潘五九， 李小彭， 王 雪， 高建卓， 李木巖， 聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

結(jié)合面接觸阻尼對(duì)模態(tài)耦合系統(tǒng)不穩(wěn)定性影響

潘五九， 李小彭， 王 雪， 高建卓， 李木巖， 聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

針對(duì)目前結(jié)合面微觀形貌對(duì)由摩擦和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)雙重引起的模態(tài)耦合系統(tǒng)不穩(wěn)定性影響的理論研究缺少，嘗試從微觀角度解釋結(jié)合面的接觸阻尼特性對(duì)宏觀系統(tǒng)的影響。對(duì)車輛制動(dòng)盤制動(dòng)工況進(jìn)行抽象綜合，給出了兩自由度系統(tǒng)的物理和數(shù)學(xué)模型，其中的接觸阻尼部分采用給出的接觸阻尼分形模型。分別闡釋了接觸阻尼比、摩擦因數(shù)、系統(tǒng)固有頻率比及它們間的耦合效應(yīng)，對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定的影響。研究方法和結(jié)果可更深入地理解結(jié)合面接觸阻尼對(duì)宏觀系統(tǒng)的影響，有一定的理論意義；同時(shí)在深入理解接觸阻尼對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定的影響下可逆向反推來(lái)加工制造合適的結(jié)合面參數(shù)(分形維數(shù)D和分形尺度系數(shù)G)。

結(jié)合面；分形理論；接觸阻尼；模態(tài)耦合；不穩(wěn)定

機(jī)械結(jié)合面間的振動(dòng)與噪聲現(xiàn)象廣泛存在于各類機(jī)械系統(tǒng)中。較典型并引起人們關(guān)注的振動(dòng)噪聲現(xiàn)象：剎車制動(dòng)系統(tǒng)中的振動(dòng)噪聲[1]及火車在曲線軌道上行駛產(chǎn)生的振動(dòng)、尖叫[2-3]。此類振動(dòng)噪聲不僅嚴(yán)重影響機(jī)械系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性，同時(shí)噪聲對(duì)人居環(huán)境也造成了污染。因此，學(xué)術(shù)界和企業(yè)界一直試圖弄清結(jié)合面上的振動(dòng)噪聲機(jī)理。對(duì)于機(jī)械結(jié)合面上的振動(dòng)噪聲產(chǎn)生的機(jī)理研究，目前來(lái)說(shuō)主要有四種典型機(jī)理。分別為黏滑理論[4]，摩擦力與相對(duì)速度負(fù)斜率機(jī)制[5]，自鎖滑動(dòng)理論[6]和更為重要的模態(tài)耦合理論[7]。

模態(tài)耦合的系統(tǒng)，往往是由于本身結(jié)構(gòu)因素或摩擦引起的系統(tǒng)矩陣不對(duì)稱，而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，進(jìn)而產(chǎn)生振動(dòng)噪聲現(xiàn)象。對(duì)于模態(tài)耦合不穩(wěn)定系統(tǒng)的研究，大多數(shù)停留在系統(tǒng)本身宏觀結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，很少涉及從結(jié)合面微觀形貌接觸建模的角度，即對(duì)結(jié)合面間接觸阻尼特性進(jìn)行準(zhǔn)確建模，來(lái)研究其對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響。

另外從機(jī)械結(jié)合面的觀點(diǎn)去研究機(jī)械系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)外的研究者已通過(guò)試驗(yàn)表明了結(jié)合面的接觸形貌確實(shí)能對(duì)系統(tǒng)的不穩(wěn)定振動(dòng)噪聲產(chǎn)生重要影響。Chen等[8]通過(guò)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的結(jié)合面試驗(yàn)研究指出，兩種不同頻率的振動(dòng)噪聲產(chǎn)生與改變相互滑動(dòng)界面的粗糙度有關(guān)。Eriksson等[9]通過(guò)試驗(yàn)表明了車輛制動(dòng)盤的表面形貌和制動(dòng)噪聲間有著重要的關(guān)系。Sherif[10]同樣對(duì)剎車盤間的結(jié)合面形貌與不穩(wěn)定系統(tǒng)噪聲產(chǎn)生間的關(guān)系進(jìn)行了闡釋。Eadie等[11]通過(guò)分析，對(duì)車輪和車軌間的結(jié)合面形貌進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ば拚?，或可減小結(jié)合面間的噪聲。李小彭等[12]考慮了組合梁結(jié)合面的非線性特性并對(duì)其進(jìn)行預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析，試驗(yàn)表明了結(jié)合面特性對(duì)梁各階振動(dòng)頻率有影響；并針對(duì)機(jī)床刀具切削顫振現(xiàn)象[13]，建立了切削結(jié)合面上含Stribeck摩擦模型的單自由度自激振動(dòng)系統(tǒng)，研究了宏觀結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定分岔特性的影響。

