張振華，繩 飄, 王欽亭，吳志強(qiáng)

(1.河南理工大學(xué) 力學(xué)系，河南 焦作 454000；2.天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300072)

超彈性形狀記憶合金阻尼器的減振特性研究

張振華1，繩 飄1, 王欽亭1，吳志強(qiáng)2

(1.河南理工大學(xué) 力學(xué)系，河南 焦作 454000；2.天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300072)

研究了環(huán)境變量(溫度和外激勵(lì)幅值)對超彈性形狀記憶合金阻尼器減振特性的影響。用多線性本構(gòu)模型來表示SMA偽彈性，建立了SMA振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。通過平均法求解了方程主共振的幅頻響應(yīng)解，并用數(shù)值方法驗(yàn)證其計(jì)算的準(zhǔn)確性。通過定義SMA振動(dòng)系統(tǒng)與對應(yīng)線性系統(tǒng)的共振幅值比、共振頻率比來表示SMA阻尼器的減振和調(diào)頻效果，并研究了環(huán)境變量與其的定量關(guān)系。研究結(jié)果表明：溫度升高對SMA減振和調(diào)頻是不利的；而外激勵(lì)幅值在一定的范圍內(nèi)取值時(shí)，SMA阻尼器具有良好的減振和調(diào)頻效果。此研究結(jié)果可為SMA阻尼器使用環(huán)境條件的選擇提供參考。

形狀記憶合金;偽彈性;溫度;減振

形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，SMA)的偽彈性是SMA在奧氏體相下由應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變的一種物理和力學(xué)行為。偽彈性SMA能夠在卸載后自主回復(fù)變形，其最大可回復(fù)應(yīng)變能達(dá)到8%，并且會產(chǎn)生應(yīng)力-應(yīng)變的滯后關(guān)系，能夠起到大變形回復(fù)和阻尼的作用。此外SMA具有較好的抗疲勞和抗腐蝕能力，能夠適應(yīng)不同的工程環(huán)境。正因?yàn)閭螐椥許MA這些優(yōu)秀的品質(zhì)，其被作為阻尼和自定心元件廣泛地應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。

Graesser等[1]開始研究偽彈性SMA在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的應(yīng)用。此后，學(xué)者們利用SMA構(gòu)造各種減、隔振裝置來對框架建筑[3-6]、橋梁[7-8]和機(jī)械結(jié)構(gòu)[9]等進(jìn)行振動(dòng)控制研究，結(jié)果均表明SMA作為阻尼和自定心元件能夠有效降低結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

溫度與SMA的相變和阻尼特征密切相關(guān)，因此有必要研究溫度等參數(shù)對SMA阻尼器的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制效果的影響。而目前利用SMA偽彈性進(jìn)行被動(dòng)減隔振的研究中，考慮溫度影響的研究還比較少。Huang等試驗(yàn)研究了在溫度11 °C～120 °C范圍內(nèi)SMA振子動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征，研究結(jié)果表明溫度增加使SMA的阻尼作用降低。Ozbulut等[10-11]用神經(jīng)模糊數(shù)學(xué)的方法建立了考慮溫度SMA偽彈性模型，進(jìn)而用數(shù)值方法研究了溫度對NiTi-SMA-摩擦支座減振作用的影響，研究表明在溫度為0 °C、20 °C和40 °C時(shí)，該隔振器均能起到有效地降低結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，但是隔振效率隨溫度增高而降低。上述試驗(yàn)和數(shù)值研究的結(jié)果是離散，溫度對SMA阻尼器減振效果的具體規(guī)律需要進(jìn)一步的理論分析。

本研究采用分段線性模型描述SMA的偽彈性，利用平均法求解SMA振子的幅頻響應(yīng)方程，并通過定義SMA振子與其派生線性系統(tǒng)的共振峰值比和頻率比來定量研究溫度和外激勵(lì)對SMA減振特性的影響規(guī)律，為SMA阻尼器適用溫度和激勵(lì)環(huán)境的選擇提供依據(jù)。

