方衛(wèi)

數(shù)學難學，學生怕學，難與怕的關鍵在數(shù)學語言有別于自然語言的形式與內(nèi)涵。數(shù)學語言是開展數(shù)學思維的載體與基礎，是數(shù)學交流的介質與橋梁。數(shù)學語言不“識”，自然數(shù)學思維就難“破”。要掌握好數(shù)學語言，需要我們“讀”字當頭。這里的“讀”不全是指文科類的朗讀、閱讀，而是指數(shù)學閱讀。

一、數(shù)學閱讀的內(nèi)涵

數(shù)學閱讀是指圍繞數(shù)學問題或相關材料，以數(shù)學思維為基礎和紐帶，用數(shù)學的方法、觀念來認知、理解、解決問題的過程，以及感受數(shù)學文化的學習習得活動。從心理層面來看，它是用已知的經(jīng)驗和思維來理解數(shù)學語言、符號、圖表和領會數(shù)學文化的心理過程。

更加通俗一點，就是學生對相關數(shù)學信息用數(shù)學的觀念、方法來感受、理解與做出恰當反應的過程及活動，這個“過程”“活動”包括過濾信息、接受信息、綜合信息、轉化信息、表達信息，等等。

二、數(shù)學閱讀的理論支撐

在研究中我們參考了建構主義理論和心理學家紐威爾與西蒙的“信息處理系統(tǒng)”理論。心理學家紐威爾與西蒙的“信息處理系統(tǒng)”理論如下：

接納者：感覺神經(jīng)接受問題所產(chǎn)生的刺激，并將信息（包括問題的信息與解決問題的標準）傳遞給處理者。處理者：即認知過程，他根據(jù)已有的學習或經(jīng)驗中所獲得的解決問題的程式或策略對信息進行處理，需要記憶的有關原則及內(nèi)容則自動求助于記憶系統(tǒng)。作用者：將處理者提供的有效解答揭示出來，揭示方式有語言表達或動作表現(xiàn)。

另一個就是建構主義理論，即認知發(fā)展受三個過程的影響：同化、順應和平衡。

同化（assimilation）是指學習個體對刺激輸入的過濾或改變過程。也就是說個體在感受刺激時，把它們納入頭腦中原有的圖式（圖式是指個體對世界的知覺理解和思考的方式）之內(nèi)，使其成為自身的一部分。順應（accommodation）是指學習者調節(jié)自己的內(nèi)部結構以適應特定刺激情境的過程。當學習者不能用原有圖式來同化新的刺激時，便要對原有圖式加以修改或重建，以適應環(huán)境。平衡（equilibration）是指學習者個體通過自我調節(jié)機制使認知發(fā)展從一個平衡狀態(tài)向另一個平衡狀態(tài)過渡的過程。

三、根據(jù)數(shù)學信息的特征進行有針對性的閱讀

首先我們從宏觀上對學生接觸到的數(shù)學語言進行分類，并挖掘它們的意義，讓學生對閱讀對象有基礎性的了解，然后才是引導學生對具體的數(shù)學信息進行有效閱讀。

1.自然文字語言。數(shù)學閱讀是閱讀教學的一個分支，它應具有自然語言、文字語言的一般屬性，即注重對字、詞、句、段的理解，語義處理，句法結構剖析，明確問題背景，已知及未知等內(nèi)容，如“和”“或”“增長了”“增長到”“打折”“同比”“環(huán)比”“相向”“同向”等常用語的數(shù)學意義及理解，如數(shù)學故事、數(shù)學問題、數(shù)學史、數(shù)學人物介紹等，這都屬于自然語言的范疇。

2.特定的術語、概念。如“全等與相似”“等式性質”“絕對值”“有且僅有”“勾股定理”“函數(shù)”“中位數(shù)”“方程”“完全平方式”“平方根”“算術平方根”等。因為概念是數(shù)學化了的自然語言，所以我們在教學中一定要注重概念產(chǎn)生的背景與意義，注意在大量素材基礎上提煉出概念的本質屬性，讓學生明白術語與概念的內(nèi)涵。

3.符號語言。如象形符號：⊥∥∠≠≡等，縮寫符號：⊙△cos等，模型化符號（用字母等表示的公式、規(guī)律）：a+b=b+a，|a|，[a]等。

4.圖形語言。如各種幾何圖形、統(tǒng)計分析圖等，要將文字語言與圖形語言結合，從中閱讀出相關的幾何性質，以及從統(tǒng)計圖中讀出相關數(shù)據(jù)信息等，強化用數(shù)學語言來“翻譯”圖形語言。比如，看到直角三角形的圖形，我們自然要聯(lián)想到三邊關系、角的關系、邊與角的三角函數(shù)關系、斜邊上中線性質、高線等內(nèi)容。