鑒于以上文獻(xiàn)很多從試驗(yàn)角度表明機(jī)械結(jié)合面的微觀接觸形貌對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定與否(系統(tǒng)若不穩(wěn)定則表現(xiàn)為產(chǎn)生振動(dòng)噪聲現(xiàn)象)有著非常重要的影響，而接觸形貌對(duì)系統(tǒng)的影響本質(zhì)上又主要表現(xiàn)為結(jié)合面的接觸阻尼和接觸剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響；且文獻(xiàn)中幾乎未涉及到從微觀接觸理論角度，即基于分形理論對(duì)模態(tài)耦合系統(tǒng)的結(jié)合面接觸阻尼建模，而后分析接觸阻尼對(duì)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性影響。因此本文的研究目標(biāo)是從理論上深入地闡釋結(jié)合面接觸阻尼比、摩擦因數(shù)、及接觸阻尼比與摩擦因數(shù)、系統(tǒng)固有頻率比間相互耦合對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定的影響。

1 模型建立

為了研究結(jié)合面接觸阻尼對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定性的影響，基于一剎車制動(dòng)盤抽象出的典型模態(tài)耦合模型，改進(jìn)并建立了考慮微觀接觸形貌特性對(duì)宏觀系統(tǒng)影響的兩自由度干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 兩自由度模型

圖1中k1和k2各自表示系統(tǒng)的兩根線性彈簧剛度系數(shù)；傾角α1和α2的范圍均屬于[0°,180°]；m表示集中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；質(zhì)量m和移動(dòng)的水平面間的接觸面構(gòu)成兩基體的結(jié)合面，其間的法向和切向接觸剛度分別為kn和kt；Cn和Ct分別表示結(jié)合面的法向和切向阻尼；點(diǎn)O表示接觸點(diǎn)；摩擦因數(shù)表示為μ；移動(dòng)平面速度為ν；施加向下的法向力Fn，以使得質(zhì)點(diǎn)m和移動(dòng)平面在點(diǎn)O處始終處于接觸狀態(tài)；Ff表示點(diǎn)O處的摩擦力。

圖1中兩基體結(jié)合面接觸部分的切向接觸阻尼(Ct)和法向接觸阻尼 (Cn)是基于分形接觸理論建立的。對(duì)于基于分形理論的結(jié)合面接觸阻尼建模已有較多學(xué)者做過(guò)很多有價(jià)值的研究，如張學(xué)良等[14-15]基于MB分形修正模型給出了切向和法向接觸阻尼模型；田紅亮等[16-17]基于修正幾何分形理論和赫茲接觸理論，給出了法向接觸阻尼模型；從考慮摩擦因素影響的角度也同樣建立了切向[18]和法向[19]接觸阻尼模型。較為準(zhǔn)確的結(jié)合面接觸阻尼建模，不僅為理論上建立完善的振動(dòng)模型提供依據(jù)，同時(shí)為工程上逆向設(shè)計(jì)和制造合理的結(jié)合面接觸形貌(分形維數(shù)D和分形尺度系數(shù)G)來(lái)減小振動(dòng)噪聲提供參考。

由于本文的重點(diǎn)是分析結(jié)合面接觸阻尼特性對(duì)模態(tài)耦合不穩(wěn)定系統(tǒng)的影響,對(duì)于前期的切向、法向接觸阻尼建模部分已完成,有興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[18-19]。現(xiàn)直接給出其最終公式。

結(jié)合面切向接觸阻尼為

(1)