1 SMA雙線性本構(gòu)模型

SMA的Tanaka-Liang-Brinson(TLB)系列模型[12-14]是目前應(yīng)用的最為廣泛的系列模型之一。TLB系列本構(gòu)模型形式簡單，而且避開自由能等參數(shù)測量的困難，因此被廣泛應(yīng)用在含SMA結(jié)構(gòu)的分析中。但是該類模型中的非線性相變熱力學(xué)方程給求解問題帶來了困難。隨著研究的深入和工程應(yīng)用的需要，有學(xué)者在TLB系列模型的基礎(chǔ)上提出了分段線性化偽彈性本構(gòu)模型[15-16]，該類模型避開了非線性熱力學(xué)方程求解的困難，極大地提高了非線性的效率，線性顯式本構(gòu)關(guān)系在數(shù)值計(jì)算中不受計(jì)算子步大小的影響，能夠很好的收斂，因此越來受到人們的重視，對SMA阻尼器的動(dòng)力學(xué)研究及工程設(shè)計(jì)有比較重要的意義。

本文采用文獻(xiàn)[16]中的分段線性模型來表示SMA的偽彈性，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖1所示。

(a) εmax>εMf

(b) εMs<εmax≤εMf圖1 SMA多線性模型Fig.1 The SMA multilinear model

圖1(a)表示SMA的卸載發(fā)生在相變完成后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，而圖1(b) SMA的卸載發(fā)生在相變過程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

SMA的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可用式(1)表示

σs=kiε+σi0, (i=1,2,3,4)

(1)

式中：k1=EA;k2=(σMf-σMs)/(εMf-εMs);k3=

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，式(1)中的相變應(yīng)力、應(yīng)變和溫度之間存在如式(2)所示的關(guān)系

σMs=CM(T-Ms)，εMs=σMs/EA，

σMf=CM(T-Mf)，εMf=εL+σMf/EM，

σAs=CA(T-As)，εAs=εL+σAs/EM，

σAf=CA(T-Af)，εAf=σAf/EA

(2)

式中：Ms和Mf分別為SMA馬氏體相變開始和結(jié)束溫度；As和Af分別為SMA奧氏體相變開始和結(jié)束溫度；CA和CM為SMA相變材料常數(shù)；T為SMA的溫度。本文中SMA的參數(shù)如表1所示。

表1 SMA參數(shù)列表Tab.1 List of parameters of SMA

滯洄阻尼是SMA的特征之一，圖2是當(dāng)εmax=εMf時(shí)，偽彈性SMA的等效阻尼比隨溫度的變化規(guī)律。結(jié)果表明當(dāng)溫度從0 ℃增加到50 ℃時(shí)，SMA等效阻尼比減少了75%，說明溫度的升高會顯著減弱SMA的阻尼能力。

圖2 SMA的等效阻尼比與溫度關(guān)系Fig.2 Relationship between equivalent damping ratio of SMA and temperature

2 動(dòng)力學(xué)方程及求解

2.1動(dòng)力學(xué)方程

SMA振動(dòng)系統(tǒng)如圖3所示，其中F(X)是形狀記憶合金引起的回復(fù)力，因?yàn)樵诒狙芯恐蠸MA是絲材，不承受壓力，所以F(X)具體表達(dá)式為

(3)

式中,A為SMA的橫截面積，且取SMA和彈簧的原長度為L。

圖3 動(dòng)力系統(tǒng)Fig.3 The dynamic system

容易建立該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如式(4)

(4)

式中，M,K,C分別為振動(dòng)系統(tǒng)中的質(zhì)量、剛度、結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)。

(5)

從ξ定義可知，ξ越大表明SMA提供的回復(fù)力在系統(tǒng)中所占比例越大，在本文中取ξ=2×10-6，此時(shí)SMA元件奧氏體彈性階段剛度是線性彈簧元件的1/10。此外取阻尼系數(shù)η=0.01。

2.2平均法求解

平均法是攝動(dòng)法的一種，可以被用來求解弱非線性動(dòng)力學(xué)方程。下面用平均法求解動(dòng)力學(xué)方程式(5)，并用數(shù)值計(jì)算對求解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)系統(tǒng)主共振響應(yīng)解為

x=ycos(γt+θ)

(6)

式中:y為振幅;θ為相角;兩者均是時(shí)間的緩變函數(shù)。令φ=γt+θ，用平均法對式(5)求解可得

(7a)

(7b)

其中,

對By，Bθ實(shí)際計(jì)算時(shí)，根據(jù)偽彈性SMA不同加卸載變形階段，將積分區(qū)間進(jìn)行劃分，積分的具體結(jié)果見附錄。

(8)

