劉寒冰

[摘 要] “說數(shù)學”活動教學與傳統(tǒng)教學最大的區(qū)別在于改變了“教師講學生聽”的被動的學習局面，讓學生主動參與教學過程，從概念課中的知識發(fā)現(xiàn)、探究、升華、拓展到復習課中知識網(wǎng)絡的編織、知識的重難點的實例分析、“近似”知識的辨析教學，等等. 學生說出自己的想法、體會、反思，讓課堂中學生學習的進程以及對知識點的掌握情況暴露在師生面前，不僅有利于教師掌握整個教學環(huán)節(jié)及教學效果，而且能對其他學生起到啟示和警示作用；不僅實現(xiàn)了學生課堂教學的自主性，而且培養(yǎng)了學生的語言表達能力和創(chuàng)新能力.

[關鍵詞] 反思性教學；說數(shù)學；說內(nèi)涵；說思想；說方法；說技能

眾所周知，反思根據(jù)數(shù)學活動的三要素，即對象、過程、結(jié)果，可分為三種. 第一，對數(shù)學學習活動對象的反思：①對數(shù)學問題的特征進行反思；②對數(shù)學問題所涉及的數(shù)學知識的反思；③對數(shù)學思想的反思；④對與數(shù)學活動有聯(lián)系的問題的反思. 第二，對數(shù)學學習活動過程的反思：①思考的過程；②理解的過程；③推理的過程；④運算的過程；⑤想象的過程.第三，對數(shù)學學習結(jié)果的反思：①對解題思路的反思；②語言表述的反思；③對結(jié)果進行反思. 因此，從反思性教學入手可以設計“說數(shù)學”的入手方向，讓學生從這些方向中尋找數(shù)學素養(yǎng)提高的空間.

反思“說復習”

傳統(tǒng)數(shù)學課，教師引入知識，通過探討知識挖掘其內(nèi)涵，并通過典型例題的分析，學生依葫蘆畫瓢，再加上變式以促進對知識的深層理解. 學生發(fā)出這樣的感嘆：“上課能聽懂，但是下了課自己做題依然不會.”教師要抓住這個復習教學的機會，在教學中設計學生“說復習”的環(huán)節(jié)，引導學生通過說“復習明線”、說“復習暗線”、說“外延”、說“性質(zhì)”、說“應用”，在全班學生共同的合作交流、共同探討、共同整合之下，內(nèi)化成為自己已有的知識，并融入自己已有的知識結(jié)構(gòu)中去. “說”復習形成的過程，讓學生體會知識整合的緣由和必要性.“說”語言轉(zhuǎn)換，即將生活的實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學模型，或者是將數(shù)學知識、定理、公式、思想方法等用語言文字來表述、翻譯，使學生能從更通俗的語言中理解新知識，加強學生對知識的理解.？搖

案例1：精心設計知識網(wǎng)絡，激發(fā)學生的探究欲——函數(shù)：教學線路

復習課的問題設計針對了知識網(wǎng)絡的復習、典型例題的解析、數(shù)學思想方法的反思等.這就要求教師在認真研究教材、吃透教材、提高自身的專業(yè)水平的基礎上，結(jié)合學生的認知規(guī)律、生理特征、心理特征等方面，設計針對性強、難度適中、啟發(fā)性強、有教學價值的問題，讓學生在教師所設計的“導火索”下，通過互相啟發(fā)、互相幫助的方式“說”出本節(jié)課教師預設的教學目標. 這樣的教學不僅能符合學生自主學習的要求，而且能較好地達到教師的預設目標，更能讓學生通過“說數(shù)學”的教學活動，對數(shù)學產(chǎn)生興趣，對知識產(chǎn)生探究欲.

函數(shù)復習的“三線”策略——明線、暗線與虛線：

（1）明線：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)這些具體函數(shù)的特征與性質(zhì).

（2）暗線：研究上述函數(shù)的一條線索：第一層，解析式、定義域與值域——函數(shù)的三要素；第二層，單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性與最值——函數(shù)的五大性質(zhì)，展示的平臺是圖像.這也是給出了研究函數(shù)的一條基本路線.

（3）虛線：很多函數(shù)問題的條件是以抽象函數(shù)的形式呈現(xiàn)的，要學會讀懂，應用這些性質(zhì)，并隨后舉例體現(xiàn)“說復習”的具體應用性，限于篇幅，舉例省略.

反思“說方法”

數(shù)學是一門工具型學科，解題是高中數(shù)學的重要組成部分之一，也是高考檢測學習成效的唯一方法，所以掌握解題技巧、解題方法是至關重要的. 在課堂中，教師應引導學生也可以通過團隊合作的方式，自行分析、探索處理數(shù)學問題的思路和方法. 具體過程如下：①審題環(huán)節(jié)：指導學生分析題設中的條件和結(jié)論，將條件和結(jié)論用數(shù)學語音“翻譯”成已學知識，中間可以穿插聯(lián)想，將已知條件常見的用法展現(xiàn)在其他同學面前；②整理環(huán)節(jié)：將學生根據(jù)條件和結(jié)論所說的各種信息進行匯總，并說明習題中現(xiàn)有的條件是否足夠，如果不夠還缺什么，如何進一步挖掘，從這些信息中尋找搭扣，使知識點環(huán)環(huán)相扣，從而得出解題的具體過程；③解題環(huán)節(jié)：指導學生將已有的解題過程通過數(shù)學符號語言表達出來；④再探索環(huán)節(jié)：其一，引導學生從多元化的思維角度尋求解題方法的多樣性、簡潔性；其二，引導學生尋找近似問題的相似性，形成相似的解題模式，即“一題多解”和“多題一解”.

