李雪斌*，王坤，郭堂成

（安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽淮南，232001）

基于不同嚙合線對(duì)雙螺桿空氣壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)分析

李雪斌*，王坤，郭堂成

（安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽淮南，232001）

介紹了雙螺桿空氣壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)的研究現(xiàn)狀及主要方法。重點(diǎn)研究基于嚙合線反求轉(zhuǎn)子型線的新方法，根據(jù)陰陽螺桿轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系建立了嚙合線坐標(biāo)系，研究了嚙合線為點(diǎn)、直線和曲線時(shí)反求轉(zhuǎn)子型線的方法，最后得出不同嚙合線下的轉(zhuǎn)子型線的通用計(jì)算公式，為雙螺桿空氣壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)提供了參考。

雙螺桿空氣壓縮機(jī)；陰陽螺桿轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系；嚙合線坐標(biāo)系；轉(zhuǎn)子型線

引言

螺桿式空壓機(jī)顧名思義，其主要部件是壓縮轉(zhuǎn)子[1]。壓縮轉(zhuǎn)子通常有兩個(gè)螺桿和轉(zhuǎn)子殼體組成。隨著工業(yè)及制造業(yè)不斷地發(fā)展，早在上個(gè)世紀(jì)三十年代，市場(chǎng)就需要一種大產(chǎn)氣量大、流量穩(wěn)定、能適應(yīng)壓力不斷變化工況的旋轉(zhuǎn)式壓縮機(jī)，因此眾多科研機(jī)構(gòu)都投入了大量的人力和物力研究。隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步，高效和高精度的螺桿轉(zhuǎn)子被廣泛的制造和使用。由于螺桿式空壓機(jī)結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、能滿足變壓力工況且供氣量大的要求，所以螺桿式空壓機(jī)被廣泛地使用。

1 研究現(xiàn)狀

目前在螺桿式空壓機(jī)的設(shè)計(jì)中，轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)一般是根據(jù)轉(zhuǎn)子的動(dòng)靜坐標(biāo)系正向設(shè)計(jì)，其過程[1]是：一，首先利用包絡(luò)條件和共軛理論求出轉(zhuǎn)子的型線，然后根據(jù)公式求出轉(zhuǎn)子的接觸線，最后根據(jù)這些參量求出轉(zhuǎn)子的嚙合線；二，根據(jù)計(jì)算出的轉(zhuǎn)子嚙合線去計(jì)算轉(zhuǎn)子的泄漏三角形、密封容積及接觸線長度等；三，根據(jù)以上所求的參數(shù)推算轉(zhuǎn)子的性能，然后給出修正系數(shù)校正。這種設(shè)計(jì)方式影響因數(shù)很多，設(shè)計(jì)周期較長，計(jì)算量很大。本文提出可以根據(jù)設(shè)計(jì)要求先設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子嚙合線，然后根據(jù)嚙合線去求轉(zhuǎn)子的型線，這種設(shè)計(jì)方法準(zhǔn)確性高，設(shè)計(jì)周期短。

2 嚙合線坐標(biāo)系的建立

本文使用嚙合線法線原理設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子型線[2]，首先建立相關(guān)的坐標(biāo)系，然后計(jì)算出陰陽轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系與嚙合曲線坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化公式，坐標(biāo)系見圖1所示：

圖1 轉(zhuǎn)子嚙合線坐標(biāo)系

如圖所示O0x0y0表示轉(zhuǎn)子嚙合線的坐標(biāo)方程，其中點(diǎn)O0即為陰陽轉(zhuǎn)子節(jié)圓的相切點(diǎn)。其中φ1，φ2分別表示陰陽轉(zhuǎn)子的坐標(biāo)系沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度，R2、R1分別表示陰陽轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑，ω2、ω1分別表示陰陽轉(zhuǎn)子的角速度。由于陰陽螺桿也是齒傳動(dòng)的一種，因此陰陽螺桿的傳動(dòng)比是固定不變的[3]。所以根據(jù)齒輪傳動(dòng)知識(shí)有：

其中：n1，n2代表陰轉(zhuǎn)子和陽轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速r/s；i代表陰陽轉(zhuǎn)子的傳動(dòng)比；A代表陰轉(zhuǎn)子和陽轉(zhuǎn)子的中心距。Z1、Z2表示陰陽轉(zhuǎn)子的螺旋齒數(shù)。

至此可以得出陽轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系、陰轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系和嚙合線坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

陽轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系與嚙合線坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換公式有[4]：

陰轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系與嚙合線坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換公式有：

在嚙合線法的設(shè)計(jì)中坐標(biāo)系的建立是一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，建立正確的坐標(biāo)系才能計(jì)算出正確的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，正是因?yàn)樽鴺?biāo)系之間滿足一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系才使得設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算順利簡化。

3 基于嚙合線原理的轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)

