余華

（宜都市水利水電勘測設(shè)計院，湖北宜都443300）

受迫振動的隨機(jī)響應(yīng)在重力壩抗震中的應(yīng)用

余華

（宜都市水利水電勘測設(shè)計院，湖北宜都443300）

文中為解決地震過程中重力壩的安全性問題，將隨機(jī)微分方程理論引入到線性單自由度系統(tǒng)受迫振動的隨機(jī)響應(yīng)計算當(dāng)中，提取質(zhì)體初始位移和外界激勵為隨機(jī)變量，建立了基于受迫振動微分方程的隨機(jī)微分方程模型，證明了其解過程為馬爾可夫過程，并根據(jù)Fokker-Planck方程求解過程一階聯(lián)合概率密度。最后用實(shí)例驗(yàn)證了其方法在重力壩抗震中的有效性及可行性。

線性；單自由度；受迫振動；隨機(jī)響應(yīng)；重力壩抗震

0 引言

如何提高大壩工程結(jié)構(gòu)抗震能力，在國內(nèi)外一直被作為研究重點(diǎn)。任意結(jié)構(gòu)體在外力作用下會產(chǎn)生不同程度的響應(yīng)，結(jié)構(gòu)體對地震沖擊荷載的響應(yīng)可以看作吸收外界能量的過程，這種“消化”能力決定了結(jié)構(gòu)體對抗地震的能力。結(jié)構(gòu)體吸收的能量分別在宏觀運(yùn)動和微觀結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生作用，而在微觀結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生變化的一種表現(xiàn)就是應(yīng)力—應(yīng)變效應(yīng)，甚至更嚴(yán)重會產(chǎn)生塑性變形。地震沖擊荷載對結(jié)構(gòu)體的影響是結(jié)構(gòu)體在荷載作用下表現(xiàn)出來的綜合彈塑性特征，將結(jié)構(gòu)體看作一個具有某種阻尼特征和彈性特征的彈塑性系統(tǒng)，來宏觀研究結(jié)構(gòu)體對沖擊荷載的響應(yīng)就顯得非常重要。

單自由度彈簧—質(zhì)體體系的解可以很容易地沿用到分析彈塑性體系特征問題中[1，2]，幫助了解結(jié)構(gòu)體的彈塑性特征。一般微分方程解法不考慮隨機(jī)因素，而實(shí)際情況相較之下更為復(fù)雜，隨機(jī)變化更多。因此，本文在概率論和隨機(jī)微分方程的基礎(chǔ)上，對單自由度彈簧體系，即線性單自由度系統(tǒng)，綜合各種隨機(jī)變量、隨機(jī)過程以及隨機(jī)初始條件進(jìn)行最終隨機(jī)響應(yīng)的數(shù)學(xué)描述和分析，并用小例子驗(yàn)證了其方法在重力壩抗震中的可行性。為將來進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)體的彈塑性特征，提高大壩

工程結(jié)構(gòu)抗震能力打下基礎(chǔ)。

1 隨機(jī)微分方程的建立

根據(jù)牛頓定律，對彈簧—質(zhì)體體系進(jìn)行受力分析，有阻尼線性單自由度受迫振動微分方程式如下所示：

上述式中，m為質(zhì)體質(zhì)量；c為粘性阻尼系數(shù)；k為彈簧的剛度系數(shù)；Y(t)為系統(tǒng)任意時刻受到的外部激勵。上述各變量以及函數(shù)在微分方程解法中均代表確定性變量，對現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜隨機(jī)情況不能完全考察，最終求得的解只能是確定性情況下的質(zhì)體位移函數(shù)X(t)。

為了能夠更全面地考察包含各種不確定因素的系統(tǒng)響應(yīng)特性，現(xiàn)對系統(tǒng)中含有的隨機(jī)特性進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)對系統(tǒng)有影響的隨機(jī)過程為：

1）激勵函數(shù)：系統(tǒng)所受到的外界激勵是隨機(jī)的，如：強(qiáng)迫振動、隨機(jī)振動、自激振動和參數(shù)振動等等，這種所受激勵的不確定會引起系統(tǒng)響應(yīng)的不確定性。

2）質(zhì)體初始位移：質(zhì)體初始位置存在不確定性，并且對系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)有較大影響。

在對地震的研究中，白噪聲模型、金井清模型和馬爾可夫過濾有色噪聲模型是地震動分析的常用模型[3]，最早用來模擬地震地面運(yùn)動的隨機(jī)過程模型為理想白噪聲模型[4—6]，可見研究白噪聲模型對地震研究有重要意義，因此本文著重研究白噪聲激勵下的結(jié)構(gòu)體。

在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動中，一般來說線性體系在白噪聲或過濾白噪聲干擾下的運(yùn)動方程通過變量代換能夠化成隨機(jī)微分方程，如下所示：

2 隨機(jī)響應(yīng)的概率分布

將上述得出的方程寫成積分方程的形式，如下所示：

式中，第一個積分是均方積分，第二個積分是伊藤積分。

當(dāng)

由積分方程的逐次逼近法，方程的解∞∞??