案例2：說與三角函數(shù)值域相關的方法

原題：求函數(shù)y=sinx- cosx的值域x∈- ， （蘇教版A組習題）.

生1說：y=2 sinx- cosx=2sinx- . 由x∈- ， ，可知-1≤sinx- ≤ ，所以，原函數(shù)的值域y∈[-2，1].

變式1：求函數(shù)y=cos2x+2sinx的值域x∈- ， .

生2說：利用公式將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即y=1-2sin2x+2sinx=-2sinx- + . 由x∈- ， ，可知- ≤sinx≤1，所以，原函數(shù)的值域y∈- ， .

變式2：求函數(shù)y= sin2x+sinxcosx+ cos2x的值域x∈ ， .

生3說：y= + sin2x+ = （sin2x+cos2x）+1= sin2x+ +1. 由x∈ ， ，可知-1≤sin2x+ ≤ ，故原函數(shù)的值域y∈1- ， .

上述學生說的與三角函數(shù)相關的求值域方法，將學生最應該掌握的基本問題表露無遺，這種“說”大大增加了學生對于知識的理解，會“說”方法比會做題目，對于知識的理解來得更為深刻.

反思“說思想”

數(shù)學學習的最終目標之一就是學會應用數(shù)學思想，從思維的最高維度反思高中數(shù)學學習. “說思想”就是從數(shù)學教學過程中提煉出數(shù)學思想，提升學生的數(shù)學思維品質(zhì). 例如，化歸思想就是將不熟悉的環(huán)境化歸轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的環(huán)境——將不熟悉的題設翻譯成我們所熟悉和能運用的題設.

例如，數(shù)列中蘊含的“數(shù)學思想”的挖掘與運用：數(shù)列問題中蘊含著豐富的“數(shù)學思想”，在研究、解決數(shù)列問題時抓住思維方式以及數(shù)列內(nèi)容的本質(zhì)就能靈活運用這些思想，會取得事半功倍的效果.但是許多學生不管怎么學數(shù)列就是流于表面，沒有抓住本質(zhì)，缺乏主動運用“數(shù)學思想”來解決數(shù)列問題的意識，因此要從思想角度突破才能有利于學生學好數(shù)列.

函數(shù)思想：從映射的角度來看，數(shù)列本質(zhì)上是一個定義在正整數(shù)集的子集上的函數(shù).所以，用函數(shù)的觀點理解數(shù)列，用研究函數(shù)的相關方法來研究數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法.

問題：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=15，S4=S12，當n為何值時Sn有最大值？

為什么這個等差數(shù)列的前n項和Sn有最大項？其首項a1=15>0，故它的前幾項為正，從某項起開始變號，因此，常規(guī)的做法是通過找到變號的項來求解. 這是純數(shù)列解法. 等差數(shù)列前n項和Sn是關于n的“二次型”函數(shù)，該函數(shù)解析式的常數(shù)項是0，其圖像是過原點的拋物線上橫坐標為正整數(shù)的點（為便于分析，將這些散點用虛線連接，如圖1所示）. 由題意可知，該數(shù)列的公差d<0，拋物線圖像開口向下，S4=S12說明此拋物線有對稱軸n=8，故當n=8時，Sn最大. 把數(shù)列看作一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)思想，通過數(shù)形結(jié)合來求解，既直觀，又簡潔.如果將此題進行變式，將條件中的“S4=S12”改成“S4=S11”，其他不變. 用“函數(shù)思想”求解，其優(yōu)越性會更加凸顯.

總之，傳統(tǒng)的數(shù)學教學由于受應試教育的影響，重“做數(shù)學”，輕“說數(shù)學”；重結(jié)果，輕過程. 教學模式基本以“教師講學生聽”的枯燥形式為主，嚴重抑制了學生的學習興趣和創(chuàng)新能力. 有些教師也已經(jīng)注意到了這些問題，在課堂教學中引入對話，但對話偏離了對話的本質(zhì)，呈現(xiàn)的大多數(shù)是一些評價性的對話（不錯，是的，對與不對等），缺少一些過程性描述，這與培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的現(xiàn)代教育完全背道而馳. 因此，我們要改變以往的“以教師講為主，學生參與的比較少”的困境，讓學生主動參與課堂活動，使課堂不僅演示教師教的思維過程，更能挖掘?qū)W生學的認知形成過程，讓教與學有機地結(jié)合起來，讓課堂“活起來”.“說數(shù)學”是數(shù)學交流的重要形式之一，本文在反思性數(shù)學學習理論的基礎上，探討學生課堂中“說數(shù)學”的內(nèi)容和實踐操作，從本質(zhì)上激發(fā)學生學習的興趣，讓學生體會學習數(shù)學的樂趣，從而達到提高教學效果的最終目標.