翟成波,趙莉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

三階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題非平凡解的存在唯一性

翟成波,趙莉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

研究一類新型的三階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,利用新的不動(dòng)點(diǎn)定理給出了這類邊值問(wèn)題非平凡解的存在唯一性,并舉例說(shuō)明結(jié)論的合理性。

非平凡解;三階微分方程;存在唯一性;φ-(h,e)-凹算子

0 引言

最近非線性三階微分方程引起人們的極大興趣,已經(jīng)獲得一些好的結(jié)論,見文獻(xiàn)[1-10]。這些文章中所用的辦法有錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理,打靶法,Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理等。文獻(xiàn)中考察的多為三階微分邊值問(wèn)題的正解,討論了正解的存在性與多重性,但對(duì)其唯一性討論很少,幾乎沒(méi)有。因此,本文將考察三階微分方程非平凡解的存在唯一性,這種結(jié)論也包含了正解的存在唯一性。我們的辦法是新的不動(dòng)點(diǎn)定理。

本文討論一類新型的三階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題:

(1)

其中b>0是一個(gè)常數(shù),f∶[0,1]×R→R連續(xù)。當(dāng)b=0時(shí),這類問(wèn)題在文獻(xiàn)中被討論過(guò),給出了正解的存在性,但唯一性沒(méi)有。當(dāng)b>0時(shí),這類問(wèn)題沒(méi)有被討論過(guò),我們將給出其非平凡解的存在唯一性。因此,本文的結(jié)論以及方法都是新的,對(duì)人們研究非線性邊值問(wèn)題起到了很好的參考作用。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(E,‖·‖)是實(shí)Banach空間,P是E中的一個(gè)錐,則P導(dǎo)出了E中的半序:

x≤y?y-x∈P,記θ是E中的零元。若存在常數(shù)M>0,對(duì)于x,y∈E且θ≤x≤y就有‖x‖≤M‖y‖,則稱P是正規(guī)的,M稱為正規(guī)常數(shù)。

算子A∶E→E滿足:x≤y?Ax≤Ay,則稱A是單調(diào)遞增的。

定義1[11]算子A∶Ph,e→E滿足:對(duì)任意x∈Ph,e以及λ∈(0,1),存在φ(λ)>λ使得A(λx+(λ-1)e)≥φ(λ)Ax+(φ(λ)-1)e,則稱A是一個(gè)φ-(h,e)-凹算子。

引理1[11]假設(shè)P是正規(guī)的,算子A∶Ph,e→E是單調(diào)遞增的φ-(h,e)-凹算子,Ah∈Ph,e,那么A在Ph,e中有唯一不動(dòng)點(diǎn)x*。此外,對(duì)任意w0∈Ph,e,作迭代序列wn=Awn-1,n=1,2,…,則必有‖wn-x*‖→0(n→∞)。

2 主要結(jié)果

引理2 假設(shè)f∶[0，1]×(-∞，+∞)→(-∞，+∞)是連續(xù)的,那么下列邊值問(wèn)題:

(2)

(3)

證明 利用積分與邊界條件即可得到。

引理3 格林函數(shù)G(t,s)具有下列性質(zhì):

定理1 假設(shè)

(H2)對(duì)λ∈(0,1),存在φ(λ)>λ使得

(H3)f(t,0)≥0且f(t,0)在[0,1]上不恒為0.

則有:邊值問(wèn)題(1)在Ph,e中有唯一非平凡解u*,這里e(t),h(t)如上所述。此外,對(duì)于w0∈Ph,e,作迭代序列

就有wn(t)→u*(t)(n→∞).

證明 首先,對(duì)于t∈[0,1],

即e∈P且有e≤h.此外,Ph,e={u∈C[0,1]|u+e∈Ph}.

由引理2可知,邊值問(wèn)題(1)等價(jià)于如下的積分問(wèn)題

對(duì)于u∈Ph,e,λ∈(0,1),由(H2)可得

φ(λ)Au(t)+[φ(λ)-1]e(t).

因此可得A(λu+(λ-1)e)≥φ(λ)Au+[φ(λ)-1]e,u∈Ph,e,λ∈(0,1).所以,A是φ-(h,e)-凹算子。

最后,證明Ah∈Ph,e.由Ph,e的定義,只需證明Ah+e∈Ph.由引理3以及(H1)，(H3)可知,

記

s.

由(H1)及引理3可得，

r1h(t)≤Ah(t)+e(t)≤r2h(t),t∈[0,1].

即r1h≤Ah+e≤r2h,因而就有Ah+e∈Ph.

顯然，由(H3)可知，u*(t)在[0，1]不恒為0.即u*(t)是(1)的一個(gè)非平凡解。

此外,對(duì)任意的w0∈Ph,e,序列wn=Awn-1,n=1,2,…滿足wn(t)→u*(t)(n→∞).

即

證畢。

由定理1的證明以及文[12]中的定理3,易得:

定理2 假設(shè)

(H4)f∶[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù),關(guān)于第二變量遞增;

(H5)對(duì)于λ∈(0,1),存在φ(λ)>λ,滿足f(t,λx)≥φ(λ)f(t,x),t∈[0,1],x∈[0,+∞);

(H6)f(t,0)在[0,1]上不恒為0.

那么,如下的三階微分方程邊值問(wèn)題:

在Ph中具有唯一的正解u*,其中h(t)=t-t2.并且對(duì)任意w0∈Ph,迭代序列

必收斂于u*(t),這里G(t,s)由(3)給出。

例1 考慮如下的三階微分方程邊值問(wèn)題:

(4)

此外,

f(t,λx+(λ-1)y)={9e(t)[λx+(λ-1)y]+e(t)}

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Existence and Uniqueness of Nontrivial Solutions for Third-order Two-point Boundary Value Problems

ZHAI Chengbo,ZHAO Li

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

This paper considers a new form of third-order two-point boundary value problem. By using a new fixed point theorem, the existence and uniqueness of nontrivial solutions for the boundary value problem is obtained. In addition, an example is given to illustrate the main result.

nontrivial solutions;third-order differential equation;existence and uniqueness;φ-(h,e)-concave operator

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.03.004

2017-05-10；

2017-05-24

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201272)；山西省自然科學(xué)基金(2015011005)

翟成波(1977-),男,博士，教授,主要研究方向:非線性泛函分析與微分方程。E-mail:cbzhai@sxu.edu.cn

O175

A

0253-2395(2017)03-0416-05