5.圖象語言。要從各類函數(shù)圖象中讀出該類函數(shù)的性質，以及相關的數(shù)據(jù)條件，強調圖象的要素構成與性質的提煉運用。

6.表格語言（統(tǒng)計數(shù)據(jù)表、分析表框等）。它們是數(shù)學思維的載體與中介，也是數(shù)學思維的重要材料和結果，是抽象思維的重要工具。在閱讀中，要注重表中的要素及要素相關的數(shù)據(jù)，并用數(shù)學模型表示出來（如方程，不等式）。

在實踐中，我們總結出了閱讀數(shù)學信息共性的操作要點：①初識信息，將文本、直觀的信息進行“掃描”，初步轉化為接近個人認知結構的語言形式（比如用自己的話來表達自己的理解與思維）；②明確某些概念的意義及特征，聯(lián)結已有認知結構和經(jīng)驗，引起內(nèi)部認知的沖突并進行有效回憶，形成自我的數(shù)學直觀，明確信息的關鍵、難點、相關概念等；③通過數(shù)學思維（觀察、對比、類比、合情推理等）加工解讀信息；④形成成果，將個人最優(yōu)化的結果進行總結、表達、反思。

針對不同類型的數(shù)學信息，我們制訂了不同的閱讀策略。

概念術語類。第一步，感知數(shù)學信息（如數(shù)、式、括號、乘方）的認識，數(shù)學閱讀的感知部分是指數(shù)學概念或數(shù)學術語的取得或解碼；第二步，理解（回憶）信息的意義，理解數(shù)學閱讀信息即賦予信息意義，知道是怎么一回事，包括解析與使用的過程；第三步，明確法則步驟，操作演算。如計算[6×（12+23）÷（-2）3]，很多教師認為這是很簡單的事情，在教學中總是“大而統(tǒng)”地要求學生做。為什么總會出現(xiàn)解題困難的學生，或解答不完整的學生呢？做不對或不全對的學生問題在哪里？那就是學生閱讀這個題時，對題中的信息解讀不夠，并且作不出相關反應。本題的閱讀點很多：括號賦予了運算順序的信息，分數(shù)相加的法則回憶，乘方的認識與轉化，除法的轉化等等。成績不理想學生遇到的問題也就是解不出信息量較大的綜合題。閱讀課題研究啟示我們，教學中一定要換位思考，引導學生善于抓住問題中的閱讀關鍵點進行思考并解答問題。

數(shù)字信息類。通過數(shù)字、數(shù)字單位等數(shù)學符號來表現(xiàn)數(shù)學信息，要求挖掘出數(shù)字本身的組成規(guī)律以及數(shù)字間的關系，比如勾股數(shù)、倍分關系等。例如：

請你仔細觀察下列式子：endprint

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，……

回答問題：（1）32010的個位數(shù)字是多少？（2）請你探究22010的個位數(shù)字。

幾何圖形類。要用數(shù)學的眼光來敏銳感受所接觸的信息，并用數(shù)學的知識來解讀。如下列圖形，我們用數(shù)學閱讀的眼光來看，就應該通過對稱性來思考問題。

而對于幾何證明題，第一步，結合圖形正向發(fā)散條件，并在圖形中作批注。如圖形中有“垂直”就要想到90度的數(shù)量結論。第二步，將題干中的文字、符號條件、圖形中的條件、求證的內(nèi)容進行結合，展開數(shù)學想象，需要與哪些定理、性質、判定等建立聯(lián)系，如條件不充分再作出輔助線，在分析中不斷進行合情推理與驗證。第三步，邏輯證明與反思解題。

信息遷移類。我們要把握信息的本質內(nèi)容，將閱讀理解到的信息運用于解決的問題之中。其實數(shù)學的學習就是不斷地將學到的信息運用于待解決的問題之中的過程。這個過程一是要從提供的閱讀信息中提煉出本質的結論；二是在新情境中運用這個信息時，一定要注意新問題要與原信息的實質一樣，只是形式不同而已。例如運用“過平行四邊形的對稱中心的任一條直線平分這個平行四邊形”這一結論解決問題：

（1）已知：如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，過O的任一條直線l交AD于E，交BC于F。求證：S四邊形ABFE=S四邊形EFCD。

