崔玉濤++杜海瑞++張浩偉

摘要：在一個不能二次加熱的普通浴缸中泡澡，過不久，浴水就會明顯地變涼，所以需要將熱水從水龍頭注入，以加熱洗浴水。

我們利用牛頓冷卻定律和能量守恒建立了熱傳輸模型，并確定了間歇性加水的策略，使浴水溫度在一個使人感到舒適的范圍內浮動，所以模型分為冷卻階段和加熱階段。在冷卻階段，本文根據牛頓冷卻定律得出了冷卻時間為420s；在加熱階段，取進水口單位時間熱水流量為0.33L/s，解出加熱時間91.68s，加熱一次浪費水30.26L。根據洗澡總時間，即可確定加水次數和浪費的水的總量。

利用控制變量法，我們依次分析了浴缸的形狀、體積和浴缸中人的體積、運動狀態(tài)等因素對本文所采取的策略的影響，得出結果為：我們所采用的策略既不依賴于浴缸的形狀和體積，也不依賴于人的體積、運動狀態(tài)等因素。

本模型還可以應用于其他需要保持恒溫的能量系統(tǒng)，例如恒溫游泳池等。

關鍵詞：熱傳導；牛頓冷卻定律；能量守恒；熱傳輸模型

一、問題背景與概述

有人在一個不能二次加熱的普通浴缸中洗澡，過不久，洗澡水就會明顯地變涼，所以這個人需要將熱水從水龍頭注入，以加熱洗浴水。第一，要求考慮時間、空間等因素，建立一個浴缸的水溫模型，使浴缸中的水保持或接近開始的溫度，同時不浪費太多的水。第二，當浴缸的形狀、體積和浴缸中人的體積、溫度、運動狀態(tài)改變的時候，確定你的模型能在多大程度上適應這些因素的改變。

二、模型假設

（一）全局假設。

1.假設浴缸可以看作一個壁厚為零長方體。

2.假設浴缸中的水溫分布是均勻的，不存在對流。

3.假設浴缸與浴缸中的水沒有熱量交換。

4.假設室溫恒定不變，保持在22℃。

（二）問題一的假設。

1.假設浴缸中的水與人沒有熱量交換。

2.假設加入的熱水降溫到Ta后會全部留在浴缸中

三、模型的建立與求解

（一）問題一模型的建立與求解。

1.模型的準備。為簡化和規(guī)范說明問題，對問題一中的部分理論與參數進行解釋：

（1）牛頓冷卻定律[3]：當熱源與周圍媒質的溫度差不太大（約50℃以下）時，熱源向周圍傳遞的熱量是與溫度差成正比的，其經驗公式就是牛頓冷卻定律：

式中T0為環(huán)境溫度，T為熱源溫度，A為與熱源接觸的表面積，h是一個與傳熱方式有關的常數，稱熱適應系數。

（2）單位時間、單位面積熱輻射散熱通量[4]為：

其中：T*=T+273，T為水的溫度，單位為℃；ε為水面發(fā)射系數，一般取0.56；

σ為玻耳茲曼常數，一般取5.6 *10-8。

（3）單位時間、單位面積蒸發(fā)散熱通量[5]：

2.模型的建立。我們根據能量守恒及牛頓冷卻定律等熱力學相關定律建立熱傳輸模型，整個模型可以分為兩個階段，即冷卻階段和加熱階段。

（1）冷卻階段。在整個熱傳輸過程中，蒸發(fā)、對流和熱輻射都屬于自然對流現象，將其綜合到一起考慮。根據我們的參數設定，水溫和空氣溫度相差最大時為16℃，滿足牛頓冷卻定律應用的溫度限制。牛頓冷卻定律認為單位時間從單位面積散失的熱量與溫度差成正比，整體的冷卻過程就可以用下面的式子來描述（所有表達式中的單位均為國際標準單位）：

