劉念聰，楊家銳，曾浩然，耿偉濤，陳建龍

(成都理工大學 核技術與自動化工程學院，成都 610059)

特性參數(shù)對進給系統(tǒng)工作臺扭轉(zhuǎn)-縱向振動的影響分析*

劉念聰，楊家銳，曾浩然，耿偉濤，陳建龍

(成都理工大學 核技術與自動化工程學院，成都 610059)

以數(shù)控機床進給系統(tǒng)為研究對象，運用第二類拉格朗日方程理論建立了系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)-縱向的耦合動力學模型，并利用四階龍格-庫塔法對方程進行了數(shù)值求解。采用等倍數(shù)法增加各參數(shù)值，進而求取了不同參數(shù)下的工作臺速度最大振動幅值。在此基礎上，分析了絲杠與螺母結合部軸向剛度、聯(lián)軸器剛度、軸承剛度三個因素對進給系統(tǒng)工作臺軸向振動的影響，并分析了在變導程下增加結合部等效扭轉(zhuǎn)剛度對工作臺扭轉(zhuǎn)振動的影響。研究結果表明，隨軸向剛度的增加工作臺軸向振動幅值都呈減弱的趨勢，螺母結合部軸向剛度是影響工作臺軸向振動最大的因素，聯(lián)軸器剛度是影響最小的因素。導程越大，工作臺扭轉(zhuǎn)振動幅值越大，等效扭轉(zhuǎn)剛度對工作臺扭轉(zhuǎn)振動的影響率越明顯。為進給系統(tǒng)的研究提供了理論參考，并為機床減振和結構優(yōu)化提供理論依據(jù)。

進給系統(tǒng)；扭轉(zhuǎn)-縱向；耦合；剛度；變導程

0 引言

進給系統(tǒng)的動態(tài)特性作為影響數(shù)控機床切削平穩(wěn)性的決定因素之一，直接影響到其加工質(zhì)量、加工精度[1-2]。另一方面，數(shù)控機床的高速、高精密發(fā)展趨勢對數(shù)控機床動態(tài)特性的要求越來越高[3-4]，而動態(tài)特性參數(shù)是影響動態(tài)特性的重要因素并很大程度上制約數(shù)控機床的加工質(zhì)量，在耦合作用下研究動態(tài)特性參數(shù)對進給系統(tǒng)的影響已經(jīng)成為國內(nèi)外學者的研究熱點[5-6]。吳沁等[7-8]人運用集中質(zhì)量建模的方法建立了扭轉(zhuǎn)-縱向振動的數(shù)學模型并指出絲杠導程、質(zhì)量、螺母結合部剛度是對工作臺軸向振動影響最大的三個因素，并提出了減小剛度對系統(tǒng)性能影響的控制補償策略，但建模過于簡化，并忽略了工作臺的扭轉(zhuǎn)因素的影響，其分析不能準確描述各參數(shù)影響的變化趨勢。ZHANG等人運用Timoshenko理論研究了扭轉(zhuǎn)-縱向的振動，得出伺服電機諧波頻率與系統(tǒng)自然頻率接近時系統(tǒng)將發(fā)生共振[9]，雖建模時考慮了聯(lián)軸器剛度，但并未分析其對系統(tǒng)的影響。VICENTE等人運用里茲級數(shù)法建立了進給系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)-縱向耦合數(shù)學模型，分析了導程、工作臺位置對系統(tǒng)的影響，并對耦合與非耦合下的模態(tài)頻率進行了比較分析[10]，但在建模時忽略了工作臺扭轉(zhuǎn)因素的影響，并未得出某種影響趨勢。OKWUDIRE等人建立了進給系統(tǒng)三向耦合數(shù)學模型，在頻域內(nèi)分析了轉(zhuǎn)矩、工作臺位置對系統(tǒng)最大振動幅值的影響[11]，但在建模時忽略了阻尼、聯(lián)軸器影響，并未得出聯(lián)軸器對系統(tǒng)的影響趨勢。

論文根據(jù)第二類拉格朗日方程理論建立考慮剛度、導程等影響因素的動力學模型，通過取最大幅值的方式分析了影響因素對工作臺振動的影響關系，結論為后期結構優(yōu)化和機床減振提供一定的理論依據(jù)。

1 進給系統(tǒng)數(shù)學模型的建立

1.1 力學模型

進給系統(tǒng)結構簡圖如圖1所示，為了便于力學模型的建立，將進給系統(tǒng)結構簡圖作如下假設：電機軸剛性較大，視其為剛性體考慮。聯(lián)軸器軸向剛度較扭轉(zhuǎn)剛度而言，扭轉(zhuǎn)作主導作用，把聯(lián)軸器簡化成由扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼組成的等效扭轉(zhuǎn)彈簧?？紤]到軸承、螺母與絲杠結合部的彈性作用，把結合部分簡化成軸向剛度、軸向阻尼、扭轉(zhuǎn)剛度、扭轉(zhuǎn)阻尼。為了簡化分析模型，不考慮絲杠彎曲的作用，把滑塊結合部的法向剛度換算到螺母與絲杠結合部上考慮。具體簡化如圖2所示。

