虞 懿

浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

探析一道解析幾何題的求解策略

虞 懿

浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何量(性質(zhì))，核心思想是“數(shù)形結(jié)合”．2017年高考浙江卷第21題，保持了浙江卷背景熟悉、入口寬泛、解法多樣的一貫風(fēng)格，細(xì)細(xì)品讀深感底蘊(yùn)純厚，緊扣解析幾何的思想精髓．本文從解決解析幾何問題的核心思想出發(fā)，著重探究本題第(Ⅱ)問的求解策略．

圖1

一、試題展示

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

品讀：本題以拋物線為載體，主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、斜率與弦長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思巧妙，耐人尋味，令人賞心悅目，體現(xiàn)了“能力立意”的指導(dǎo)思想，凸顯了數(shù)學(xué)試題的選拔功能．

二、求解策略

(Ⅱ)策略1：選擇恰當(dāng)形式，實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

“幾何量的代數(shù)表示”是解決解幾問題的關(guān)鍵，在本題中的幾何量是“|PA|·|PQ|”，用什么樣的代數(shù)形式來表示這個(gè)幾何量？對(duì)于弦長(zhǎng)問題，很自然地聯(lián)想到圓錐曲線的距離和弦長(zhǎng)公式．而在解幾中描述弦長(zhǎng)的代數(shù)形式就是點(diǎn)或斜率，由此可想到用點(diǎn)坐標(biāo)或斜率來表示幾何量“|PA|·|PQ|”．

解法1：聯(lián)立直線AP與BQ的方程

評(píng)析：聯(lián)立兩相交直線方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，以斜率為參變量來表示弦長(zhǎng)，建立目標(biāo)函數(shù)．

評(píng)析：涉及弦長(zhǎng)的問題，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，通過設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，以求達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．

策略2：借助參數(shù)方程，實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

評(píng)析：利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，避免了繁瑣的計(jì)算，使得方程的聯(lián)立簡(jiǎn)便易得.

策略3：回歸向量知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

向量具有代數(shù)、幾何雙重身份，融數(shù)形于一體，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁．它可以將幾何問題坐標(biāo)化、數(shù)量化，因此它是解決解析幾何問題的重要工具．

評(píng)析：本解法構(gòu)建平面向量，利用數(shù)量積的定義求|PA|·|PQ|，簡(jiǎn)潔明了．在探究解題思路時(shí)，要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識(shí)的聯(lián)系，在平面解析幾何中有關(guān)長(zhǎng)度、角度的計(jì)算及有關(guān)平行、三點(diǎn)共線、垂直等位置關(guān)系問題都可以用向量知識(shí)解決．

策略4：妙用極化恒等式，實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

評(píng)析：極化恒等式的應(yīng)用，由一般的直接運(yùn)用到結(jié)合具體問題的巧用，需要學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，注意化動(dòng)為定，特別是要結(jié)合題中的隱性特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，才能達(dá)到事半功倍的效果．

策略5：利用圓冪定理，實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

圓冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統(tǒng)一．例如，如果交點(diǎn)為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD．

圖2

評(píng)析：巧妙利用圓冪定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得|PA|·|PQ|=R2-|PC|2，避開求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，并且后續(xù)化簡(jiǎn)也比較方便．

三、探究感悟

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題，在解題過程中，首先要將文字信息、圖形條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系，將待求的幾何量表示成代數(shù)式，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果，最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題．在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號(hào)語言之間的多重轉(zhuǎn)換，因此，我們必須重視對(duì)幾何量(關(guān)系)的深入研究，探究用何種代數(shù)形式能恰當(dāng)表示題目中的幾何量(關(guān)系)，同時(shí)有利于代數(shù)運(yùn)算，從而形成正確的解題策略．