張和平，裴昌根，宋乃慶

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小學(xué)生幾何直觀能力測評模型的構(gòu)建探究

張和平1，3，裴昌根1，2，宋乃慶1，2

（1．中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新西南大學(xué)分中心，重慶 400715；2．西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715；3．凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

小學(xué)生；幾何直觀能力；測評指標(biāo)；測評模型

幾何直觀能力是人思維能力發(fā)展的基礎(chǔ)，是公民的重要素養(yǎng)，也是基本素養(yǎng)，對人的終身發(fā)展意義重大．幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[1]（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的一個核心概念，也是中國新提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一[2]．隨著《標(biāo)準(zhǔn)》的頒布，學(xué)界對“幾何直觀能力”雖有不少研究，但主要關(guān)注其內(nèi)涵[3]與課堂教學(xué)[4]方面，對學(xué)生幾何直觀能力的測評研究鮮有．幾何直觀能力測評模型是科學(xué)、客觀檢測學(xué)生幾何直觀能力的一種定量評價手段，在當(dāng)前中國注重發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的改革背景下，構(gòu)建小學(xué)生幾何直觀能力的測評模型顯得重要而迫切．通過文獻(xiàn)分析、實證調(diào)查等方法，借鑒學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)測評模型[5]、小學(xué)低段數(shù)學(xué)符號意識測評指標(biāo)體系[6]等已有測評模型研究思路，可界定幾何直觀能力的操作性定義，探索其測評指標(biāo)，基于因子分析法和專家評分兩種方法構(gòu)建小學(xué)生幾何直觀能力的測評模型，并對模型進(jìn)行初步檢驗．

1 相關(guān)研究

1.1 幾何直觀能力內(nèi)涵的研究

關(guān)于幾何直觀能力的認(rèn)識，國內(nèi)外學(xué)界有不同的看法．早在1984年，徐本順、商應(yīng)鋼在“關(guān)于思維中的幾何直觀問題”一文中提出：“借助于幾何直觀進(jìn)行思維，不妨稱它為幾何直觀思維．這種思維既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點，它屬于中間思維形式．”[7]中國數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知，即可稱為幾何直觀．”[8]Jones在一文中指出，“首先，幾何直觀在解決幾何問題時起到關(guān)鍵決策作用；其次，直觀的一些機(jī)制在解決問題的過程中的某個環(huán)節(jié)是有影響的．”[9]在2004年召開的第十屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-10）上，F(xiàn)ujita和Jones所作的報告把幾何直觀（geometrical intuition）定義為，“作為在心里創(chuàng)建和操縱幾何圖形的一種技能，能看到幾何特性，通過圖像聯(lián)系幾何概念和定理，并決定從哪里開始什么時候解決幾何問題．”[10]

《標(biāo)準(zhǔn)》把“幾何直觀”界定為：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題”[1]《標(biāo)準(zhǔn)》頒布后，幾何直觀能力培養(yǎng)引起了更多的理論研究者和實踐者的重視．有學(xué)者認(rèn)為：“幾何直觀是指，借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力．”[11]也有學(xué)者提出“幾何直觀是種意識，也是種技能與能力，更是種思維方式”[12]的多種表現(xiàn)形式．還有學(xué)者把幾何直觀能力劃分為直觀感知和直觀洞察兩個能力層次[13]．

由已有文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，幾何直觀能力主要涉及認(rèn)識基本圖形、直觀感知、直觀洞察、利用圖形描述問題、利用圖形分析問題、利用圖形解決問題．因此，幾何直觀能力是指形成圖形的認(rèn)識并利用圖形描述與分析數(shù)學(xué)問題的能力．

1.2 測評模型的研究

2 操作性定義及測評指標(biāo)

2.1 操作性定義

基于對已有研究的分析，初步將小學(xué)生幾何直觀能力的行為表現(xiàn)劃分為認(rèn)識基本圖形、直觀感知、空間想象、直觀洞察、數(shù)形結(jié)合、利用圖形描述問題、利用圖形分析問題、利用圖形解決問題等8個方面，并藉此設(shè)計訪談提綱．

