齊霄霏，王勝利

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

環(huán)上強(qiáng)保持k-Jordan乘積的映射

齊霄霏，王勝利

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

對(duì)于任意給定的正整數(shù)k≥1,環(huán)R上的元x,y的k-Jordan乘積定義為{x,y}k={{x,y}k-1,y}1, 其中{x,y}0=x,{x,y}1=xy+yx.假設(shè)R是含有單位元與非平凡冪等元的環(huán),f∶R→R是滿(mǎn)射。文章證明了在一定的假設(shè)條件下,f滿(mǎn)足{f(x),f(y)}k={x,y}k對(duì)所有的x,y∈R成立當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=λx對(duì)所有的x∈R成立,其中λ∈Z(R)(R的中心)且λk+1=1.作為應(yīng)用,給出了素環(huán)與von Neumann代數(shù)上保持此類(lèi)性質(zhì)映射的完全刻畫(huà)。

Jordan乘積；k-Jordan乘積；素環(huán)；von Neumann代數(shù)

0 引言

令R是一個(gè)結(jié)合環(huán)。對(duì)任意x,y∈R和正整數(shù)k,定義x,y的k-交換子為[x,y]k=[[x,y]k-1,y],其中[x,y]0=x,[x,y]1=[x,y]=xy-yx是通常的Lie乘積(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1])。假設(shè)f∶R→R是一個(gè)映射。稱(chēng)f保持k-交換性, 若對(duì)任意x,y∈R, 當(dāng)[x,y]k=0時(shí)有[f(x),f(y)]k=0成立;強(qiáng)保持k-交換性,若對(duì)任意x,y∈R有[f(x),f(y)]k=[x,y]k成立。顯然, 強(qiáng)保持k-交換性的映射定保k-交換性, 反之不然。各種環(huán)與代數(shù)上刻畫(huà)保k-交換性或強(qiáng)保k-交換性映射的問(wèn)題已吸引了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注。對(duì)于k=1的情形,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-6]以及里面的參考文獻(xiàn)。對(duì)于k>1的情形, 文獻(xiàn)[7]給出了素環(huán)上強(qiáng)保持2-交換性的非線性滿(mǎn)射的結(jié)構(gòu), 證明了含有單位元與非平凡冪等元的素環(huán)上這樣的映射具有形式a|→αa+μ(a),其中μ為任意中心值映射,α屬于R的可擴(kuò)展中心且滿(mǎn)足條件α3=1.文獻(xiàn)[8]則給出了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上強(qiáng)保持k-交換性的一般映射的具體形式。

另一方面,R還可被賦予另外一類(lèi)乘積-Jordan乘積. 對(duì)任意x,y∈R, 記{x,y}=xy+yx為x與y的Jordan乘積。Jordan乘積是算子代數(shù)上一類(lèi)重要的乘積,已有許多學(xué)者對(duì)這類(lèi)乘積進(jìn)行了研究(見(jiàn)文獻(xiàn)[9-14]及里面的參考文獻(xiàn))。

受k-交換子概念的啟發(fā), 對(duì)任意正整數(shù)k,我們可以類(lèi)似地定義k-Jordan乘積為{x,y}k={{x,y}k-1,y}1, 其中{x,y}0=x,{x,y}1=xy+yx.顯然,當(dāng)k=1時(shí),k-Jordan乘積即為通常的Jordan乘積。此外,若映射f∶R→R滿(mǎn)足{f(x),f(y)}k={x,y}k對(duì)任意元x,y∈R成立,則稱(chēng)f強(qiáng)保持k-Jordan乘積。于是,一個(gè)自然的問(wèn)題是如何刻畫(huà)強(qiáng)保持k-Jordan乘積的映射。本文的目的是在一般環(huán)上給出強(qiáng)保持k-Jordan乘積滿(mǎn)射的具體刻畫(huà)。

首先給出環(huán)的特征的定義。環(huán)R的特征為n是指,對(duì)任意x∈R,存在最小的正整數(shù)n使得nx=0成立。如果這樣的n不存在, 則稱(chēng)R的特征為0。

下面是本文的主要結(jié)果。

定理1 令R是含有單位元1與非平凡冪等元e的特征不為2的環(huán), 且R滿(mǎn)足條件aRe={0}蘊(yùn)含a=0與aR(1-e)={0}蘊(yùn)含a=0.假設(shè)f∶R→R是滿(mǎn)射,k為任意正整數(shù)。則f強(qiáng)保持k-Jordan乘積, 即f滿(mǎn)足{f(x),f(y)}k={x,y}k對(duì)所有的x,y∈R成立,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=λx對(duì)所有的x∈R成立,其中λ∈Z(R)(R的中心)且λk+1=1.

回憶稱(chēng)環(huán)R是素的, 如果對(duì)任意的a,b∈R,aRb={0}蘊(yùn)涵a=0或b=0. 顯然, 素環(huán)一定滿(mǎn)足定理1中的假設(shè)條件“aRe={0}蘊(yùn)含a=0與aR(1-e)={0}蘊(yùn)含a=0”.這樣,作為推論,立即可得下面的結(jié)果。

推論2 令R是含有單位元與非平凡冪等元, 且特征不為2的素環(huán)。假設(shè)f∶R→R是滿(mǎn)射,k為任意正整數(shù)。則f強(qiáng)保持k-Jordan乘積當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=λx對(duì)所有的x∈R成立,其中λ∈Z(R)(R的中心)且λk+1=1.

