蔣宴卿

[摘 要] 教育改革，理念創(chuàng)新，課改為高中階段教學(xué)提出了更高的要求. 尊重學(xué)生的主體地位，使學(xué)生在獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上獲得能力的提升，擴(kuò)展思維，提升素質(zhì)，這也為教學(xué)設(shè)計(jì)給出了指導(dǎo)，本文以橢圓相關(guān)內(nèi)容為例開展相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 橢圓；方程；思維；教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓是高中階段數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是解決圓錐曲線綜合題的基礎(chǔ)，因此橢圓的相關(guān)知識(shí)對(duì)于學(xué)生非常重要，學(xué)生能否學(xué)好該節(jié)內(nèi)容與教師的教學(xué)設(shè)計(jì)有著極大關(guān)系，開展設(shè)問探究，交流討論則有助于學(xué)生學(xué)習(xí)理解，也利于思維拓展.

[?] 教學(xué)流程

1. 創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

預(yù)設(shè)問題1：我國(guó)從兩彈一星到“嫦娥”號(hào)飛船發(fā)射升空，顯示出我國(guó)強(qiáng)大的航天實(shí)力，令我們無比自豪，在興奮之余大家想想，飛船的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么樣子的？

預(yù)設(shè)問題2：在新校區(qū)的一塊空地上要進(jìn)行綠化，現(xiàn)準(zhǔn)備在東側(cè)一塊長(zhǎng)為10 m、寬為6 m的矩形空地上建一個(gè)橢圓形的花圃，要求盡可能的利用該空地，請(qǐng)問應(yīng)如何畫該花園的邊界？

教師點(diǎn)評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注橢圓曲線，思考曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程，為將來求解橢圓問題打下基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖：好的引題是成功的一半，數(shù)學(xué)來源于生活，用生活實(shí)例作為教學(xué)引題，透露著數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用思想，同時(shí)也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2. 引導(dǎo)學(xué)習(xí)，探求新知

預(yù)設(shè)問題1：如何建立橢圓的坐標(biāo)系，聯(lián)想已學(xué)過的曲線方程，思考如何建立坐標(biāo)可以簡(jiǎn)化求解橢圓方程.

預(yù)設(shè)問題2：如果以F1，F(xiàn)2所在直線作為y軸，線段F1F2的垂直平分線作為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖1，你可以推算出橢圓曲線方程的形式嗎？

教師點(diǎn)評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生通過類比圓或者拋物線方程建立的方法來建立橢圓的方程，然后根據(jù)圖示分析建立以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸的橢圓的方程，對(duì)比兩種橢圓建立的坐標(biāo)系，學(xué)習(xí)它們的曲線方程.

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生參與問題的討論，體驗(yàn)知識(shí)生成的過程，更加有利于學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí).通過類比學(xué)習(xí)橢圓的方程，便于學(xué)生的思維探索，符合學(xué)生的認(rèn)知過程，可以讓問題自然而然地得以解決.

3. 合作討論，深化理解

根據(jù)類比推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：+=1（a>b>0），針對(duì)上述方程開展討論.

預(yù)設(shè)問題1：與方程相關(guān)的系數(shù)a，b，c中，哪一個(gè)最大，他們滿足怎樣的關(guān)系？橢圓的焦點(diǎn)如何確定？

預(yù)設(shè)問題2：如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，已知橢圓的焦點(diǎn)為F1（0，c），F(xiàn)1（0，-c），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過討論進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)計(jì)思考題比較橢圓相關(guān)系數(shù)的大小，層層遞進(jìn)，科學(xué)合理，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)合作探究的方式獲得的知識(shí)更加記憶深刻，利于學(xué)生理解接受.

4. 典例講評(píng)，強(qiáng)化理解

例題 有一橢圓的方程為：+=1（a>b>0），它的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，求橢圓的離心率.

分析：常規(guī)的解題思路是先求出對(duì)稱點(diǎn)Q的具體坐標(biāo)，然后將其代入橢圓方程內(nèi)，整理出關(guān)于a，c的方程，但這樣的思路計(jì)算量過大，無法完成，現(xiàn)可以連接QF1，QF2，在Rt△FEO中根據(jù)定義求解橢圓問題.

優(yōu)化解法：如圖2所示，設(shè)F1（-c，0），連接QF1，可知OE為△FQF1的中位線，在Rt△FEO中，有tan∠EOF=，OF=c，求得OE=，EF=，于是有QF1=，QF=，根據(jù)橢圓的定義QF+QF1=2a，可得+=2a，通過化簡(jiǎn)得：b=c，則e=.

