何 燈

福建省福清第三中學(xué) (350315)

三角形長度元素的一條不等式鏈的下界改進

何 燈

福建省福清第三中學(xué) (350315)

文獻[1]中利用3個引理建立了關(guān)于三角形角平分線的一個等式

定理1 設(shè)a,b,c是ΔABC的3條邊長，wa,wb,wc是ΔABC的角平分線，則

文獻[4]將以上4個不等式進行統(tǒng)一指數(shù)推廣，得到

筆者發(fā)現(xiàn)上述不等式鏈的下界可作進一步的改進，由此得

故定理3的下界優(yōu)于定理2的下界.

為了證明定理3，需要引入一個引理.

由于∑a2b2=(∑ab)2-2abc∑a=[s2+r(4R+r)]2-16Rrs2，∑a=2s，則只需證明

若4R-31r≥0，則(*)式顯然成立.若4R-31r<0，則f(s2)可看作以s2為自變量的一元二次函數(shù)，由16Rr-5r2s24R2+4Rr+3r2(Gerrestsen不等式)及一元二次函數(shù)圖像性質(zhì)可得f(s2)≥min {f(16Rr-5r2),f(4R2+4Rr+3r2)}，又f(16Rr-5r2)=4r2(R-2r)(576R2-563Rr+118r2)，f(4R2+4Rr+3r2)=4(R-2r)(16R4+16R3r+44R2r2+33Rr3+22r4)，由歐拉不等式(R≥2r)易證f(16Rr-5r2)≥0，f(4R2+4Rr+3r2)≥0，故f(s2)≥0.得證當(dāng)p=1時，定理3成立.

當(dāng)p>1時，由冪平均不等式得

綜上，定理3得證.

[1]曾善鵬.一個角平分線不等式[J],數(shù)學(xué)通報,2009(12):45.

[2]安振平.一個角平分線不等式的簡證與加強[J],數(shù)學(xué)通報,2011(4):38.

[3]馬占山,范紅英.關(guān)于三角形旁切圓半徑的一個有趣性質(zhì)[J],數(shù)學(xué)通報,2011(11):57.

[4]黃兆麟.3個幾何不等式的統(tǒng)一指數(shù)推廣[J],中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(3):34-35.

[5]劉健.一個三角形中線不等式猜想的證明[J],華東交通大學(xué)學(xué)報,2008,25(1):105-108.