李建鵬， 張 穎， 張 瑞， 曹 勇

(1.哈爾濱工業(yè)大學 深圳研究生院， 廣東 深圳 518055；2.深圳職業(yè)技術學院， 廣東 深圳 518172)

區(qū)間時變時滯離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制器設計

李建鵬1， 張 穎1， 張 瑞2， 曹 勇1

(1.哈爾濱工業(yè)大學 深圳研究生院， 廣東 深圳 518055；2.深圳職業(yè)技術學院， 廣東 深圳 518172)

含有區(qū)間狀態(tài)時滯的系統(tǒng)在實際中有重要的應用，如它可以方便地描述一類網(wǎng)絡控制系統(tǒng). 本文對含有區(qū)間狀態(tài)時滯的線性離散系統(tǒng)考慮了穩(wěn)定性分析與狀態(tài)反饋控制器設計問題. 為研究該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過引入二重求和和三重求和構造了新型的Lyapunov-Krasovskii泛函. 在對所構造的泛函處理其差分的過程中，利用了基于Abel引理的有限和不等式技術以及時滯分割方法，進而提出了該類系統(tǒng)穩(wěn)定的線性矩陣不等式充分性條件. 相對于以往的Lyapunov泛函，本文所提出的Lyapunov-Krasovskii泛函包含更多的時滯信息，而且所采用的差分處理方法不涉及原系統(tǒng)的模型變化，因而所提出的漸近穩(wěn)定充分條件具有較低保守性. 另外，相對于以前存在的自由權矩陣方法，本文所提出的方法具有較少的可行性變量矩陣，因而能有效地降低計算量. 基于所提出的穩(wěn)定性條件，本文進一步提出了無記憶狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器的設計方法. 所提出鎮(zhèn)定控制器設計方法也通過線性矩陣不等式給出，具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性. 最后，通過數(shù)值算例驗證了所提方法的正確性和有效性.

離散系統(tǒng)；區(qū)間時滯；穩(wěn)定性；狀態(tài)反饋

實際系統(tǒng)測量元件或測量過程中總是不可避免地存在信號傳遞時間延遲，這種現(xiàn)象普遍存在，也深受學者的廣泛關注和研究[1]. 區(qū)間時變時滯是學者們的研究熱點[2-5]，而網(wǎng)絡控制系統(tǒng)便是區(qū)間時變時滯動態(tài)系統(tǒng)的一個典型例子[6]. 利用頻域法對時滯系統(tǒng)進行分析和設計，其求解并不容易，因而基于時域方法對時滯系統(tǒng)進行分析得到了廣泛研究，特別是在系統(tǒng)存在不確定性時異常困難. 時滯相關穩(wěn)定性研究一般首先在時域空間內構造Lyapunov- Krasovskii泛函，通過模型變換以及交叉項界定技術或者自由權矩陣方法[7]得到系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件. 其中自由權矩陣法直接對二次型積分項進行界定，避免了模型變換，獲得了較小保守性的時滯相關穩(wěn)定性條件[8].

具有區(qū)間時滯的離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定以及H∞控制問題同樣也得到了廣泛關注. 文獻[9]結合廣義系統(tǒng)模型變換法和Moon不等式研究了離散系統(tǒng)的保代價控制問題. 文獻[10]研究了時變時滯離散系統(tǒng)輸出反饋H∞控制問題. 文獻[11]應用自由權矩陣法求得時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù).

本文結合增廣型泛函[12]與時滯分割方法[13]構造新型的Lyapunov-Krasovskii泛函，在處理泛函過程中采用基于Abel引理的有限和不等式技術[14],獲得了保守性更小的穩(wěn)定性分析結果.

1 問題描述

考慮離散時滯系統(tǒng)

(1)

式中:x(k)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，A,Ad∈Rn×n為恒定適維的系統(tǒng)矩陣，φ(k)為初始條件序列，時滯d(k)滿足：

0≤hm≤d(k)≤hM.

(2)

設計狀態(tài)反饋控制律

u(k)=Kx(k).

(3)

系統(tǒng)(1)在控制器(3)的作用下得到如下閉環(huán)系統(tǒng):

(4)

首先分析系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性條件，然后設計狀態(tài)反饋控制器(3)使系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定.

為便于表述，現(xiàn)將文中用到的引理歸納如下.

引理1[15](Schur補性質) 給定分塊矩陣

則下述條件是等價的：

1)S<0；

引理2[14]對于常數(shù)矩陣R，R=RT>0以及整數(shù)r2-r1>1有下述不等式成立：

其中

引理3[16]對于任意恒定適維矩陣Z>0及標量h2>h1>0，有下面不等式成立：

2 主要結果

考慮系統(tǒng)(1)，設N為大于零的正整數(shù)，利用hi,i=1,2,…,N+1,對時滯區(qū)間進行如下分割：

hm=h1

用δ表示子區(qū)間的長度：

其中?*」表示向下取整. 則有以下定理.

定理1對于給定的常數(shù)hm和hM，如果存在正定對稱矩陣

Qi，Zi，Ri，i=2,3,以及適當維數(shù)的自由矩陣Y使得如下線性矩陣不等式成立：

(5)

則系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的. 在式(5)中，

φ23=(P13-P12)TAd+Y2;

證明首先證明定理1在d(k)∈[h2,h3]子區(qū)間段時成立，進而將結論推廣到一般的時滯區(qū)間中，即d(k)=[hi,hi+1](i=1,2,…,N)時，定理1成立.

