潘小明

早在上世紀80年代，Zeichner & Liston就曾根據(jù)Van Manen的研究提出了關(guān)于學習者反思具有低、中、高等不同層次的觀點[1][2]。國內(nèi)也有學者把反思劃分為“前反思”“準反思”和“反思”三種不同水平的反思層次[3]。那么，就中學生數(shù)學解題這一特定的實踐而言，實踐者的實踐反思在層次上有怎樣的特點？針對這一現(xiàn)實而基本的問題，研究者于2015年3月開始對江蘇省中部地區(qū)某農(nóng)村初中學生數(shù)學解題反思的行為進行了跟蹤研究，初步概括了初中生數(shù)學解題反思的常識性、知識性、技術(shù)性和思想性特點，本文擬結(jié)合具體案例對這4種不同層次的反思進行簡要的描述與分析。

1.解題反思的常識性層次

這種層面的反思表現(xiàn)對當下數(shù)學解題活動瞬間的常識化思維，本質(zhì)上是一種對數(shù)學解題活動沒有深層思考的準反思。研究者在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，成績較差的學生在數(shù)學解題過程中如果遇到了自己熟悉的數(shù)學刺激或問題情境，就容易表現(xiàn)出常規(guī)式、習慣性“想一想”“推一推”的數(shù)學活動方式。他們的數(shù)學解題行為更多地表現(xiàn)出一種自動化、半自動化的特性。個別訪談時發(fā)現(xiàn)，一些學生在數(shù)學解題中之所以出現(xiàn)數(shù)學錯誤，是因為他們的反思始終處于一種即時化、意識流式的常識狀態(tài)，在數(shù)學思維上沒有或很少涉及下一步該如何行動以及為什么這樣行動。從本質(zhì)上看，與其說這些學生處于數(shù)學解題反思狀態(tài)中，還不如說他們僅僅是處于數(shù)學解題活動的準反思狀態(tài)中。

案例1求4m的倒數(shù)。

由于學生的解題反思水平僅僅處于常識性的層次，他們在解題過程中就容易被一些看起來合情合理的常識所迷惑。比如，正數(shù)是表示大于0的數(shù)，對應(yīng)的符號用+表示，負數(shù)是表示小于0的數(shù)，對應(yīng)的符號用-表示，這是一種常識。在特定的數(shù)學情境下，這種所謂的常識會掩蓋數(shù)學整體的意義，稍有不慎，就有可能犯實質(zhì)性的數(shù)學錯誤。一個典型的例子是，在對學生進行“比較4m與-4m大小”這一類題的測試中，有學生就因為所謂的常識而不加分析地斷定4m是正數(shù)、-4m是負數(shù)，并由此得到4m>-4m的唯一答案，而沒有認識到字母m除了可取正值，還可取負值或0，4m與-4m的大小比較要根據(jù)m的取值進行討論?？偟膩碚f，僅僅處于常識性反思層面的學生在數(shù)學解題過程中并非沒有“想一想”“推一推”，只是他們的“想一想”“推一推”更多地停留于非常淺顯的數(shù)學思維層次。

2.解題反思的知識性層次

解題的第一要務(wù)是把題目解出來，基于這種基本使命，學生對題目“究竟怎么解決”“究竟怎么做”往往有較高的關(guān)注度，由此也使他們的解題反思表現(xiàn)出知識性層次的特點。這種特點表現(xiàn)為學生對相關(guān)數(shù)學題目中相關(guān)概念、命題、法則“所知”的反思，并因此產(chǎn)生對問題中相關(guān)要素界定的思維。比如，有學生在討論中會問：“這句話是什么意思？”“這個式子是什么含義？”“條件或結(jié)論在說什么？”知識性層次解題反思也會表現(xiàn)為學生對相關(guān)數(shù)學題目中相關(guān)概念、命題、法則“所識”的反思。這是學生基于個人經(jīng)驗、見識對當下數(shù)學問題及其解答過程中相關(guān)刺激、相關(guān)要素進行必要的辨認、識別、判斷，并據(jù)此產(chǎn)生進一步問題表征、方法匹配、解題決策的解題行為?？梢?，在知識性層次的解題反思中，學生不僅結(jié)合個人的數(shù)學活動經(jīng)驗對當下的事實性、命題性和程序性三類數(shù)學知識進行必要的提取，而且據(jù)此進一步揭示待解數(shù)學題目的一些特征，初步分析問題所屬的類型，基于“所知”“所識”進行解題思路、模式和經(jīng)驗的匹配與對接。

案例2在一節(jié)習題課上，數(shù)學教師要求學生解答如下的一道選擇題：

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

案例3下午4點到5點，電視里播出一部動畫片，開始時分針與時針正好成一條直線，結(jié)束時兩針正好重合，試求解這部動畫片播了多少時間？

案例描述與分析在這一測試中，研究者要求3名學生就本題的解答進行出聲思維。為了說明出聲思維的含義，研究者本人結(jié)合其他數(shù)學題目的思考過程進行了必要的示范。

研究者發(fā)現(xiàn)，被試學生拿到題目后，先是讀了兩遍題目，然后準備在作業(yè)紙上書寫。不過，他們很快放下了筆，因為他們不知道寫什么。研究者啟發(fā)他們：“動筆之前，好好想一想喲！”但后來發(fā)現(xiàn)有2位學生開始自言自語：“這好像是小學里的算術(shù)問題！”“什么類型的呢？”“我想想！”“行程問題？噢，不，不是的?！薄坝悬c像追及問題?！薄拔胰绻逊轴樅蜁r針分別看成2個人，不就是分針這個人追趕時針這個人，追趕的時間不就是動畫片播放的時間嗎？”“嗯，解答有了。只要假設(shè)時針行走的速度為每小時1格，則分針行走的速度就是每小時12格，如果這部動畫片播了x小時，那么分針行走到與時針重合時也需要x小時，根據(jù)題目的信息，因為分針比時針多走6格，所以可以列出方程：12x=1·x+6，嗯，搞定！”在該案例中，類似的問題通常被稱為鐘面問題。開始時，分針與時針成一條直線，所以相差180毅；結(jié)束時兩針重合，所以相差0毅。有學生在表征問題階段，聯(lián)想到小學階段應(yīng)用題中的追及問題，本身體現(xiàn)了對數(shù)學模式的識別。據(jù)此，這些學生不僅重新理解了待求解的數(shù)學題目，而且解題時的思路顯得十分清晰。

中學生在數(shù)學解題反思中的“所識”直接影響著其“所知”的狀態(tài)。

（待續(xù)）endprint