假設(shè)M是沒(méi)有I1型中心直和項(xiàng)的von Neumann代數(shù)。由文獻(xiàn)[15]知,M亦滿(mǎn)足定理1中的假設(shè)條件“aMe={0}蘊(yùn)含a=0與aM(1-e)={0}蘊(yùn)含a=0”.因此, 下面的推論也是顯然的。

推論3 令M是沒(méi)有I1型中心直和項(xiàng)的von Neumann代數(shù)。假設(shè)Φ∶M→M是滿(mǎn)射。則Φ滿(mǎn)足{Φ(A),Φ(B)}k={A,B}k對(duì)所有A,B∈M成立當(dāng)且僅當(dāng)Φ(A)=λA對(duì)所有A∈M成立, 其中λ∈且λk+1=1.

1 主要結(jié)果的證明

在給出本文主要結(jié)果定理1的證明之前, 首先給出下面的引理。

引理4 ([15,引理3.2])令R是含有單位元1與非平凡冪等元e的環(huán),a∈R.假設(shè)R滿(mǎn)足條件aRe={0}蘊(yùn)含a=0與aR(1-e)={0}蘊(yùn)含a=0.若exeae=eaexe對(duì)所有的x∈R成立, 則存在λ∈Z(R)使得eae=λe.

接下來(lái)我們給出定理的證明.

定理1的證明 充分性顯然。對(duì)于必要性,分幾步證之。

記e1=e,e2=1-e.則R可以分解為R=R11+R12+R21+R22,其中Rij=eiRej,i,j∈{1,2}.

以下總假設(shè)f∶R→R是強(qiáng)保持k-Jordan乘積的滿(mǎn)射. 由f的滿(mǎn)射性知,

存在元t∈R使得f(t)=1.

(1)

第一步f是可加的, 即對(duì)任意元x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y).

對(duì)任意的元x,y∈R, 利用等式(1), 我們有

2k(f(x+y)-f(x)-f(y))=

{f(x+y),1}k-{f(x),1}k-{f(y),1}k={x+y,t}k-{x,t}k-{y,t}k=0,

即得2k(f(x+y)-f(x)-f(y))=0.由于R的特征不為2,該式蘊(yùn)涵f(x+y)=f(x)+f(y)對(duì)所有的x,y∈R成立, 即f是可加的。

第二步f(ei)∈Rii且f(ei)k+1=ei,i=1,2.

這里僅給出i=1時(shí)的證明, 對(duì)于i=2的情形類(lèi)似可證。

首先,由于{f(e1),f(e1)}k={e1,e1}k,我們有2kf(e1)k+1=2ke1.因?yàn)镽的特征不為2,所以

f(e1)k+1=e1.

(2)

以下為討論方便,記f(e1)=s=s11+s12+s21+s22與t=t11+t12+t21+t22,其中t為等式(1)中的元。注意到

在上式左右兩邊分別乘以e2, 利用R的特征不為2的性質(zhì), 可得e2ske2=0. 該式結(jié)合等式(2), 有

e1=ssk=se1ske1+se1ske2+se2ske1

(3)

和

e1=sks=e1ske1s+e1ske2s+e2ske1s.

(4)

在式(3)左右兩邊分別乘以e1, 得到

e1=s11e1ske1+s12e2ske1;

(5)

在等式(3)與等式(4)左右兩邊分別乘以e1與e2, 可得

s11ske2=0,e1ske1s12+e1ske2s22=0;

(6)

在等式(4)左右兩邊分別乘以e2, 可得

e2ske1s12=0.

(7)

現(xiàn)結(jié)合等式(5)-(7), 有

s12=s11e1ske1s12+s12e2ske1s12=s11e1ske1s12=-s11e1ske2s22=0.

類(lèi)似可證s21=0.因此f(e1)=s=s11+s22.

并注意到R的特征不為2, 可得r11=r12=r21=0, 即得f(r22)=x22. 特別地,

存在u22∈R22使得f(u22)=e2.

現(xiàn)利用等式

與R的特征不為2這一性質(zhì),即得s22=0.因而f(e1)=s11∈R11.該步得證。

第三步f(Rii)?Rii,i∈{1,2}.

任取x11∈R11,令f(x11)=s11+s12+s21+s22.利用第二步,有

2kx11={x11,e1}k={s11+s12+s21+s22,e1f(e1)e1}k=

s11(e1f(e1)e1)k+s21(e1f(e1)e1)k+(e1f(e1)e1)ks11+

此式蘊(yùn)含(e1f(e1)e1)ks12=s21(e1f(e1)e1)k=0. 該式再結(jié)合第二步即得s12=s21=0.

另一方面, 對(duì)e2, 已證存在u22∈R22使得f(u22)=e2. 進(jìn)而有

此蘊(yùn)含s22=0. 因而f(x11)=s11∈R11.