結(jié)合面法向接觸阻尼為

(2)

式中：k定義為k=H/σy；H表示材料硬度；σy表示材料屈服強(qiáng)度；φ=σy/E；ac表示微凸體臨界接觸面積；Cc為臨界阻尼系數(shù)可由振動(dòng)測(cè)試獲得；其它未注參數(shù)同上。

由式(1)和式(2)知，決定結(jié)合面形貌有兩個(gè)最重要的表征參數(shù)，即分形維數(shù)D和分形尺度系數(shù)G。D越大表示結(jié)合面形貌越光滑，G越大表示結(jié)合面形貌越粗糙。

那么根據(jù)圖1所示系統(tǒng)及給出的切向、法向接觸阻尼模型，可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

式中：

K11=k1cos2α1+k2cos2α2+kt；

K12=K21=k1sinα1cosα1+k2sinα2cosα2；

K22=k1sin2α1+k2sin2α2+kn。

Ff為結(jié)合面處的摩擦力，可由完整的庫(kù)倫摩擦模型表示為

(4)

(5)

以靜平衡點(diǎn)作為新的坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)x′=x-x0,y′=y-y0，代入式(3)為

(6)

2 接觸阻尼對(duì)模態(tài)耦合不穩(wěn)定系統(tǒng)的影響

至此將詳細(xì)研究結(jié)合面接觸阻尼對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定特性的影響。以期能在所給的兩自由度模態(tài)耦合系統(tǒng)中捕獲更多由接觸參數(shù)引起的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為，從而為更深入地闡釋接觸阻尼對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定性演變歷程的影響。

2.1結(jié)合面接觸阻尼比ξ的影響

取參數(shù)時(shí)會(huì)確定結(jié)合面法向接觸剛度值及其切向與法向的剛度比，來(lái)研究接觸阻尼比對(duì)系統(tǒng)的影響。取m=1 kg，ω1=2 000πrad/s，ω2=1 500πrad/s，α1=180°，α2=135°，Kn=4×108N/m，切向與法向剛度比κ=0.6，Cn=30πN·s/m，以接觸阻尼比ξ(切向接觸阻尼與法向接觸阻尼的比值)分別取0.3，0.6和1時(shí)，來(lái)研究結(jié)合面接觸阻尼比ξ對(duì)系統(tǒng)的影響，如圖2所示。由圖2(a)知，兩個(gè)單獨(dú)分開(kāi)的模態(tài)頻率隨著摩擦因數(shù)μ的增大，而逐漸接近，然后合并變成耦合模態(tài)。當(dāng)阻尼比為0.3和0.6時(shí)，其模態(tài)呈現(xiàn)出不完美合并[20]。合并所對(duì)應(yīng)的臨界摩擦因數(shù)點(diǎn)μ0(超過(guò)μ0點(diǎn)系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定，進(jìn)而可能引發(fā)噪聲現(xiàn)象)對(duì)應(yīng)于圖2(b)中的Hopf分岔點(diǎn)，這點(diǎn)過(guò)后隨著摩擦因數(shù)的增大，圖中系統(tǒng)特征值實(shí)部大于0的部分表示系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。將臨界摩擦因數(shù)μ0看作控制參數(shù)，綜合圖2(a)和(b)知，隨著結(jié)合面阻尼比的增大(此處確定了法向接觸阻尼，即切向接觸阻尼在增大；那么由式(1)內(nèi)D，G參數(shù)的數(shù)值仿真知，對(duì)應(yīng)結(jié)合面在較小的分形維數(shù)D和較大的分形尺度系數(shù)G時(shí)，得結(jié)合面阻尼比較大)，Hopf分岔點(diǎn)逐漸延后。

(a) 摩擦因數(shù)與特征頻率

(b) 摩擦因數(shù)與特征實(shí)部

Fig.2 The relationship between the coefficient of friction and the frequency, real part under different contact damping ratio