陰陽螺桿轉(zhuǎn)子為嚙合工作的方式，其嚙合過程滿足齒輪的嚙合定律，即在陰陽轉(zhuǎn)子嚙合過程中的任意時(shí)刻、任意嚙合點(diǎn)處的公法線一定通過陰陽螺桿的節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)是陰陽螺桿各自節(jié)圓的相切點(diǎn)），也就是說在陰陽螺桿嚙合過程中形成的嚙合線上的任意一點(diǎn)P，P點(diǎn)的法線也一定經(jīng)過節(jié)點(diǎn)O。由此可知在陰陽轉(zhuǎn)子嚙合線上的任意一點(diǎn)P，連接點(diǎn)P與節(jié)點(diǎn)O所得到的直線即為P點(diǎn)的法線，這個(gè)原理稱之為嚙合線法線原理。利用這一原理可以進(jìn)一步探討基于嚙合線法線原理的轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)理論[5]。

在基于轉(zhuǎn)子嚙合線法線原理設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子型線時(shí)，一般嚙合線是作為已知條件的，假設(shè)嚙合線的表達(dá)方程[6]為：

由基本物理知識(shí)可知，在嚙合曲線上的任意一點(diǎn)P，在P點(diǎn)處的瞬時(shí)速度方向就是此點(diǎn)的切線方向，在點(diǎn)P處的法線垂直于該點(diǎn)的切線，所以由公式：

在計(jì)算公式（7）時(shí)要確保陰陽轉(zhuǎn)子的嚙合曲線的點(diǎn)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)公式（1）可將陰陽轉(zhuǎn)子不同坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)轉(zhuǎn)換至同一坐標(biāo)系內(nèi)。由此可得：

通過觀察可知，在公式（8）中t和φ1為可變參量。由公式（8）可以確認(rèn)任意時(shí)刻陽轉(zhuǎn)子型線上相應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系。如果對(duì)公式（5）中的變量x2、y2分別對(duì)t和φ1求偏導(dǎo)數(shù)[7]，再聯(lián)立公式（8）整理化簡后得：

由于在陰陽轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中關(guān)于轉(zhuǎn)子型線的x1、y1、x2、y2方程未知，但是在嚙合線坐標(biāo)中關(guān)于x0、y0的方程已知，所以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程（5）計(jì)算得：

對(duì)公式（10）中的x1、y1分別對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù)，結(jié)合公式（9）、（10）代入化簡后

由于除了φ1、t未知其他參數(shù)均是已知條件，化簡公式（11）后可得：

由計(jì)算過程可知在實(shí)際的計(jì)算中只要知道嚙合線坐標(biāo)參數(shù)和轉(zhuǎn)子傳動(dòng)比就可以反求出陽轉(zhuǎn)子的型線方程。

4 嚙合線類型對(duì)轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)的影響

嚙合線是有很多段曲線段組成的，因?yàn)閲Ш暇€的類型很多，每一種類型所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子型線都各不相同，因此在嚙合線設(shè)計(jì)過程中需要對(duì)組成嚙合線的每一段曲線進(jìn)行定義，包括曲線的性質(zhì)、幾何類型和具體的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。目前組成嚙合曲線最常見的曲線段包括點(diǎn)、圓弧曲線和直線段。以下經(jīng)分別探討這些類型的定義方式及其性質(zhì)：

4.1 轉(zhuǎn)子嚙合線為點(diǎn)型

對(duì)于點(diǎn)這種類型非常的特殊，假設(shè)轉(zhuǎn)子在嚙合過程中產(chǎn)生的嚙合曲線為一點(diǎn)，那么我們可以直接寫出其在嚙合坐標(biāo)系中表達(dá)式為：

其中：xq表示嚙合點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值；yq表示嚙合點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值。當(dāng)把（13）帶入公式（11）中，如果要使公式（11）成立，就有（11）中所有非零項(xiàng)全部為零，由此可知y0=yq=0即該點(diǎn)只存在于X軸上，陰轉(zhuǎn)子與陽轉(zhuǎn)子的軸心連線為坐標(biāo)系中的X軸[8]。

由于嚙合線為一個(gè)點(diǎn)，所以公式φ1=φ1(t)不成立，雖然角度公式不成立但是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子型線是可求的。將已知的公式（13）整理帶入公式（13）中可得陽螺桿轉(zhuǎn)子型線的計(jì)算方程：

同理，將已知公式（13）整理帶入公式（5）中可得陰螺桿轉(zhuǎn)子型線的計(jì)算方程：

有以上分析可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子嚙合線類型為點(diǎn)時(shí)，即使轉(zhuǎn)子嚙合線的角度方程不成立，但是其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子型線確實(shí)可求，并且在這種情況下所求得的轉(zhuǎn)子型線是以螺桿的軸心為中心的圓弧段。

4.2 轉(zhuǎn)子嚙合線為直線

圖2 直線參數(shù)坐標(biāo)系

在轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)中，轉(zhuǎn)子嚙合線為直線的情形較為常見，當(dāng)轉(zhuǎn)子嚙合線為一條直線時(shí)，坐標(biāo)系關(guān)系如圖2。其參數(shù)方程：