Ta表示浴缸中的初始溫度，T0表示空氣溫度，k為冷卻系數，由3.1.1與3.1.5可得冷卻過程中浴缸中的水溫隨時間的變化關系如下：

（2）加熱階段。在第二階段即加熱階段，我們根據能量守恒定律，建立進出浴缸的能量恒等式：

其中Qin為注入的熱水給浴缸中較涼的水帶來的熱量，Qz表示浴缸中的水因蒸發(fā)損失的熱量，Qf表示熱輻射損失的熱量，Ql表示浴缸中的水從使人體感到舒適的溫度下限上升到溫度上限所需要的熱量，Qc表示流出浴缸的水帶走的熱量。

計算Qin時可把浴缸中冷卻后的水的熱量視為零，通過比熱容公式表示如下：

其中Cp表示水的比熱容，ρ表示水的溫度，u表示熱水的流速，Th為注入浴缸中的熱水溫度，Tb為浴缸中的水在冷卻過程中的平均溫度。

Qc為時間t內流出水帶走的熱量，同樣使用比熱容公式計算，其體積與流速與所加入熱水的體積與流速相等。由于流出的水的溫度時刻在變化，為方便計算，假設流出水的溫度均為Ta，即人體感到舒適的上限溫度。給出計算公式：

綜合以上五個熱量表達式， 得到：

（3.1.7）

到這里問題一的模型已經建立了，能量守恒定律保證了水溫的變化區(qū)間在人感到舒適的范圍內，同時我們將在模型的求解中根據V與u、t的關系確定單位時間水流量的大小與所浪費的水量的關系，進而確定出最佳的進水速度，達到盡量減少水的浪費的目的。

3.模型的求解。

（1）冷卻階段。將表1中參數的取值代入式3.1.6，得到在冷卻過程中，浴水溫度與時間的關系：

（3.1.8）

畫出浴水溫度隨時間的變化曲線如下圖所示：

浴水的初始（t=0時）溫度為38℃，當浴水溫度降低到設定的最低溫度37.5℃時，t=7min。這時，冷卻階段結束，立即打開進水閥門，開始注入熱水，進入加熱階段。

（2）加熱階段

將表1中參數的取值代入到是3.1.9中，化簡得到熱水流速與注水時間的關系式：

畫出熱水流速隨注水時間變化的曲線圖3.1.2.

由圖可知熱水流速與注水時間呈反比關系，即當設定的注水時間較長的時候，注水流速相對較低，為了更好地設定注水時間及注水速度我們作出浪費的水量與注水時間的圖像3.1.3如下：

由圖3.1.3可以看出，浪費的水量與注水時間成線性關系，注水時間越短，浪費的水量越小，但是由圖3.1.2可知：注水時間短也就意味著單位時間的熱水流量大，理論上單位時間熱水流量達到無窮大，而注水時間達到任意短時，浪費的水體積最小，但是考慮現實因素明顯無法達到該條件，我們通過查閱有關水龍頭流量的GB18145，得到浴缸水龍頭的單位時間最大流量為0.33L/s。根據以上分析，我們決定將題中單位時間的熱水流量定為0.33L/s，由式5.1.13解得每次的注水時間t為91.68s，再由式3.1.10得到一次加熱浪費的水量為30.26L。這樣冷卻和加水過程就構成一個加水周期，其中冷卻時間為420s，加水時間為91.68s，整個周期的長度為511.68s，根據洗浴時間的長短可以確定周期的個數。比如一個人洗浴20分鐘，則包含的加水周期個數為2.34，浪費的水量為60.52L。

4.結果分析。熱傳輸模型首先控制了浴缸中水的溫度在37.5℃-38℃之間，通過間歇性加水的策略，達成了問題一中使浴缸中的水溫盡量保持或接近開始的溫度的要求，最終給出的結果是一個加水周期（包含冷卻階段和加熱階段）的長度和一個加水周期浪費的水量，根據洗澡時間的長短可以很快地算出在本文給出的條件下浪費的最少水量。

（二）問題二模型的建立與求解。

1.模型的準備。問題二要求我們考慮問題一中所采用的策略對多種因素的依賴程度，我們認為應當在問題一建立的熱傳輸模型的基礎上利用控制變量法來對問題中要求考慮的因素進行一一研究。