類(lèi)似可證f(R22)?R22.

第四步 對(duì)任意元xij∈Rij(1≤i≠j≤2),我們有f(x12)=f(e1)x12與f(x21)=x21f(e1).

仍然只給出情形{i=1,j=2}的證明,另一情形類(lèi)似可證。

任取x12∈R12,并令f(x12)=s11+s12+s21+s22.利用f的定義與第一步可知

x12={x12,e1}k={s11+s12+s21+s22,e1f(e1)e1}k=

上式蘊(yùn)含x12=(e1f(e1)e1)ks12與s21(e1f(e1)e1)k=0.進(jìn)而得到s12=e1f(e1)e1x12且s21=0.

另一方面, 注意到

此式與R的特征不為2這一性質(zhì)蘊(yùn)含s22=0.

2kr22+r12+r21={r,e2}k={e1,e2f(e2)e2}k=0.

此蘊(yùn)含r22=r12=r21=0. 因此f(r11)=e1. 現(xiàn)在, 結(jié)合上面已證等式,有

此式與事實(shí)R的特征不為2蘊(yùn)含s11=0. 該步成立。

第五步 存在元λ∈Z(R)滿(mǎn)足λk+1=1, 使得f(xij)=λxij對(duì)所有元xij∈Rij成立, 其中i,j∈{1,2}.

對(duì)任意元x11∈R11和任意元x12∈R12, 有

2kx11+(2k-1)x11x12.

又, 利用以上四步, 得到

{f(x11),f(x12+e1)}k={e1f(x11)e1,e1f(e1)x12+e1f(e1)e1}k=

{f(x11),f(e1)}k(e1+x12)-(e1f(e1)e1)kf(x11)x12.

結(jié)合上面兩式可得

2kx11={f(x11),f(e1)}k

與

(2k-1)x11x12={f(x11),f(e1)}kx12-(e1f(e1)e1)kf(x11)x12

對(duì)任意元x11∈R11與x12∈R12成立。進(jìn)而得到

[(e1f(e1)e1)kf(x11)-x11]e1xe2=0對(duì)任意元x11∈R11,x∈R成立。

現(xiàn)利用定理中R滿(mǎn)足的條件可得

x11=(e1f(e1)e1)kf(x11)對(duì)任意元x11∈R11成立。

再利用第二步知

f(x11)=e1f(e1)e1x11=f(e1)x11對(duì)所有元x11∈R11成立。

(8)

類(lèi)似地,利用等式{x11,x21+e1}k={f(x11),f(x21)+f(e1)}k,可證x11=f(x11)(e1f(e1)e1)k,進(jìn)而有

f(x11)=x11e1f(e1)e1=x11f(e1) 對(duì)所有元x11∈R11成立。

(9)

比較等式(8)-(9),得到x11e1f(e1)e1=e1f(e1)e1x11對(duì)所有元x11∈R11成立。現(xiàn)由引理4知,

存在λ∈Z(R)使得e1f(e1)e1=λe1.

(10)

注意到(e1f(e1)e1)k+1=e1. 因此λk+1=1.

現(xiàn)在結(jié)合等式(8)與(10), 即得f(x11)=λx11; 結(jié)合等式(8)與(10)與第四步, 得到f(x12)=λx12與f(x21)=λx21.

最后, 任取x22∈R22與x21∈R21. 由以上所證等式, 有

x22x21={x22,x21+e1}k={f(x22),λ(x21+e1)}k=λkf(x22)x21,

即x22xe1=λkf(x22)xe1對(duì)所有x∈R成立?，F(xiàn)利用定理中R滿(mǎn)足的條件可得x22=λkf(x22), 進(jìn)而得到f(x22)=λx22.

第六步 對(duì)任意元x∈R, 我們有f(x)=λx. 定理成立。

事實(shí)上,任取x∈R,結(jié)合第一步和第五步,該步顯然成立。

證畢。

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Strongk-Jordan Product Preserving Maps on Rings

QI Xiaofei,WANG Shengli

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006，China)

For any integerk≥1, thek-Jordan product of two elementsx,yin a ring R is defined by {x,y}k={{x,y}k-1,y}1,where {x,y}0=xand {x,y}1=xy+yx. Assume that R is a unital ring containing a nontrivial idempotent andf∶R→R is a surjective map. It is shown that, under some mild conditions,fsatisfies {f(x),f(y)}k={x,y}kfor allx,y∈R if and only if there existsλ∈Z(R) (the center of R) withλk+1=1 such thatf(x)=λxholds for allx∈R.As an application, such maps on prime rings and von Neumann algebras are characterized,respectively.

Jordan products；k-Jordan products；prime rings；von Neumann algebras

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.03.002

2017-05-24；

2017-06-16

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11671006)；山西省高等學(xué)校優(yōu)秀青年學(xué)術(shù)帶頭人支持計(jì)劃

齊霄霏(1981-),女,山西陽(yáng)泉人,教授,博士,研究方向:算子理論與算子代數(shù)。E-mail:qixf1981@sxu.edu.cn

O175

A

0253-2395(2017)03-0406-05