tǒng)的清晰成像的景深延拓至80.0 mm，實現(xiàn)了景深的延拓。

圖8 傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)與波前編碼系統(tǒng)成像的比較

4 細菌覓食算法和模擬退火算法的對比

本文分別使用細菌覓食算法和經(jīng)典的模擬退火算法優(yōu)化相位掩模并對比優(yōu)化結(jié)果。后者在局部尋優(yōu)的基礎(chǔ)上，在當(dāng)前解的鄰域內(nèi)隨機產(chǎn)生一個新解，在溫度參數(shù)的控制下，除了接受優(yōu)化解之外，還根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則，以一定的概率接受惡化解。這使得該算法具有跳出局部最優(yōu)解的能力。但產(chǎn)生的新解大小與預(yù)設(shè)的步徑或領(lǐng)域有關(guān)，預(yù)設(shè)值較小時算法跳不出局部最優(yōu)解；當(dāng)該預(yù)設(shè)值較大時可能導(dǎo)致跳過全局最優(yōu)解或多次所得最優(yōu)解的數(shù)值波動較大。該算法需要多次調(diào)試找到合適的參數(shù)才能快速準(zhǔn)確的得到全局最優(yōu)解。表1中給出初始溫度T0，截止溫度T1，步徑m與最佳參數(shù)α和所用時間t的關(guān)系。

表1 模擬退火算法不同參數(shù)的優(yōu)化比較

由表1可知，T1和T0不變時，當(dāng)m較大時，最優(yōu)解α波動較大；當(dāng)m較小時，α難以跳出局部最優(yōu)解。當(dāng)m不變，溫度差較大時，程序運行時間增加；當(dāng)T0較小時，陷入局部最優(yōu)解。需多次調(diào)整才可快捷準(zhǔn)確的使用?？傮w而言，模擬退火算法容易陷入局部最優(yōu)解，而較難得到全局最優(yōu)解，如表1的第三列和最后兩列，優(yōu)化得到的參數(shù)均超過40，和最優(yōu)解66.21相差很大。

而細菌覓食算法求解相位掩膜的參數(shù)魯棒性強，使用簡單，產(chǎn)生的新解為解空間的隨機數(shù)，與步徑無關(guān)。算法運行時間與細菌總數(shù)，趨化步數(shù)，單項運動最大次數(shù)，復(fù)制次數(shù)，驅(qū)散次數(shù)等有關(guān)，參數(shù)的設(shè)置較易。細菌算法用時和優(yōu)化參數(shù)如表2所示。

表2 細菌覓食算法不同參數(shù)的優(yōu)化比較

由表2可知，盡管細菌覓食算法使用的初始參數(shù)不同，但優(yōu)化結(jié)果基本在全局最優(yōu)解附近波動。也就是說，使用細菌覓食算法進行優(yōu)化時，各運算步驟較小時便可求得較穩(wěn)定的最優(yōu)解，且多次優(yōu)化的最優(yōu)解α的波動較小。由于該算法是在解空間內(nèi)全局搜索，所用極易跳出局部最優(yōu)解。

5 結(jié) 論

本文提出的基于細菌覓食算法的波前編碼系統(tǒng)相位板的優(yōu)化，以費希爾信息量評價系統(tǒng)MTF的離焦不敏感性，優(yōu)化得出了三次相位板的最佳參數(shù)。細菌覓食算法具有良好的魯棒性，在對搜索范圍進行合適的調(diào)整后，便可快速有效地進行運算，具有群體智能算法并行搜索、易跳出局部極小值等優(yōu)點，以較短的時間求得相位板參數(shù)全局最優(yōu)解。對焦距f=200.0 mm，入瞳直徑D=25.4 mm的雙膠合成像系統(tǒng)進行成像實驗，插入優(yōu)化后的相位掩膜板，不同物距的點擴散函數(shù)具有極高的相似性。實驗結(jié)果表明像面探測到的圖像在不同物距下模糊程度具有一致性，使用同一個的維納濾波器進行圖像處理可獲得最終的清晰圖像，最終將雙膠合系統(tǒng)的清晰成像的景深延拓至80.0 mm，是未加相位掩模的傳統(tǒng)系統(tǒng)的2.7倍，實現(xiàn)了景深延拓的目的。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

The Optimization of the Phase Mask in a Wavefront Coding System Based on Bacterial Foraging Algorithm

LUYu,ZHANGXingxu,ZHAOTingyu

(Department of Physics, School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

In order to extend the depth of field of an optical system and acquire a wavefront coding system insensitive to the object distance, the optimal parameters of the phase mask need to be obtained. A doublet system with a classical cubic phase mask is optimized based on bacterial foraging algorithm. The focal length is 200.0 mm and entrance pupil diameter is 25.4 mm in the doublet system. The simulation and experimental results show that the depth of field in traditional optical system is only 30.0 mm, while it is 80.0 mm in the wavefront coding system by adding the optimized phase mask. It greatly extends the depth of field. Optimization using bacterial foraging algorithm have a fast speed and easy to jump out of local optimal solution.

bacterial foraging algorithm; wavefront coding; phase mask; optimization; depth of field

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.07.023

2017-02-26 網(wǎng)絡(luò)出版日期： 2017-05-24

國家自然科學(xué)基金項目(61205158)；浙江省自然科學(xué)基金項目(LY15F050013)

陸宇(1991-)，男，安徽蚌埠人，碩士研究生，主要從事光學(xué)設(shè)計方面的研究。

趙廷玉，E-mail：zhaotingyu@zstu.edu.cn

TS195.644

A

1673- 3851 (2017) 04- 0604- 07