2.模型的建立。沿用問題一中的熱傳輸模型，得到浪費的水量與熱水流速與注水時間的關系：

（3.2.1）

3.模型的求解。

（1）對浴缸上表面積的依賴程度。

要研究我們的策略對浴缸上表面積的影響，就要固定除了上表面積之外的所有因素，把上表面積作為一個單一變量來研究，首先通過合并化簡式3.2.1得到浪費的水量P與浴缸上表面積A及注水時間t的關系：

對于體積固定的浴缸，我們作出幾種不同的上表面積對應的浪費水量與注水時間的關系如圖5.2.1所示。我們可以看出，隨著同體積浴缸上表面積的增大，其蒸發(fā)散熱速率增大，相應地，在注水時間相同的情況下，出水口熱水流量就要更大，因而要浪費更多的水，但是，不論其上表面積是大是小，所浪費的水量與注水時間之間的線性關系沒有變，注水時間與熱水流量之間的反比例關系也沒有變，所變化的只是在不同表面積下所能達到的最小浪費量，所以說浴缸上表面積的大小并不影響我們盡可能快地注水的策略，即我們的策略不依賴于浴缸的上表面積。

（2）對浴缸體積的依賴程度。

要研究我們的策略對浴缸體積的影響，就要固定除了體積之外的所有因素，把體積作為一個單一變量來研究，首先通過合并化簡式3.2.1得到浪費的水量P與浴缸體積V及注水時間t的關系：

對于表面積固定的浴缸，同時畫出不同體積浴缸對應的所浪費的水量與注水時間的圖像如下：

從圖3.2.2容易看出：相同表面積的情況下，浴缸的體積越大，所浪費的水越多。與對表面積的依賴程度的情況相同，所浪費的水量與注水時間的線性關系以及注水時間與熱水流速的反比例關系都沒有變化，所以，我們的策略仍然是盡可能快地加水，浴缸的體積并未對我們的策略造成影響，也即我們的策略不依賴于浴缸的體積。

4.結果分析。問題二中要考慮我們在問題一中采取的策略對浴缸的形狀、體積和浴缸中人的體積、溫度、運動狀態(tài)等因素的依賴程度。然而在求解過程中我們通過簡單的分析發(fā)現：我們所采用的策略不依賴于浴缸的形狀、體積，也不依賴于浴缸中人的體積、溫度、運動狀態(tài)等因素，具有較為良好的適應性。

四、模型的評價與改進

（一）模型的評價。

1.模型的優(yōu)點。

（1）通過牛頓冷卻定律和能量守恒方程建立了熱傳輸模型，基本實現了把溫度控制在一個令人感到舒適的范圍，并盡可能減少了因維持溫度而浪費的水量。

（2）采用間歇性加熱水的策略使得解出的結果具有較強的可操作性。

（3）模型簡單易理解，實用性較強

2.模型的缺點。

（1）未考慮浴缸中的水與人體的熱量交換。

（2）也未考慮浴缸與水的熱量交換，可能造成了計算結果精度下降。

（二）模型的改進與推廣。

我們的模型還有許多需要完善的地方，例如可以將人與水及浴缸與水的熱量交換考慮進去，想辦法將人體吸收的能量量化、將浴缸的散失熱量量化。

本模型還可以應用于其他需要保持恒溫的能量系統(tǒng)，例如恒溫游泳池等。

參考文獻

[1]人在洗浴時感到舒適的水溫http：//baike.baidu.com/view/560407.htm#1_2

[2]成人的正常體溫 http：//muzhi.baidu.com/question/439518580.html

[3]劉志華，劉瑞金. 牛頓冷卻定律的冷卻規(guī)律研究[J]. 山東理工大學學報：自然科學版，2005，19（6）：23-27.

[4]毛世民.水面蒸發(fā)散熱系數計算的改進[J].水資源保護，1990，1：13-17

[5]陳惠泉，毛世民.水面蒸發(fā)系數全國通用公式的驗證[J].水科學進展，1995，6（2）：116-120

[6]陳秀榮，陳建毅，修宗湖.恒溫洗浴熱水添加策略研究[J] .數學建模及其應用，2016，5（2）：25-35.