評(píng)注：創(chuàng)設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，利用橢圓的定義建立了一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，最終得以求解，整個(gè)思路清晰，求解流暢簡(jiǎn)潔，不僅加深了對(duì)概念定義的理解，也促進(jìn)了知識(shí)的轉(zhuǎn)化利用.

變式：以AB為直徑的圓有一個(gè)內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD，如果橢圓以A，B為焦點(diǎn)，并且經(jīng)過了點(diǎn)C和D，則當(dāng)梯形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求橢圓的離心率.

分析：本例的條件有三個(gè)：①AB=2c；②AB為直徑的圓內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD；③橢圓以A，B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過了點(diǎn)C和D.目標(biāo)為梯形面積最大時(shí)求解離心率，可用等腰梯形的特點(diǎn)和射影的特點(diǎn)解題，用腰長(zhǎng)表示周長(zhǎng)，再建立函數(shù)關(guān)系求解.

變式解析：如圖3，過點(diǎn)C和D分別作AB的垂線，垂足分別為F，E，則有CD=FE. 設(shè)AD=m，則0

[?] 教學(xué)立意的深入思考

1. 圍繞教學(xué)內(nèi)容，細(xì)致精化教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課是關(guān)于橢圓問題的探究，希望通過創(chuàng)設(shè)情景幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)能力，在教學(xué)設(shè)計(jì)上做了精心的準(zhǔn)備，通過生活情境引入課題，設(shè)問思考學(xué)習(xí)橢圓方程，交流討論加深理解，典例講評(píng)強(qiáng)化應(yīng)用，變式拓展發(fā)散思維，整個(gè)設(shè)計(jì)一環(huán)扣一環(huán)，緊密結(jié)合，層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知過程，在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的同時(shí)，完成教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想. 教學(xué)的開展不應(yīng)該是單調(diào)刻板的，應(yīng)該運(yùn)用多種教學(xué)手段，使用多媒體等方式輔助教學(xué)，使學(xué)生獲得想象、發(fā)展的空間.

2. 凸顯學(xué)生主體，老師主導(dǎo)引領(lǐng)教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的核心，在教學(xué)中適時(shí)設(shè)問，圍繞問題開展核心內(nèi)容的討論，有助于課堂的深入推進(jìn)，這樣的教學(xué)模式可以讓學(xué)生在問題中思考，合作討論中激發(fā)數(shù)學(xué)思維. 同時(shí)，也要遵循互動(dòng)、開放的教學(xué)原則，開放性的問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，拓展創(chuàng)造性思維.此外，也需要教師承擔(dān)好主導(dǎo)者的角色，課堂教學(xué)組織的合理得當(dāng)，才能實(shí)現(xiàn)教學(xué)的高質(zhì)量，教師一方面要讓學(xué)生學(xué)會(huì)做一個(gè)合格的傾聽者，積極參與討論、集思廣益；另一方面教師要引導(dǎo)課堂的推進(jìn)深入，通過設(shè)問解答的模式讓學(xué)生在交流中獲得知識(shí)，確保學(xué)生學(xué)有所獲，得有所用.

3. 重視思維發(fā)展，拓展思維想象空間

思維是發(fā)展的，課堂教學(xué)要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)于人類發(fā)展的重要作用，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，從而愛上數(shù)學(xué)，提升自我的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 課堂教學(xué)時(shí)間是有限的，但思維的拓展是無限的，要讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)獲得的不僅是知識(shí)的增長(zhǎng)，更應(yīng)該是思維的拓展，有些教師為趕進(jìn)度，只注重習(xí)題的講解而忽視了學(xué)生的方法學(xué)習(xí)，這樣得到的結(jié)果就如空中樓閣，是虛無不切實(shí)際的，是與素質(zhì)教育背道而馳的. 因此在教學(xué)中，教師要在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，開展拓展變式，注重拓展學(xué)生思維的想象空間，體會(huì)知識(shí)本質(zhì)，獲取數(shù)學(xué)方法.

[?] 結(jié)束語(yǔ)

新的課改提出了新的教學(xué)要求，為落實(shí)素質(zhì)教學(xué)，切實(shí)地讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，拓展思維，提升素養(yǎng)，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)需要在充分了解學(xué)情的前提下，設(shè)置具有啟發(fā)性、發(fā)散性的問題，提升教學(xué)質(zhì)量，營(yíng)造互通和諧的師生關(guān)系.