2.2結(jié)合面接觸阻尼比ξ和摩擦因數(shù)μ的耦合影響

取參數(shù)同2.1節(jié)，并依據(jù)方程(6)的齊次形式，來(lái)分析接觸阻尼比和摩擦因數(shù)共同耦合下對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定性的影響。如圖3所示。圖3(a)、(c)和圖3(b)、(d)分別表示系統(tǒng)特征實(shí)部和特征頻率相對(duì)于摩擦因數(shù)，結(jié)合面阻尼比的變化規(guī)律圖。其中圖3(c)、(d)的法向接觸阻尼為圖3(a)、(b)的5倍。圖3(a)、(c)的三維特征實(shí)部圖中，實(shí)部大于0的部分為不穩(wěn)定區(qū)域(反之為穩(wěn)定區(qū)域)，它的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率將表現(xiàn)為隨時(shí)間成指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)；不穩(wěn)定增長(zhǎng)區(qū)對(duì)應(yīng)于特征頻率圖的模態(tài)頻率合并區(qū)。由圖3(b)、(d)看出，兩層分開(kāi)的系統(tǒng)固有頻率中下面一層是一階固有頻率，上面一層是二階固有頻率，且隨著摩擦因數(shù)和結(jié)合面接觸阻尼比的增大，兩層逐漸靠近后合并，其中(d)表現(xiàn)為不完美合并[20]。增大法向阻尼不僅會(huì)減小Hopf分岔點(diǎn)的臨界μ0值，而且會(huì)加大不完美合并趨勢(shì)。模態(tài)頻率隨著摩擦因數(shù)和結(jié)合面阻尼比(在一定的法向阻尼下，即切向阻尼增大)的增大，呈現(xiàn)出由不完美合并至完全合并的趨勢(shì)。

(a) 摩擦因數(shù)，阻尼比與

(b) 摩擦因數(shù)，阻尼比

(c) 摩擦因數(shù)，阻尼比與

(d) 摩擦因數(shù)，阻尼比與

2.3結(jié)合面接觸阻尼比ξ和系統(tǒng)固有頻率ω的耦合影響

依據(jù)方程(6)的齊次形式，考慮接觸阻尼比和系統(tǒng)固有頻率的耦合效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)在不同摩擦因數(shù)和法向接觸阻尼下的影響。圖4和圖5是系統(tǒng)特征值實(shí)部和虛部分別相對(duì)于結(jié)合面阻尼比和固有頻率比ω=ω1/ω2在可變摩擦因數(shù)和法向阻尼下的變化關(guān)系，其中圖4(c)和圖5(c)中的法向阻尼取為圖4(a)、 (b) 和(d)，圖5(a)、 (b) 和(d)的10倍，來(lái)研究結(jié)合面法向阻尼增大所帶來(lái)系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)的變化。由圖4(a)、(b)和(d)可知，當(dāng)結(jié)合面法向阻尼保持Cn=30πN·s/m不變時(shí)，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域隨著摩擦因數(shù)的增大而增大。圖4(a)和(c)知，當(dāng)摩擦因數(shù)和法向阻尼均增大時(shí)，不穩(wěn)定區(qū)域同樣增大。圖4(b)和(c)知，保持摩擦因數(shù)不變,單純?cè)龃蠓ㄏ蜃枘嵋矔?huì)增大不穩(wěn)定區(qū)和造成不完美合并。從圖4的四副圖中也闡明了由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的固有頻率比和由微觀接觸形貌特性決定的結(jié)合面接觸阻尼比的關(guān)系，即確定結(jié)合面阻尼比，較小的系統(tǒng)固有頻率比下系統(tǒng)易于出現(xiàn)不穩(wěn)定。以上這些變化過(guò)程充分說(shuō)明了系統(tǒng)特征實(shí)部相對(duì)于結(jié)合面阻尼比和固有頻率比在可變摩擦因數(shù)和法向阻尼條件下，有著多樣的演變歷程。圖5是一一對(duì)應(yīng)于圖4的系統(tǒng)頻率變化情況。從圖5知，確定阻尼比，較小的固有頻率下即可得耦合頻率；而且圖5的四副圖中系統(tǒng)的耦合頻率隨著固有頻率比和接觸阻尼比的增大(即結(jié)合面具較小的分形維數(shù)D和較大的分形尺度系數(shù)G下)而增大。