因?yàn)锽y和Bθ是y的分段函數(shù)，因此所得到的幅頻響應(yīng)方程也是分段的。如果給出所有的參數(shù)，就可以根據(jù)式(8)畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)圖。如圖4所示，是本系統(tǒng)典型的幅頻響應(yīng)曲線，圖中上下兩條點(diǎn)劃線分別表示y=εMs和y=εMf，此兩條線將幅頻響應(yīng)曲線分成三段，自下而上分別為第一段、第二段和第三段。此三段分別對應(yīng)著形狀記憶合金的奧氏體下的線性段、馬氏體相變段和相變完成段，第一段為線性段，第二段呈現(xiàn)軟特性，第三段呈現(xiàn)硬特性。圖中的圓點(diǎn)是數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，和平均法計(jì)算的結(jié)果非常接近，證明本文中平均法得到的幅頻方程是準(zhǔn)確的。

圖4 典型的幅頻響應(yīng)曲線和數(shù)值結(jié)果的比較Fig.4 The classical amplitude-frequency response curves and their numerical results

3 幅頻響應(yīng)分析

3.1溫度和外激勵(lì)幅值對幅頻響應(yīng)特性的影響

為了更直觀的了解溫度和外激力幅值對幅頻響應(yīng)特征的影響，圖5和圖6分別給出了不同外激勵(lì)幅值和不同溫度下的幅頻響應(yīng)曲線。圖5表明，外激勵(lì)幅值較低時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)明顯的軟特性，隨著外激勵(lì)幅值增大，系統(tǒng)的軟特性減弱，當(dāng)幅頻響應(yīng)極值超過馬氏體相變結(jié)束應(yīng)變后，系統(tǒng)由軟特性向硬特性過渡；在圖6中給出了2個(gè)特定外激勵(lì)幅值下不同環(huán)境溫度中的幅頻響應(yīng)曲線。在圖6(a)的曲線驗(yàn)證了環(huán)境溫度對曲線軟特性的影響，同時(shí)也表明，當(dāng)幅頻響應(yīng)的峰值處在第二段時(shí)，幅頻響應(yīng)的峰值隨著環(huán)境溫度增加而增加；從圖6(b)幅頻響應(yīng)的峰值達(dá)到第三段，溫度對其極值仍有一定影響；從圖6(a)和圖6(b)上總體上看，溫度和外激勵(lì)對幅頻響應(yīng)曲線的峰值和滯后性質(zhì)有著一定的影響，為了更加明確溫度和外激勵(lì)幅值對系統(tǒng)減振和調(diào)頻的作用，將在4.2中通過定義SMA系統(tǒng)和對應(yīng)線性系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)共振峰值比和共振頻率比，找出溫度和外激勵(lì)幅值對SMA減振性能的具體影響規(guī)律。

圖5 外激勵(lì)幅值對幅頻響應(yīng)性質(zhì)的影響(T=0 °C)Fig.5 Influence of external excitation amplitude on characteristics of amplitude-frequency responses (T=0 °C)

3.2減振與調(diào)頻效果分析

在SMA馬氏體相變開始前，系統(tǒng)處于線性階段，此時(shí)SMA沒有滯后效應(yīng)；當(dāng)SMA馬氏體相變開始后(y>εMs)，SMA的滯后效應(yīng)才起作用。本節(jié)就討論振動(dòng)幅值y>εMs時(shí)，SMA對系統(tǒng)的減振和調(diào)頻作用。

幅頻響應(yīng)式(8)對γ求導(dǎo)，得幅頻響應(yīng)的極值點(diǎn)(γm,ym)應(yīng)滿足的條件為

γm=1+Bθ(ym)

(9a)

f2=[ηym-2By(ym)]2

(9b)

式(9a)為幅頻響應(yīng)的骨架曲線，和激勵(lì)幅值無關(guān)。

將式(5)中由SMA產(chǎn)生的回復(fù)力σ用SMA奧氏體狀態(tài)下的彈性階段的本構(gòu)方程代替，得到線性化的動(dòng)力系統(tǒng)如下

(10)

(11)

(a) f=1×10-3

(b) f=2×10-3圖6 溫度對幅頻響應(yīng)性質(zhì)的影響Fig.6 The influence of temperature on characteristics of the amplitude-frequency response curves

(12a)

(12b)