其中：t表示嚙合直線的長度；(xs，ys)表示嚙合直線的起點(diǎn)；α表示嚙合直線與坐標(biāo)軸X軸的夾角。對(duì)方程式（16）求導(dǎo)帶入方程（12）后積分可得：

根據(jù)方程（17）可知，φ1與t的值相對(duì)應(yīng)，t的值變化φ1的值也會(huì)相應(yīng)的變化，變化關(guān)系遵從方式（17）。

當(dāng)轉(zhuǎn)子嚙合線為直線時(shí)，有方程φ1=φ1(t)成立。聯(lián)立參數(shù)方程（4）、（5）和（17）整理化簡后可得陽轉(zhuǎn)子型線計(jì)算公式[9]：

聯(lián)立參數(shù)方程（5）、（16）和（17）整理化簡后得陰轉(zhuǎn)子型線計(jì)算公式：

至此嚙合線是直線的情況分析完畢，給出了相應(yīng)的轉(zhuǎn)子型線計(jì)算方程，參照齒輪現(xiàn)有的結(jié)論可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子嚙合線為直線時(shí)轉(zhuǎn)子的型線為漸開線。

4.3 轉(zhuǎn)子嚙合線為圓弧段

圖3 圓弧參數(shù)坐標(biāo)系

當(dāng)轉(zhuǎn)子嚙合線為圓弧時(shí)，如圖3所示坐標(biāo)系方程，計(jì)算方程如下：

其中：β表示圓弧任意一條半徑與坐標(biāo)系X軸的夾角；（x0，y0）表示嚙合圓弧的圓心；r表示半徑。對(duì)公式（20）求導(dǎo)帶入公式（12）積分可得：

從方程式（21）中可以看出，φ1的值隨角度t的變化而變化，上述分析可知當(dāng)φ1=φ1(t)成立時(shí)，只需要聯(lián)立公式（4）、（20）和（21）整理化簡得陽轉(zhuǎn)子型線計(jì)算公式；

同理，當(dāng) φ1=φ1(t)成立時(shí)，只需要聯(lián)立公式（5）、（20）和（21）理化簡得陰轉(zhuǎn)子型線計(jì)算公式：

以上計(jì)算所得公式（22）和（23）是嚙合線為圓弧時(shí)，計(jì)算轉(zhuǎn)子型線的通用公式。

5 結(jié)束語

本章首先重點(diǎn)研究了基于轉(zhuǎn)子嚙合線反向設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子型線的計(jì)算方法。

（1）建立了轉(zhuǎn)子嚙合線的坐標(biāo)系，推算出轉(zhuǎn)子嚙合坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，為反求轉(zhuǎn)子型線提供了理論基礎(chǔ)。

（2）探討了轉(zhuǎn)子嚙合線設(shè)計(jì)的原則，因?yàn)檗D(zhuǎn)子嚙合線是有許多不同的曲線段組成的，不同的曲線類型都對(duì)應(yīng)著不同的轉(zhuǎn)子型線類型，所以轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)直接決定轉(zhuǎn)子型線的性能。

（3）不同類型的轉(zhuǎn)子嚙合線對(duì)應(yīng)著不同的轉(zhuǎn)子型線類型，重點(diǎn)分析了三種不同的嚙合線類型以及基于不同嚙合線反求轉(zhuǎn)子型線的方法，推導(dǎo)出了各自陰陽轉(zhuǎn)子的計(jì)算公式。

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Design and Analysis of Rotor of Two-Screw Air Compressor Based on Different Meshing Lines

LI Xuebin*,WANG Kun,GUO Tangcheng
(School of Mechanical Engineering,Anhui University Of Science And Technology,Anhui Huainan,232001,China)

The research status and main methods of the rotor profile design of rotor of two-screw air compressor are introduced.This paper focuses on the new method of rotor wire based on meshing line,and according to the coordinate system of yin and yang screw rotor,the meshing line coordinate system is established,and study the method of finding the rotor profile when the meshing line is the point,the straight line and the curve.Finally,a general formula for calculating the rotor profile under different meshing lines is obtained,which provides a reference for the design of the rotor profile of rotor of two-screw air compressor.

twin-screw air compressor; yin and yang screw rotor coordinate system; meshing line coordinate system; rotor profile

TP973

A

1672-9129(2017)04-0045-04

李雪斌,王坤,郭堂成.基于不同嚙合線對(duì)雙螺桿空氣壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)分析[J].數(shù)碼設(shè)計(jì),2017,6(4):45-48.

Cite：LI Xuebin,WANG Kun,GUO Tangcheng.Design and Analysis of Rotor of Two-Screw Air Compressor Based on Different Meshing Lines[J].Peak Data Science,2017,6(4):45-48.

10.19551/j.cnki.issn1672-9129.2017.04.013

2016-12-23；

2017-01-19。

李雪斌（1965），男，安徽淮南，副教授，研究方向：流體機(jī)械。E-mail:117329790@qq.com