圖1 進給系統(tǒng)結構簡圖

圖2 簡化力學模型

如圖2所示，Jm為電機轉(zhuǎn)動慣量，cm為電機繞x軸旋轉(zhuǎn)的粘性阻尼，θ1為電機轉(zhuǎn)角位移，k1、c1分別為聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼，cb、cb1、cbφ、cb1φ分別為兩軸承結合部的軸向阻尼和扭轉(zhuǎn)阻尼，kb、kb1、kbφ、kb1φ分別為兩軸承結合部的軸向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，μ(x,t)、θ(x,t)分別為絲杠的軸向振動位移和扭轉(zhuǎn)振動位移，c2、c2φ分別為螺母結合部的軸向阻尼和扭轉(zhuǎn)阻尼，k2φ為工作臺法向剛度k3、k4轉(zhuǎn)換到螺母結合部扭轉(zhuǎn)剛度上的等效扭轉(zhuǎn)剛度，k2為螺母結合處的軸向剛度，x(t)為工作臺軸向位移，φ(t)為工作臺扭轉(zhuǎn)位移，m為工作臺質(zhì)量，ct為滑塊粘性阻尼。

1.2 數(shù)學模型

第二類拉格朗日方程如式(1)所示。

(1)

式中，Q-廣義激振力；L-系統(tǒng)動勢能之差，L=T-V，T-系統(tǒng)動能，V-系統(tǒng)勢能；D-阻尼能；qi-系統(tǒng)廣義坐標。

根據(jù)簡化可得進給系統(tǒng)動能：

(2)

式中，ρ—絲杠密度；J—絲杠極慣性矩，J=πd4/32；J1—工作臺轉(zhuǎn)動慣量，由文獻[12]可知J1=mb2/48；J2—聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動慣量；A—絲杠橫截面面積；L1—絲杠長度。

同理，根據(jù)簡化可得勢能：

(3)

式中，G—剪切彈性模量；l—轉(zhuǎn)換系數(shù)，l=l1/2π；E—材料彈性模量。

同上，可得阻尼能和系統(tǒng)外力所作的功：

(4)

式中，F(xiàn)1—螺母預緊力，以最大動載荷的10%計算；f—工作臺所受阻力。

在連續(xù)系統(tǒng)非線性無關具有同步運動特征條件下，可把絲杠扭轉(zhuǎn)振動位移和縱向振動位移分離成位移和時間表示的函數(shù)，即用里茲級數(shù)法表示[13]，可得：

(5)

把式(2)～式(5)帶入式(1)中，并把系統(tǒng)動力學平衡方程整理成矩陣形式，如式(6)所示：

(6)

2 動態(tài)特性參數(shù)分析

工作臺x向的振動對加工精度具有直接的影響，因此本文以此為分析對象。運用四階-龍格庫塔法對式(6)進行數(shù)值求解運算。其中，結合部剛度難以確定，因此結合部剛度根據(jù)赫茲理論進行計算[14]，考慮到系統(tǒng)受阻尼過大時幅值將會很小，分析時不易獲取較大幅值，因此系統(tǒng)阻尼根據(jù)模態(tài)實驗所得絲杠最小阻尼比ξ=0.00197進行計算。以搭建的工作臺實際計算所得參數(shù)值為求解初始參數(shù)，主要參數(shù)如表1所示。

表1 初始數(shù)值計算參數(shù)

取r=0.5L1，在扭轉(zhuǎn)-軸向耦合狀態(tài)下，通過等倍數(shù)改變各參數(shù)值的方式獲得工作臺在不同數(shù)值下的數(shù)值，并通過取振動最大幅值的方式定量分析各參數(shù)對工作臺扭轉(zhuǎn)-軸向振動的影響趨勢。表2為剛度以等倍數(shù)增加時工作臺軸向剛度的最大幅值變化情況，下降率表示隨剛度等倍增加后軸向最大振幅所下降的比例。表3表示在不同導程下工作臺結合部扭轉(zhuǎn)剛度以成倍增加后工作臺的扭轉(zhuǎn)最大幅值，影響率表示在不同導程下，結合部扭轉(zhuǎn)剛度以等倍數(shù)增加后分別對工作臺扭轉(zhuǎn)最大振動幅值影響的下降比例，而增加率表示在初始設定的參數(shù)條件下隨著導程的增加工作臺扭轉(zhuǎn)最大振動幅值所增加的比例。圖3對應表2數(shù)據(jù)，圖4、圖5對應表3數(shù)據(jù)。

表2 軸向剛度對工作臺軸向振動影響

表3 變導程下工作臺結合部等效扭轉(zhuǎn)剛度對工作臺扭轉(zhuǎn)振動的影響

圖3 剛度對工作臺軸向的影響關系

圖4 變導程下結合部扭轉(zhuǎn)剛度對扭轉(zhuǎn)振動下降率的影響

圖5 導程對工作臺扭轉(zhuǎn)振動的影響關系

由表2、圖3可知，隨著螺母結合部軸向剛度、軸承結合部剛度、聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺軸向最大振幅都呈逐漸下降的趨勢，其中，螺母結合部軸向剛度增加后振幅下降率為6.5%，軸承結合部剛度增加后下降率為2.9%，聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度增加后振幅下降率為0.55%。由此可知，這三因素中，螺母軸向剛度是影響工作臺軸向振動最大的因素，且聯(lián)軸器對其影響最小，在對進給系統(tǒng)動力學簡化分析時，可以忽略聯(lián)軸器剛度的影響。