(a) μ=0.2,Cn=30πN·s/m

(b) μ=0.5,Cn=30πN·s/m

(c) μ=0.5，10倍Cn

(d) μ=0.8,Cn=30πN·s/m

綜上知，兩個(gè)相互接觸物體的結(jié)合面間不同接觸阻尼狀態(tài)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，若系統(tǒng)不穩(wěn)定進(jìn)而可能會(huì)引起振動(dòng)噪聲等問(wèn)題的出現(xiàn)。這和文獻(xiàn)[8]試驗(yàn)中改變相互滑動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)合面后的相關(guān)現(xiàn)象相對(duì)應(yīng)。因此，兩物體間的結(jié)合面形貌特性需予以特別的加工制造，進(jìn)而根據(jù)前文給出的接觸阻尼模型得到恰當(dāng)?shù)慕佑|阻尼，這樣或可以減小由不恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合面形貌而帶來(lái)的不穩(wěn)定噪聲。當(dāng)然對(duì)于文中的此種重要的模態(tài)耦合不穩(wěn)定振動(dòng)噪聲機(jī)制在結(jié)合面接觸阻尼下的影響關(guān)系還需要更加細(xì)致地加以分析研究，還需從試驗(yàn)和理論上不斷加以完善。

(a) μ=0.2,Cn=30πN·s/m

(b) μ=0.5,Cn=30πN·s/m

(c) μ=0.5，10倍Cn

(d) μ=0.8,Cn=30πN·s/m

3 結(jié) 論

(1) 證明區(qū)分系統(tǒng)穩(wěn)定和不穩(wěn)定的Hopf分岔點(diǎn)與接觸阻尼密切相關(guān)。隨著結(jié)合面阻尼比的增大，即對(duì)應(yīng)結(jié)合面在較小的分形維數(shù)D和較大的分形尺度系數(shù)G時(shí)，Hopf分岔點(diǎn)逐漸延后。

(2) 系統(tǒng)一，二階頻率隨摩擦因數(shù)和結(jié)合面接觸阻尼比的增大，而逐漸合并，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定；單純?cè)龃蠡蛲瑫r(shí)增大摩擦因數(shù)、法向阻尼可使系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)增大；一定的結(jié)合面阻尼比，較小的系統(tǒng)固有頻率比下系統(tǒng)易于出現(xiàn)不穩(wěn)定；耦合頻率隨著固有頻率比和接觸阻尼比的增大(即在較小的分形維數(shù)D和較大的分形尺度系數(shù)G下)而增大。

(3) 基于分形理論給出切向、法向接觸阻尼模型，并從結(jié)合面微觀接觸角度，來(lái)分析接觸阻尼對(duì)宏觀系統(tǒng)不穩(wěn)定性的影響，以此來(lái)解釋宏觀系統(tǒng)相應(yīng)的不穩(wěn)定振動(dòng)噪聲現(xiàn)象是可行的。

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Effectsofcontactdampingofjointsurfacesoninstabilityofamode-coupledsystem

PAN Wujiu, LI Xiaopeng, WANG Xue, GAO Jianzhuo, LI Muyan, WEN Bangchun

(School of Mechanical Engineering &Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Aiming at lacks of theoretical study on joint surface morphology characteristics affecting the stability of a mode-coupled system caused by friction and its structure, influences of contact damping on the macro system were studied and explained from the micro-aspect. Firstly, the mathematical and physical model of a 2-DOF system was given based on the background of the vehicle brake disc where the contact damping part was described with the known contact damping fractal model. Then, influences of contact damping ratio, friction coefficient, system natural frequency ratio and their coupling effects on the instability of the system were analyzed, respectively. Finally, it was shown that the study method and results can promote more deeply understanding effects of contact damping of joint surfaces on the macro system, these effects have a certain theoretical significance; at the same time, deeply understanding the effects of contact damping on the system instability can also promote inversely deriving appropriate parameters of joint surfaces (fractal dimensionDand fractal scale coefficientG) for manufacturing.

joint surfaces; fractal theory; contact damping; mode-coupled; instability

國(guó)家自然科學(xué)基金(51275079；51575091)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項(xiàng)資金資助(N160306003)

2016-04-21 修改稿收到日期：2016-06-15

潘五九 男，博士生，1986年生

李小彭 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1976年生

TH113

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.003