張鵬宇

山東省青島市第五十八中學(xué) (266100)

橢圓參數(shù)方程探究

張鵬宇

山東省青島市第五十八中學(xué) (266100)

下面分別選用很直觀的兩個(gè)量——極角與切線傾角為參數(shù)，給出了橢圓的兩種參數(shù)方程.

一、以極角為參數(shù)的橢圓的參數(shù)方程

回憶一下圓的參數(shù)方程：教材中給出的圓x2+y2=r2的參數(shù)方程為x=rcosθ，y=rsinθ，參數(shù)θ是圓上點(diǎn)P(x,y)與圓心連線繞圓心相對(duì)于x軸的正方向的旋轉(zhuǎn)角.結(jié)合前面剛學(xué)過(guò)的教材中的極坐標(biāo)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)θ恰為圓上點(diǎn)P(x,y)的極坐標(biāo)中的極角.類似的，下面選取橢圓上點(diǎn)的極角作為參數(shù)，構(gòu)造出了橢圓的另外一種參數(shù)方程.

左半橢圓的參數(shù)方程為

右半橢圓的參數(shù)方程為

證明：

(一)先討論右半橢圓的參數(shù)方程

(二)再討論左半橢圓的參數(shù)方程

二、以切線傾角為參數(shù)的橢圓的參數(shù)方程

(一)切點(diǎn)P在第一、二象限時(shí).

(二)切點(diǎn)P在第三、四象限時(shí).

此時(shí)切線斜率k=tanθ，m<0，故m=

三、結(jié)語(yǔ)

圓錐曲線的參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容之一，只有真正理解了方程中的參數(shù)含義，才能有效掌握與靈活運(yùn)用這一部分知識(shí).橢圓作為一種重要的圓錐曲線，其參數(shù)方程必須得到重視與掌握.

教材中橢圓的參數(shù)方程以離心角作為參數(shù)，雖然參數(shù)方程形式簡(jiǎn)單，但是離心角作圖復(fù)雜，不易直觀理解.為了體現(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的直觀易懂性，本文選用極角與切線傾角作為參數(shù)分別構(gòu)造了橢圓的另外兩種參數(shù)方程.

將本文給出的兩種參數(shù)方程與教材中給出的參數(shù)方程對(duì)比學(xué)習(xí)、相互參考，對(duì)理解與掌握橢圓參數(shù)方程部分的相關(guān)知識(shí)十分有益.

[1]中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書——《數(shù)學(xué)》(選修4-4)[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]梁峻峰.雙曲線的一種參數(shù)方程[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1988(4).

[3]王琦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)大眾，2007(1).