由表3、圖4可知,在導程不變的情況下，隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加工作臺扭轉(zhuǎn)振動幅值將逐漸減小，即工作臺扭轉(zhuǎn)波動減小，在增加導程后，隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺的扭轉(zhuǎn)振動幅值的影響率將會逐漸增大。根據(jù)建模時工作臺軸向與扭轉(zhuǎn)有l(wèi)的轉(zhuǎn)化關系可知，隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺軸向振動幅值也將逐漸減小。由圖5和表3可知導程從5增加到6和10，即增加1.2倍和2倍時，振動幅值增加率16.63%和45.86%，等效扭轉(zhuǎn)剛度增加2倍時，振動幅值下降率0.78%，由此得出導程對工作臺扭轉(zhuǎn)振動幅值的影響要比等效扭轉(zhuǎn)剛度的影響大的多，這是由于增大導程會使系統(tǒng)耦合性增加并會增加絲杠的扭轉(zhuǎn)變形進而減小了傳動剛度。

3 結論

以搭建的進給系統(tǒng)為研究對象，運用第二類拉格朗日理論建立了進給系統(tǒng)多自由度的理論模型，通過取振動最大幅值的方式分析了各因素對工作臺軸向振動的影響和對扭轉(zhuǎn)振動的影響。可以得出以下結論：

(1)隨著軸向剛度的增加，工作臺軸向振動幅值呈逐漸減小的趨勢。在文中分析的幾個對軸向影響的剛度因素中，螺母結合部軸向剛度對工作臺軸向振動幅值的影響最大，在進行結構優(yōu)化時，可以采用雙螺母來提高螺母結合部剛度，從而減小振動。由于聯(lián)軸器對工作臺軸向振動非常小，在以后的理論研究中，在精度允許的前提下，可以忽略聯(lián)軸器的影響。

(2)隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺扭轉(zhuǎn)振動幅值呈逐漸減小的趨勢，即工作臺扭轉(zhuǎn)波動減小。隨著導程的增加工作臺扭轉(zhuǎn)振動幅值呈增大的趨勢，這是由于增大導程會使絲杠的扭轉(zhuǎn)變形增大進而減小了傳動剛度。并得出導程對工作臺扭轉(zhuǎn)的影響比等效扭轉(zhuǎn)剛度對扭轉(zhuǎn)振動的影響大的多。

(3)隨導程的增加，結合部等效扭轉(zhuǎn)剛度對工作臺扭轉(zhuǎn)振動的影響率將會逐漸變大，由此可以得出，對采用大導程的系統(tǒng)，在分析其性能時不可以忽略結合部扭轉(zhuǎn)剛度的影響。

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(編輯 李秀敏)

Analysis on the Influence of Characteristics Parameter on Feed System Workbench Axial-Torsional Vibration

LIU Nian-cong, YANG Jia-rui, ZENG Hao-ran, GENG Wei-tao, CHEN Jian-long

(College of Nuclear Technology and Automation Engineering,Chengdu University of Technology, Chengdu 610059,China)

By taking numerical control machine feed system as the research subject, a axial-torsional coupling dynamic model of feed system has been established using the second theory of Lagrange equation, and the model has also been numerically solved by the four-order Runge-Kutta method. Increasing the various parameter values of feed system by equimultiple, the maximum velocity amplitude of workbench vibration under the different parameters has been obtained. Influence of the axial stiffness of nut integration, the coupling stiffness and the bearing stiffness on workbench axial vibration has been analyzed, and under the changeable lead, the influence of increasing the integration equivalent torsional stiffness on workbench torsional vibration has also been analyzed. It turns out that when increasing the three axial stiffness, vibration amplitude of the workbench axial decreases. The axial stiffness of nut integration is taken as the major factor of the workbench axial vibration, and the coupling stiffness as the minimum factor. The bigger the screw lead, the greater the torsional vibration, and the influence ratio of equivalent torsional stiffness on workbench torsional vibration become more obvious. The discovery can be served as theory reference of feed system research, and provides theoretical basis for the vibration absorption and structure optimization of machine tool.

feed system; axial-torsional; coupling; stiffness; changeable lead

1001-2265(2017)08-0010-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.003

2016-10-26；

2016-11-22

國家自然科學基金(51575457)；四川省教育廳科研項目(16ZB0098)

劉念聰(1976—)，男，山東荷澤人，成都理工大學副教授，博士，碩士生導師，研究方向為機械振動及測試、機電系統(tǒng)動力學、有限元分析，(E-mail)1250208673@qq.com；通訊作者：楊家銳(1990—)，男，重慶人，成都理工大學碩士研究生，研究方向為制造過程故障診斷與可靠性分析，(E-mail)861306792@qq.com。

TH161; TG659

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