陸洋

摘 要：在中學數(shù)學教學中，分類討論的重要性十分突出。要提高學生對分類討論的重視，弄清楚引起分類的原因、明確分類討論的標準、遵循分類討論的步驟、掌握分類討論的方法。分類討論是解決數(shù)學問題的一種策略，也是訓(xùn)練學生思維方法、培養(yǎng)思維能力的重要手段。

關(guān)鍵詞：分類討論；重合面積；例題

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

數(shù)學學科十分重視不同解題思路和方法的探究和運用，根據(jù)不同題目的類型，采取最為合適的解題方法，同時探究其他解題思路，這有助于學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。分類討論思想在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用就驗證了這一種教學思路的滲透。

翻閱蘇州各市區(qū)近幾年一模卷和蘇州市中考卷，發(fā)現(xiàn)那些開放性、探索性較強的試題往往會作為壓軸題，而學生往往失分嚴重，究其原因，是由于考生邏輯推理能力不強，分類討論思想缺失，或者解題不嚴密所致，因此訓(xùn)練這方面能力是非常必要的。

一、確立分類討論思想的重要性

分類討論是指在解決數(shù)學問題的過程中，根據(jù)問題中所出現(xiàn)的多種情況和可能性，分別進行研究的一種常用的數(shù)學思想方法。

分類討論思想一旦以壓軸題的形式出現(xiàn)，就會讓學生無從入手。因此中考復(fù)習要到位，分類討論這方面問題，必須在平時課上就加以鋪墊，化整為零，讓學生經(jīng)?？梢愿惺艿椒诸愃枷?，不要到臨考前才臨陣磨槍。

二、如何進行分類討論的教學

分類情況可分為：數(shù)學概念的內(nèi)涵需要分類討論；問題中的條件需要分類討論； 問題中的變量需要分類討論；形狀、位置的變化需要分類討論。

教師必須能全面、熟練地掌握初中數(shù)學教材中的所有概念、性質(zhì)、定理。只有這樣，在教學的過程中教師才能更好地運用自己所掌握的東西，使學生對分類討論思想有系統(tǒng)、全面的理解，讓學生能掌握直至熟練運用分類討論思想。

代數(shù)型分類討論，如絕對值化簡，方程根的個數(shù)，函數(shù)圖像性質(zhì)，二次函數(shù)最值等；幾何型分類討論，如求等腰三角形第三邊，直角三角形的第三邊，相似三角形的分類討論等；以上問題通過例題、課后作業(yè)，可以有效解決，讓學生輕松上手。但是綜合起來以后，學生有時就很難理解，下面具體來談一下，如何有效地讓學生學會計算“幾何重合面積”的方法。

對于幾何類型的分類討論，在課堂教學中，要訓(xùn)練學生，讓他們畫出幾何圖形，特別是訓(xùn)練讀題畫圖，在做作業(yè)乃至考試的時候，涉及幾何的題目，如果原題沒有配圖，一定要培養(yǎng)他們畫圖的習慣，對圖形有很好的感覺，會對分類討論有著最直接的幫助。課堂上，教師也應(yīng)該經(jīng)常在學生面前畫圖，并介紹如何利用直尺、圓規(guī)等工具，把幾何圖形畫得盡量準確，不要為了省事，總放些課件，把很好的訓(xùn)練機會白白浪費掉。訓(xùn)練尋找題中的特殊角度、坐標、特殊的邊的比值等。有時解題的關(guān)鍵就是這些容易疏忽的條件。運動的圖形，必須從起點開始畫，要學會畫出分類情況的臨界狀況，這是求自變量取值范圍的關(guān)鍵，這種過度圖形都是很特殊的位置，對于計算是很有幫助的。

例1：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，-12）兩點，且對稱軸為直線x=4，設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖1，在直線y=-2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N.將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN.在動點M的運動過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒.問S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由。

分析：

（1）利用對稱軸，可求出B坐標，用A、B、C坐標求拋物線解析式。

（2）關(guān)鍵要判斷一組平行的對邊是什么，因此先求出直線PB的解析式，可知與直線y=-2x的k相等，所以直線PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后檢驗是不是只有一組對邊平行，當x=2時，OD=PB，此時四邊形OPBD為平行四邊形，舍去。

（3）做這小題時，有一條運動的直線，經(jīng)過自己動手探索，發(fā)現(xiàn)△PMN翻折后，有兩種情況，如圖3、4，即重合部分是三角形或者是四邊形。

有的學生畫不出圖，寸步難行，有的學生只會畫出圖，至于如何計算，無從下手。教師要先鼓勵學生根據(jù)原圖畫出翻折圖像，這樣的全等圖形，相信只要去嘗試，可以臨摹出一模一樣的翻折圖形，如果成功的話，接著可以讓全班同學一起參與畫出不一樣的圖像，并且一起分析這些“不同的圖像”的相同之處，從運動的起點到終點，整個運動過程可總結(jié)出有兩種重合部分的圖像。下面要討論出這兩種情況的分界點，也就是重合部分是三角形的最后時刻，通過剛才畫圖的過程，可知點P翻折后正好落在x軸上。

分析完后，進入計算階段，這條運動的直線，是以M為主體，畫出的與x軸平行的直線，由速度可得PM=t，下面又是學生碰到的難題，其實，題中包含著很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者邊的比值是定值的也算是特殊三角形），這是要告誡學生，必須根據(jù)條件，去探索題中是否有特殊三角形，經(jīng)過（1）（2）題的計算，圖3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因為相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角邊也是1：2，用t可以表示MN、PH，面積也就迎刃而解了。

這道題的分類思想根據(jù)畫圖得出，因此，讓學生從圖像變化的起點出發(fā)，尋找臨界狀態(tài)，進而畫出動起來后的不同形式，再經(jīng)過分析完善分類，最后進行計算。計算過程一定要利用已知條件，尋找特殊圖像。幾乎所有類似的題目，都有可以利用的圖形。

三、學生如何掌握分類討論的思想

正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)，也不遺漏。分類討論的原則：分類中的每一部分是相互獨立的；一次分類按一個分類標準；分類討論應(yīng)該逐級進行。

分類的基本步驟為：明確分類主體；按條件合理展開分類；根據(jù)類型逐項進行討論；歸納分類結(jié)果得出答案。通過平時課內(nèi)和課后對畫圖的訓(xùn)練、壓軸題中給出的點坐標、特殊三角形的尋找，通過從動點起止狀態(tài)的分析的訓(xùn)練，學生可以逐漸掌握幾何重合面積的解決方法。

四、教師要把主動權(quán)還給學生

學生之所以對分類討論問題懼怕，無非是因為不知道什么題目要進行分類討論，或分類不完全、漏解，只要突破這兩個難點，學生以后碰到此類問題，就會迎刃而解了。在課堂教學中，教師要把主動權(quán)還給學生，要產(chǎn)生真切的師生互動，使討論具有實效。這樣，在課堂上學生始終處于不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中。學生一旦嘗到努力探索的成就感，久而久之，就會更加喜歡學習，愿意學習。

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[ 責任編輯 林 娜 ]endprint