（2）如圖2，矩形木板上有一個平行四邊形的缺口，請你畫出一條直線將剩下木板的面積平分。

（3）如圖3，長方形紙片ABCD，其中有一個圓形破洞（即⊙O），現(xiàn)用剪刀沿直線剪一刀，將剩余紙片的面積平分，請在圖中畫出這條裁剪線。

圖象性信息。挖掘圖象中各信息所反映的數(shù)學特征，如圖象與x、y軸的交點和其它特殊點的意義，象限分布與表達式的特征，圖象形狀與表達式的類型，函數(shù)表達式與相關性質，等等，然后將圖形中“形”的信息轉化為“數(shù)”的信息。如果題中還有其他關鍵文字信息（如“平均”“總數(shù)”“規(guī)?！钡龋?，這時還要將文字信息與圖象信息結合，再化圖象信息為數(shù)字信息，最后建立數(shù)學模型求解。

例如：已知某辦公室的飲水是某品牌的桶裝水，已知桶中剩水量y（升）與時間t（天）的函數(shù)關系如圖所示。工作中，有教師因公外出，直到該桶水喝完才返回單位。（本題的設計未考慮星期六、星期天的因素，在思考解答問題中也不需考慮這個因素。）

（1）請問老師是第幾天因公外出的？

（2）如果沒有老師因公外出，按原飲水速度，這桶水可以飲用幾天？

（3）老師因公外出后，平均每天的飲水量只有原來平均每天飲水量的一半，請求出老師因公外出后，剩余水量與時間的關系式。

特征性數(shù)學信息。抓住信息中的關鍵性語言、詞語、圖形、信息的形式等的特征，將信息進行正向有效的聯(lián)想，并與相關的知識儲備建立聯(lián)系。聯(lián)系的快慢是學生不同閱讀水平的反映。數(shù)學特征性信息的整體把握，要有特殊的敏感；要培養(yǎng)敏感，就必須在平時教學中進行有意識的積累。

比如已知[a=32，b=12]，則[a2-2ab+b2]等于多少。不同的學生對信息就會有不同的反應，從而產(chǎn)生不同的解答方法。

另如：如圖，已知P是邊長為a的正三角形ABC內(nèi)的任一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PD⊥AC于D，則PD+PE+PF的值為多少。這里有垂直，并有PD+PE+PF這個整體“形”的啟示，自然產(chǎn)生面積法的解題思路。

特殊文字性信息。即文字信息轉化為數(shù)學信息和數(shù)學信息間的綜合與轉化，要用恰當?shù)臄?shù)學模型來表達這些數(shù)學信息。

例如：某校若干間寢室分配給某班女生住宿，已知女生數(shù)少于35人，若每個房間住5人，則剩5人沒住，若每間房住8人，則空一間房，并還有一間房住不滿，請問學校分配給這班女生的寢室有幾間？多少女生？此題的思路全在“還有一間房住不滿”上，由此用不等關系來建立模型，再找數(shù)量之間的關系，從而破題。此處也是該題的“題眼”，數(shù)學閱讀理念指導的教學就是要善于抓住這些關鍵性的信息。

再舉一例，已知：直角梯形OABC的四個頂點是O（0，0），A（[32]，1），B（s，t），C（[72]，0），拋物線y=x2+mx-m的頂點P是直角梯形OABC內(nèi)部或邊上的一個動點，m為常數(shù)。

（1）求s與t的值，并在直角坐標系中畫出直角梯形OABC；

（2）當拋物線y=x2+mx-m與直角梯形OABC的邊AB相交時，求m的取值范圍。

此題的思路與關鍵信息在哪里？全在“頂點P是直角梯形OABC內(nèi)部或邊上的一個動點”。通過這個點的坐標用不等關系把“在OABC內(nèi)部或邊上”表示出來，就是解答思路。

數(shù)學語言有章可循，數(shù)學閱讀有法可依。首先，教師的觀念要更新，要接受數(shù)學閱讀的相關理論與操作。數(shù)學閱讀的層次要高于自然語言的閱讀。數(shù)學中的概念與公式的“讀”有朗讀的層面，而更深的層面是口讀的同時，頭腦里會呈現(xiàn)相對應的圖形（或素材），輔之相應的邏輯思維。其次，教師應指導學生形成對數(shù)學信息的閱讀意識、習慣，幫助學生形成基本的閱讀能力與方法，強化學生對數(shù)學信息的敏感度與處理轉化能力。最后，要注重閱讀與表達結合，強調邊閱讀邊思考邊口頭表達（如發(fā)聲思維、思路表達、互動交流），等等。

（作者單位：長陽教育研究與教師培訓中心）endprint