式中，a=|A|。其中，p（X,t）初始條件和邊界條件分別為：

3 實(shí)例驗(yàn)證

依托某重力壩開展實(shí)例驗(yàn)證，當(dāng)發(fā)生地震時，其水庫水位為91.75 m。在壩基面施加地震加速時程，使大壩直接震動，采用逐步積分法對大壩反應(yīng)求解，選用混凝土損傷塑性材料模型，考慮水平和豎向地震作用，水平向地震峰值加速度為0.474g，豎直向地震峰值加速度為0.312g，阻尼比為5%，重力壩第一階振型圓頻率18.865 rad/s。瑞麗阻尼系數(shù)β=2ξ1/ω1=0.005 929 ，分析結(jié)構(gòu)的破壞情況?；谏鲜龇椒?，根據(jù)典型的有限元計算分析過程步驟（定義參數(shù)，創(chuàng)建幾何模型，劃分網(wǎng)格，加載數(shù)據(jù)，求解，結(jié)果分析）進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。計算結(jié)果見圖1～圖4。

根據(jù)計算可知，壩基面的絕對位移就是地震輸入，壩頂絕對位移相對壩基面絕對位移有上下波動，波動即壩頂?shù)南鄬ξ灰?，壩頂絕對位移減去壩基面絕對位移就可以得到壩頂?shù)南鄬ξ灰茣r程曲線。在地震作用下，大壩的損傷演化過程變化規(guī)律。大壩最先從壩踵和下游面折坡處發(fā)生損傷并向上游擴(kuò)展，同時壩上游面也出現(xiàn)了損傷，上下游損傷區(qū)逐漸向壩體內(nèi)部擴(kuò)展，最終在壩體內(nèi)部交匯形成貫穿性裂縫。

圖1 壩頂相對位移時程曲線比較

圖2 均值隨時間變化曲線

圖3 標(biāo)準(zhǔn)差隨時間變化曲線

圖4 第4 s，8 s和10 s的概率密度曲線

由圖2和圖3可知，均值、標(biāo)準(zhǔn)差隨時間變化曲線的波動情況均滿足精度要求；圖4中根據(jù)隨機(jī)選取的第4 s、第8 s和第10 s3個時刻計算結(jié)果繪制了其演化過程的概率密度曲線?；诰€性單自由度系統(tǒng)受迫振動隨機(jī)響應(yīng)理論方法，通過概率密度演化模擬地震動過程，展示了重力壩的隨機(jī)地震反應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了重力壩抗震可靠度的精細(xì)化分析。

4 結(jié)語

基于概率論和隨機(jī)微分方程，對線性單自由度系統(tǒng)受迫振動的微分方程進(jìn)行變量代換，建立了其隨機(jī)微分方程模型，在模型中將質(zhì)體初始位移、外界的激勵函數(shù)列為隨機(jī)過程。在證明解過程為根據(jù)馬爾可夫過程后，根據(jù)其性質(zhì)得到解過程一階聯(lián)合概率密度所滿足的Fokker-Planck方程。通過綜合各種隨機(jī)變量、隨機(jī)過程以及隨機(jī)初始條件進(jìn)行最終隨機(jī)響應(yīng)的數(shù)學(xué)描述和分析，最后用實(shí)例進(jìn)行了計算。得出如下結(jié)論：

1）實(shí)例驗(yàn)證了線性單自由度系統(tǒng)受迫振動隨機(jī)響應(yīng)在重力壩抗震中的可行性以及合理性，并結(jié)合概率密度演化方法進(jìn)行了重力壩可靠度計算。

2）在進(jìn)一步的研究當(dāng)中，需要論證隨機(jī)微分方程得到概率分布的科學(xué)性，并且和原微分方程通過傳統(tǒng)解法得到的概率分布進(jìn)行實(shí)例比較，還可開展對非線性多自由度系統(tǒng)等復(fù)雜因素在抗震中可行性的應(yīng)用研究。

［1］崔揚(yáng)，周豐峻，張偉.用Laplace法求單自由度線性系統(tǒng)動載下的響應(yīng)［J］.山西建筑，2006（14）：4—5.

［2］李霞，張東興，王維新，崔濤，湯明軍.受迫振動深松機(jī)性能參數(shù)優(yōu)化與試驗(yàn)［J］.農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2015（21）：17—24.

［3］李鴻晶，孫廣俊.結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)地震反應(yīng)時域分析:方法［J］.震工程與工程振動，2005（04）：31—36.

［4］賴明，葉天義，李英民.地震動的雙重過濾白噪聲模型［J］.土木工程學(xué)報，1995（06）：60—66.

［5］姜樹海.隨機(jī)微分方程在泄洪風(fēng)險分析中的運(yùn)用［J］.水利學(xué)報，1994（03）：1—9.

［6］張炳根，趙玉芝.科學(xué)與工程中的隨機(jī)微分方程［M］.北京：海洋出版社，1980.

TV642.3；TV697.2+4

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