陳飛翔

【摘 要】本文通過(guò)實(shí)例說(shuō)明矩陣對(duì)角化方法在矩陣研究中的作用。

【關(guān)鍵詞】對(duì)角化；實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象。對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)矩陣，研究起來(lái)非常方便。通過(guò)相似這種等價(jià)關(guān)系，對(duì)角矩陣相當(dāng)于對(duì)一類(lèi)矩陣在相似意義下給出的一種簡(jiǎn)單的等價(jià)形式，這對(duì)理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項(xiàng)式，特征根，行列式等。本文主要研究矩陣對(duì)角化的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

1幾個(gè)基本概念和基本定理

定義1[1]、設(shè)A是一個(gè)n階方陣，如果存在一個(gè)可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣，那么就說(shuō)矩陣A可以對(duì)角化。

定理1[1]、 n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

定理2[1]、 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以對(duì)角化。

2矩陣對(duì)角化的應(yīng)用

例1、設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A2=A且A的秩為r，試求行列式|2E-A|的值.

解：設(shè)Ax=λx，x≠0，是對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量，因?yàn)锳2=A，則λx=Ax=A2x=λ2x，從而有（λ2-λ）x=0，因?yàn)閤≠0，所以λ（λ-1）x=0，即λ=1或0，又因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A相似于對(duì)角矩陣，A的秩為r，故存在可逆矩陣P，使，其中Er是r階單位陣，從而

例2、設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為λ1=-1，λ2=λ3=1。對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量 為P1=（0，1，1）T，求矩陣A.

解：因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A可以對(duì)角化，即A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。設(shè)對(duì)應(yīng)于λ2=λ3=1的特征向量為P=（x1，x2，x3）T，它應(yīng)與特征向量P1正交，即，該齊次方程組的基礎(chǔ)解系為，它們即是對(duì)應(yīng)于λ2=λ3=1的特征向量。

例3、下述矩陣是否相似， 。

解：矩陣A1，A2，A3的特征值都是λ1=2 （二重），λ2=3，其中A1已是對(duì)角陣，所以只需判斷A2，A3是否可對(duì)角化，先考查A2，對(duì)于特征值λ1=2，解齊次線性方程組（2E-A2）x=0得其基礎(chǔ)解系為，由于λ1=2是A2的二重特征值，卻只對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征向量，故A2不可對(duì)角化或者說(shuō)A2與A1不相似。

再考查A3，對(duì)于特征值λ1=2，解齊次線性方程組（2E-A3）x=0，得基礎(chǔ)解系，對(duì)于特征值λ2=3解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，由于A3有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A3可對(duì)角化，即A3與A1相似。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2007年1月.endprint