楊丹丹

摘 要：數(shù)學(xué)與生活有著密切的聯(lián)系，個(gè)體在進(jìn)入小學(xué)階段之前就已經(jīng)不同程度地與數(shù)學(xué)開(kāi)始打交道，逐漸從阿拉伯?dāng)?shù)字入手開(kāi)始走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，解開(kāi)數(shù)學(xué)面紗。到目前為止，我們對(duì)數(shù)學(xué)的了解已經(jīng)到了一定的程度，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)也有了一定的積淀。這就使得我們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更大的好奇心——數(shù)學(xué)知識(shí)是如何產(chǎn)生以及如何發(fā)展的呢？

關(guān)鍵詞：無(wú)理數(shù)；集合理論；康托爾

一、古代無(wú)窮的觀念

在古典數(shù)學(xué)思想中，將“集”進(jìn)行了界定與劃分，即將數(shù)集劃分為有限集和無(wú)限集。對(duì)于有限集來(lái)說(shuō)，“集”中的元素是有限的，如{1，2，3，4，5，6，7}就表示這個(gè)集中共有7個(gè)元素，而除了這7個(gè)元素之外再無(wú)其他元素。對(duì)于無(wú)限集來(lái)說(shuō){1，2，3，4，5，6，7}所表示的是這個(gè)集中的元素是無(wú)限的，除了這7個(gè)已經(jīng)表示出來(lái)的元素之外還有無(wú)數(shù)個(gè)其他元素，對(duì)于這樣的無(wú)窮集合來(lái)說(shuō)，伽利略曾經(jīng)提出了這樣一個(gè)令自己和他人都困惑不解的問(wèn)題：顯然人們是無(wú)法知道確切元素個(gè)數(shù)的。但同時(shí)人們又承認(rèn)：自然數(shù)的平方依舊是自然數(shù)，如22=4；42=16，而這種由自然數(shù)平方而形成的集合應(yīng)該是自然數(shù)集的一個(gè)真子集，按照這個(gè)推理，自然數(shù)集中的元素應(yīng)該比自然數(shù)平方集中的元素更多，因?yàn)檎孀蛹瘧?yīng)該包含在子集之中。然而從另外一個(gè)角度來(lái)看，無(wú)論是自然數(shù)還是自然數(shù)的平方都應(yīng)該是無(wú)窮盡的，無(wú)限的，因此這兩個(gè)集合中的元素應(yīng)該是相同的或者根本無(wú)法進(jìn)行比較的。對(duì)于這一問(wèn)題使包括伽利略在內(nèi)的同時(shí)代數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都感到迷茫，一直停留在這個(gè)自相矛盾的漩渦中。

二、分說(shuō)

所謂“二分說(shuō)”是指當(dāng)物體由A地到B地時(shí)，按照數(shù)學(xué)的邏輯是永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到的。因?yàn)橐霃腁到達(dá)B就必須通過(guò)其路程的■，而要想通過(guò)這段路程的■，就需要先通過(guò)這■的■，也就是整個(gè)路程的■。要想通過(guò)整段路程的■，就要先通過(guò)其■……按照這樣的推理將永無(wú)止境。因此芝諾得出，該物體是永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到終點(diǎn)的，因?yàn)樗冀K被道路的無(wú)限分割所阻礙著。當(dāng)然這顯然與我們的日常生活相違背，由于和無(wú)限問(wèn)題聯(lián)系過(guò)于密切，以至于古希臘數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的無(wú)窮而敬而遠(yuǎn)之了，并將“無(wú)限”拒絕于自己的推理之外了。

在我國(guó)古代也有很多對(duì)“無(wú)窮”的思考，如“學(xué)無(wú)止境”“學(xué)海無(wú)涯”“一尺之錘，日取其半”等也都體現(xiàn)著這一觀念。

