居加穎

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體該如何實(shí)踐，需要慢慢探索，形成靈韻的數(shù)學(xué)課堂模式.下面筆者將以一節(jié)課為例，進(jìn)行探究.

學(xué)生對(duì)圖形的敏感性比較強(qiáng)，本節(jié)課就從圖形出發(fā)，讓學(xué)生在圖形中找出最值和極值的區(qū)別，培養(yǎng)直觀想象能力.

問(wèn)題1 觀察下圖，你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的極大值和極小值嗎？

學(xué)生1：極大值為x2，x5.

學(xué)生2：不對(duì)，x2，x5是極大值點(diǎn)，極大值是f（x2），f（x5）.

教師：那你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值嗎？

學(xué)生4：是f（b）.

教師：你是怎么判斷出來(lái)的？

學(xué)生4：看圖就可以，x=b時(shí)，是最高點(diǎn).

教師：最小值呢？

學(xué)生5：f（x1）.

學(xué)生6：f（x4）.

教師：既然你們有了不同意見，那怎樣才能確定最小值呢？

學(xué)生：我們用尺子量一下兩個(gè)函數(shù)值，然后比較一下，得到f（x4）更小一些.

學(xué)生通過(guò)圖形得到了找出最值和極值的區(qū)別的過(guò)程中，培養(yǎng)了直觀想象能力.在判斷最值的過(guò)程中，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力.

問(wèn)題2 回顧一下剛才確定最大值和最小值的過(guò)程，你們可以得到最值的概念嗎？

學(xué)生7：最值是在整個(gè)定義域內(nèi)尋找最大、最小的函數(shù)值.

教師：對(duì)，那是從圖像上得到的，你們可以把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示嗎？

學(xué)生7：比如，最大值：在定義域內(nèi)，若f（x）

學(xué)生8：這個(gè)定義不對(duì)，應(yīng)該是在定義域內(nèi)，若f（x）≤f（x0）.

教師：你為什么加了一個(gè)等號(hào)？

學(xué)生8：極值中x是x0附近的點(diǎn)，最值中x是定義域中所有的點(diǎn)，所以最值里的f（x）就包括f（x0）.

教師：很好.那這個(gè)最大值的定義，沒(méi)有交代x，x0的情況，你們覺得應(yīng)該怎么交代x，x0？

學(xué)生9：在定義域內(nèi)存在x0，對(duì)所有的x，都有f（x）≤f（x0）.

教師：很好，那么，最大值的定義就是：在定義域內(nèi)存在x0，對(duì)所有的x，都有f（x）≤f（x0），則f（x0）為定義域上的最大值.同理，可以得到最小值的定義.

前面通過(guò)對(duì)圖形的探究，進(jìn)一步得到最值的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力.

問(wèn)題3 如果是開區(qū)間（a，b），最值情況如何？

學(xué)生10：最小值不變，最大值取不到，沒(méi)有最大值.

問(wèn)題4 下面請(qǐng)同學(xué)們分小組交流，探討最值和極值的區(qū)別和聯(lián)系.

待討論結(jié)束，學(xué)生們各自分享探討結(jié)果.

學(xué)生11：極值是在x0附近的點(diǎn)比較函數(shù)值的大小，而最值是在整個(gè)定義域內(nèi)比較.那么，極值是一個(gè)局部的概念，而最值是整體性的概念.

學(xué)生12：定義域內(nèi)，可以有多個(gè)極大值、極小值，而只能至多有一個(gè)最大值或最小值.

學(xué)生13：極值可能是最值，最值不一定是極值.這個(gè)圖上，f（x4）是極小值，也是最小值，而f（b）是最大值，卻不是極大值.

學(xué)生14：極值只能在區(qū)間的中間取得，而最值可能是在端點(diǎn)處取得.比如，f（b）這個(gè)最大值就是端點(diǎn)值.

學(xué)生15：ymax>ymin，而極大值和極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系.

學(xué)生16：最大值不一定大于最小值，也可能相等?。〕?shù)函數(shù)最大值和最小值是相等的.

教師：很好，同學(xué)們把極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系都找到了.那你們會(huì)不會(huì)求最值？

學(xué)生17：根據(jù)圖像，比較極值和端點(diǎn)值大小，得到最值.

學(xué)生深入探討，研究極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系的過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.在學(xué)生的激烈討論中，得出了極值和最值的區(qū)別、聯(lián)系，還進(jìn)一步整合了求最值的方法.

例1 求函數(shù)f（x）=x2-4x+3在區(qū)間[-1，4]上的最大值和最小值.

學(xué)生18：這是二次函數(shù)，直接通過(guò)二次函數(shù)的圖像，即可找到最值.

學(xué)生19：這個(gè)可以求導(dǎo)，找到極小值，就是最小值，最大值要比較兩個(gè)端點(diǎn)值.

通過(guò)學(xué)生19的方法，規(guī)范學(xué)生通過(guò)數(shù)的方法求最值的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程.而這個(gè)問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單的方法就是學(xué)生18的方法，以形助數(shù)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的作用.

例2 求函數(shù)f（x）=x3-x2-x+1在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值.

教師：這個(gè)函數(shù)，你們會(huì)不會(huì)畫圖？

學(xué)生23：不會(huì)了，但可以通過(guò)數(shù)來(lái)解決.利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究這個(gè)函數(shù).

問(wèn)題5 你能嘗試畫出這個(gè)函數(shù)的圖像嗎？

學(xué)生24：不太會(huì)，我只能把幾個(gè)點(diǎn)找到.那怎么才能連起來(lái)呢？

學(xué)生25：剛才步驟中有表格啊，可以看到在每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的單調(diào)性，那就可以連起來(lái)了.

教師：很好，我們不僅得到了最值，還得到了這個(gè)三次函數(shù)的圖像，也就是依數(shù)導(dǎo)形，體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的思想方法——數(shù)形結(jié)合.

本節(jié)課可以在引入略做調(diào)整.把例1、例2先給學(xué)生做，做到例2的時(shí)候，學(xué)生會(huì)遇到困難，這個(gè)最值怎么求呢？在困惑中，教師再引導(dǎo)學(xué)生探討極值、最值兩者之間的關(guān)系.課堂效果會(huì)更好，能夠激起思維的火花.

本節(jié)課在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過(guò)程中，形成了和諧、活躍、高效的靈韻數(shù)學(xué)課堂.