構造如下L-K泛函：

V2(k)=V21(k)+V22(k)+V23(k),

對V2(k)做前向差分，則有：

其中:

Δε2(k)=

ΔV22(k)=xT(k)(Q2+Q3)x(k)-xT(k-h2)Q2x(k-h2)-xT(k-h3)Q3x(k-h3)+

應用引理2，得到

ΔV22(k)≤xT(k)(Q2+Q3)x(k)-xT(k-

h2)Q2x(k-h2)-xT(k-h3)Q3x(k-h3)+

ΔV23(k)=hsΔxT(k)R2Δx(k)-

應用引理3，可得到：

ΔV23(k)≤hsΔxT(k)R2Δx(k)+hdΔxT(k)R3Δx(k)-

ΔV2(k)=ΔV21(k)+ΔV22(k)+ΔV23(k)+

2ηT(k)Y[x(k-d(k))-x(k-h3)-

ΘTP11Θ)η(k).

基于Schur補引理，即可證得當i=2時定理1成立.

不失一般性，當d(k)∈[hi,hi+1],i=1,2,…,N時，構造如下的L-K泛函：

ΔVi(k)=Vi1(k)+Vi2(k)+Vi3(k),

采用同樣的方法可證明d(k)∈[hi,hi+1],i=1,2,…，N時，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定.

說明1定理1針對每一段時滯分割區(qū)間設計了新的L-K泛函，其中增廣項Vi1(k),i=1,2,…,N和三重求和項Vi3(k),i=1,2,…,N,充分利用了系統(tǒng)的時滯信息，為降低結論的保守性起到積極作用. 在泛函差分處理過程中不涉及模型變換，而是利用文獻[14]所提出的基于Abel引理的有限和不等式，直接給出Lyapunov泛函差分更緊的上界，因此可減少結論的保守性和計算的復雜性.

根據(jù)定理1可以進一步推導出使離散時滯系統(tǒng)(4)保持漸近穩(wěn)定的鎮(zhèn)定器設計方法.

定理2考慮離散時滯系統(tǒng)(4)，給定時滯上下界hm、hM，如果存在正定對稱矩陣

i=1,2,…,N.

(6)

則在如下狀態(tài)反饋控制器的作用下系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定:

其中:

證明用Ak=A+BuK替換定理1條件中的A，可得

(7)

其中

[φij]6×6中其它項與定理1中的[φij]6×6相同.

將式(7)左乘mat=diag{I,I,P11U-1}，右乘matT得到

由于

-P11U-1P11≤U-2P11.

則有下面不等式成立：

(8)

將式(8)左右同乘

(9)

其中i=1,2,…,N，因為

應用矩陣的Schur補性質可知式(9)等價于式(6)，因此定理2得證.

3 仿真算例

例1考慮時變時滯離散系統(tǒng)：

給定時滯下限hm，利用定理1得到的時滯上限hM列于表1中.

表1 給定hm使系統(tǒng)穩(wěn)定的hM

例2考慮如下時滯系統(tǒng)

圖1 開環(huán)響應曲線

對于給定的時滯下界hm，運用定理2，選取N=2可得到保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時滯上界hM以及控制器K，分別列于表2中.

表2給定時滯下限時滯上界及控制器增益

Tab.2 Delay upper bound and controller gain for given delay lower bound

hmhM控制器增益K212[-0.3313 -0.7220]513[-0.3456 -0.7442]815[-0.3811 -0.7693]1118[-0.4208 -0.8197]

圖2 閉環(huán)響應曲線

4 結 論

基于一種新的時滯分割方法，研究了一類區(qū)間時變時滯離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和狀態(tài)反饋控制器設計問題，得到新的低保守性結果. 具體而言，在構造L-K泛函時，使用了增廣型泛函和時滯分割相結合的方法，在泛函的差分處理過程中借助于基于Abel引理的有限和不等式技術保證了結論具有較小的保守性. 在數(shù)值仿真算例中，通過與以往結果進行比較，驗證了所得的結果正確和有效.

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Stabilityanalysisandcontrollerdesignfordiscrete-timesystemswithintervaltime-varyingdelays

LI Jianpeng1, ZHANG Ying1, ZHANG Rui2, CAO Yong1

(1. Harbin Institute of Technology Shenzhen Graduate School, Shenzhen 518055, China; 2. Shenzhen Polytechnic, Shenzhen 518172, China)

The systems with interval time-delay appearing in state variable have wide application, and can be used to describe a class of networked control systems. The stability analysis and the state feedback controller design are investigated for linear discrete-time systems with interval time delays. In order to investigate the stability, a new Lyapunov-Krasovskii functional is proposed by introducing the double summation and triple summation. In order to estimate the difference of the Lyapunov-Krasovskii functional, the Abel lemma based finite sum inequality technique and the time delay segmentation method are used as tools, and thus a sufficient condition is presented for the asymptotic stability of the considered systems in terms of linear matrix inequalities. Compared to the traditional Lyapunov functional, since the proposed Lyapunov-Krasovskii functional contains more information on delays, and the approach for estimating the difference does not involve model transformation, thus the presented sufficient condition for the asymptotic stability of the system is less conservative. In addition, compared with the previous free-weighting matrix method there exist less feasible matrix variables in the current method. Thus, the computational load can be effectively reduced. According to the derived stability criterion, a design approach for non-memory state feedback controllers is presented in terms of linear matrix inequalities, and thus has good numerical stability. Finally a numerical example is employed to illustrate the effectiveness of the methods proposed in this paper.

discrete-time system; interval time delay; stability; state feedback

10.11918/j.issn.0367-6234.201701040

TU375.2

A

0367-6234(2017)11-0018-06

2017-01-01

國家自然科學基金重大項目(61690210，61690212);國家自然科學基金(61603111)

李建鵬(1991—)，男，碩士研究生

張 穎，zhangyinghit@126.com

(編輯苗秀芝)