三、無(wú)窮集合論的建立

1.集合理論的早期嘗試

康托爾并非唯一一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)窮思想進(jìn)行研究的科學(xué)家，波爾查諾也對(duì)數(shù)學(xué)集合理論進(jìn)行了探索。對(duì)于波爾查諾來(lái)說(shuō)，他認(rèn)為實(shí)無(wú)窮集合是存在的，同時(shí)也認(rèn)為這兩個(gè)集合是等價(jià)的。而這與“兩個(gè)幾個(gè)元素之間的一一對(duì)應(yīng)”是一致的。波爾查諾提出的這一無(wú)窮思想不僅適用于無(wú)限集合，更適用于無(wú)窮集合。他通過(guò)數(shù)學(xué)公式來(lái)證明了無(wú)窮集合的一部分或子集等價(jià)于整體這一觀點(diǎn)：0-5之間的實(shí)數(shù)通過(guò)公式y(tǒng)=■，能夠與0-12之間的實(shí)數(shù)形成對(duì)應(yīng)關(guān)系，盡管第二個(gè)集合包含著0-5實(shí)數(shù)的集合，但這也使得無(wú)窮集合中元素個(gè)數(shù)的比較提供了一定的依據(jù)。

2.康托爾集合論思想

數(shù)學(xué)家最喜歡研究的集合是自然數(shù)集，因此康托爾就用這樣的數(shù)集來(lái)證明他的等價(jià)或勢(shì)的觀念。為此，他提出了“可數(shù)”這一概念，對(duì)于所有能與自然數(shù)集合形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合都視為可數(shù)或可列集合，同時(shí)是最小的無(wú)窮集合。

起初，康托爾證實(shí)了所有有理數(shù)集合都是可數(shù)的。這與人們的直覺(jué)有很大的差異，因?yàn)橛欣頂?shù)給人的直覺(jué)感受是“稠密”的，也就是說(shuō)任何兩個(gè)有理數(shù)之間都有其他的有理數(shù)存在，而正整數(shù)卻并不如此。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，康托爾一共給出了多個(gè)證明，其中一個(gè)是目前普遍采用的：

將所有正有理數(shù)進(jìn)行排列，第一行將以1為分母的正分?jǐn)?shù)按照從大到小的順序進(jìn)行排列；第二行將以2為分母的正分?jǐn)?shù)按照從大到小的順序進(jìn)行排列；第三行將以3為分母的正分?jǐn)?shù)按照從大到小的順序進(jìn)行排列......按照這樣的次序進(jìn)行排列，就可以使所有的正有理數(shù)都包括在內(nèi)，但值得注意的是，這些有理數(shù)中會(huì)有一個(gè)部分是重復(fù)出現(xiàn)的，如■，■，■等等。

現(xiàn)在我們從■開(kāi)始，按照1對(duì)應(yīng)■，2對(duì)應(yīng)■，3對(duì)應(yīng)■，4對(duì)應(yīng)■……進(jìn)行排列，使得每一個(gè)有理數(shù)都在某一步對(duì)應(yīng)著一個(gè)固定的自然數(shù)。因此，上文中所列出的有理數(shù)集合與自然數(shù)集合就形成了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，再將重復(fù)的數(shù)字去掉，那么這個(gè)有理數(shù)集依舊是一個(gè)無(wú)窮集合，因此也一定是可數(shù)的，因?yàn)榭蓴?shù)集合就是最小的無(wú)窮集合。這個(gè)推論就使我們意識(shí)到直覺(jué)是不應(yīng)該輕易相信的。

依照上述推論還可以延伸出以下結(jié)論：如自然數(shù)與其平方數(shù)是一樣多的，偶數(shù)與自然數(shù)是一樣多的，負(fù)數(shù)與整數(shù)是一樣多

的……因?yàn)樗鼈兌际强蓴?shù)的。不僅如此，康托爾還證明了所有可以成為代數(shù)方程解的數(shù)所構(gòu)成的集合也是可數(shù)的。當(dāng)?shù)贸錾鲜鐾普撘院螅低袪栭_(kāi)始進(jìn)行這樣的設(shè)想：在自然數(shù)與實(shí)數(shù)之外是否還存在更大的無(wú)窮集合。

康托爾的集合論是人類對(duì)于集合研究的一個(gè)新的里程碑，他認(rèn)為，數(shù)學(xué)理論的推進(jìn)首先應(yīng)該肯定無(wú)窮的存在，但卻不能將“無(wú)限”與“無(wú)窮”相混淆，同時(shí)他還提出，雖然人類的認(rèn)知有限，但有限的認(rèn)知卻可以面對(duì)無(wú)窮。

參考文獻(xiàn)：

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