根據(jù)式(12)可以做峰值比Y和頻率比Γ隨外激勵(lì)幅值的變化曲線，如圖7所示，該圖給出不同溫度下外激勵(lì)頻率對峰值比和頻率比的影響。

從圖7中可以清楚看出，在同一條曲線上存在著一個(gè)非光滑點(diǎn)，此非光滑點(diǎn)是由于式(12)的分段性質(zhì)造成的。在非光滑點(diǎn)之前，SMA的振動(dòng)幅值未能達(dá)到馬氏體相變結(jié)束時(shí)的應(yīng)變εMf；非光滑點(diǎn)以后，SMA振動(dòng)幅值已經(jīng)超過εMf?？傮w上來看，外激勵(lì)的幅值和SMA的溫度對峰值比和頻率比都有較為明顯的影響。共振峰值比和共振頻率均隨外激勵(lì)幅值的增加先減小后增大，但共振峰值比在SMA馬氏體相變完成前達(dá)到了極小值(0.46-0.65)，而共振頻率比是在SMA馬氏體相變完成時(shí)取得極小值。隨著溫度的增加，共振峰值比和頻率比均有不同程度的增加，當(dāng)溫度從0 ℃增加到50 ℃時(shí)，共振峰值比的極小值增加了39%，而共振頻率比的極小值增加了0.3%。故溫度對SMA的減振作用影響顯著，這是因?yàn)镾MA的阻尼效應(yīng)隨溫度增加而減弱。而Huang等通過SMA振子的自由振動(dòng)試驗(yàn)表明了SMA的阻尼減振作用會隨溫度升高而減弱，溫度從11 °C 增加至80 °C時(shí)，SMA的阻尼比減少85%。

(a) 共振峰值比

(b) 共振頻率比圖7 SMA的減振和調(diào)頻作用Fig.7 The damping and frequency tuning effects of SMA

4 結(jié) 論

研究了含SMA阻尼器振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和溫度、外激勵(lì)幅值之間的關(guān)系。具體研究結(jié)果如下：

(1) 溫度對SMA的阻尼性能有比較大的影響，當(dāng)SMA的最大應(yīng)變?nèi)●R氏相變結(jié)束應(yīng)變時(shí)，SMA的等效阻尼比在溫度從0 ℃增加到50 ℃時(shí)減小75%。

(2) 隨外激勵(lì)幅值增加，SMA的減振效果先增加后降低，且在SMA應(yīng)變極值處于馬氏體相變中段時(shí)其減振效果最好，此時(shí)含SMA系統(tǒng)的共振峰值可低至其派生線性系統(tǒng)的46%；隨溫度的增加SMA的減振作用顯著減弱，當(dāng)溫度從0 ℃增加到50 ℃時(shí)，含SMA系統(tǒng)與其線性派生系統(tǒng)共振峰值比的極小值增加39%。

(3) 根據(jù)本研究中的定量式(12)，可確定使SMA阻尼器具有理想減振效果的溫度和外激勵(lì)幅值，為SMA阻尼器的工程應(yīng)用提供指導(dǎo)。

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附錄：

在式(7)中By1，By2，By3，Bθ1，Bθ2，Bθ3的表達(dá)式為

By1=0

2σ30(ε1-y)-2σ20(y-εMs)]

2σ30(εAs-εMf)-2σ20(εMf-εMs)]

Bθ1=ξk1/2

Vibrationreductioncharacteristicsofasuperelasticshapememoryalloydamper

ZHANG Zhenhua1, SHENG Piao1, WANG Qinting1, WU Zhiqiang2

(1. Department of Mechanics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China;2. Department of Mechanics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In order to choose the reasonable application environment of a shape memory alloy (SMA) damper, the influences of environment parameters such as temperature and amplitude of excitation on the vibration reduction characteristics of the shape memory alloy damper were investigated. The dynamic equation of a vibration system was established where a bilinear model was adopted for the damper to describe the superealsticity of SMA, and then the equation was transformed into the dimensionless one. Subsequently, the primary resonance amplitude-frequency response of the dynamic system was acquired by the average method, and its accuracy was confirmed by the numerical method. Finally, the concepts of resonance amplitude ratio and resonance frequency ratio between the system with SMA damper and the corresponding linearized system were defined to express respectively the effects of vibration reduction and frequency tuning of the SMA damper, and the relationships between the environment parameters and the effects were studied. The results indicate that the vibration reduction effect will be weakened as the temperature increases, and the SMA damper will work well in a certain range of excitation amplitude. The results give a guide to choose the application environment for the SMA damper.

shape memory alloy; superelasticity; temperature; vibration reduction

TU352.1+2; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.026

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51308195)；河南省科技廳科技攻關(guān)項(xiàng)目(132102210252)

2016-10-17 修改稿收到日期：2016-12-26

張振華 男，博士,副教授，1981年5月生