經(jīng)過多次訪談與論證，調(diào)整了原有行為表現(xiàn)，舍去直觀感知、空間想象、直觀洞察、數(shù)形結(jié)合4個指標(biāo)，接受教育專家與一線教師的一些意見，增加了“由具體物體抽象出圖形”的行為指標(biāo)，初步構(gòu)建了小學(xué)生幾何直觀能力的操作性定義：（1）學(xué)生由具體物體抽象出圖形；（2）認(rèn)識圖形并能用符號表示圖形，會畫基本的圖形；（3）利用圖形描述問題，主要是利用圖形表示數(shù)以及運算、數(shù)學(xué)問題，把復(fù)雜問題變得簡明、形象；（4）利用圖形分析問題，探索解決問題的思路；（5）利用圖形解決問題，通過圖形建立數(shù)量關(guān)系，得出結(jié)果．這個操作性定義是探索測評指標(biāo)和構(gòu)建測評模型的重要支撐．

2.2 測評指標(biāo)的初步探索

按照操作性定義，綜合教育專家與一線教師意見，初步構(gòu)設(shè)了小學(xué)生幾何直觀能力的測評指標(biāo)，即由具體物體抽象出圖形、認(rèn)識圖形、利用圖形描述問題、利用圖形分析問題、利用圖形解決問題5個維度，每個維度下劃分出不同的行為觀測指標(biāo)（觀測變量）．

組織重慶、貴州兩地的教育專家、一線教師和教研員，共同編制了小學(xué)生幾何直觀能力的測試題．試題編制的基本構(gòu)想是將小學(xué)生幾何直觀能力劃分為5個維度，每個維度預(yù)設(shè)相應(yīng)的行為觀測指標(biāo)．在貴州抽取3所具有代表性學(xué)校四年級共122名學(xué)生進(jìn)行初試，經(jīng)討論與修改，形成比較正式的測試題．該測試卷共10個題項（TM1、TM2、……、TM10），各題項具體反映的測試維度如表1所示．

表1 測試題項以及具體對應(yīng)測評指標(biāo)維度

正式施測，抽取貴州省3所具有代表性學(xué)校的四年級學(xué)生進(jìn)行測試，共發(fā)放問卷541份，收回520份有效測試卷，有效率為96%．整套測試題的Cronbachs Alpha系數(shù)為0.624，依據(jù)已有研究成果[16]，該測驗是可以接受．以10個測試題的得分作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性因子分析，Kaiser-Meyer-Olkin值是0.752，表示各題項間有共同因素存在，可以進(jìn)行因子分析．用主成份分析法提取特征值大于1的因子，其旋轉(zhuǎn)成份矩陣如表2所示．

由表2可知，對照原假設(shè)題項所反映的測試項目，并綜合考慮各因素的共同性和在各抽取因子上的負(fù)荷量差異，得到以下結(jié)果：（1）從10個反映小學(xué)生幾何直觀能力的測試題中提取出3個主成份，即把預(yù)設(shè)的5個測評指標(biāo)降維成3個測評指標(biāo)；（2）“由具體物體抽象出圖形”、“認(rèn)識圖形”兩個指標(biāo)被提取到一起，“利用圖形分析問題”、“利用圖形解決問題”兩個指標(biāo)被提取到一起．主要基于以下原因：研究認(rèn)為“具體物體抽象出圖形”、“認(rèn)識圖形”都屬于學(xué)生在認(rèn)識和掌握圖形過程之中的一種能力表現(xiàn)，因此將提取的這一成份重新組合記為“形成圖形的認(rèn)識”，即能由具體物體抽象出圖形，形成對圖形及其形狀的認(rèn)識，并會畫基本圖形的能力；而對于“利用圖形分析問題”、“利用圖形解決問題”的合并重組，采納了專家的意見“針對幾何直觀，主要體現(xiàn)在分析問題上，解決問題可以看成是分析問題的一個組成部分”，以及結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》對“幾何直觀”描述性界定即“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題”，因此把提取的這一成份記為“利用圖形分析問題”，把“利用圖形解決問題”作為“利用圖形分析問題”的一個二級測評指標(biāo)．事實上，反過來認(rèn)真分析《標(biāo)準(zhǔn)》對“幾何直觀”描述性定義，發(fā)現(xiàn)有3個關(guān)鍵詞（或是3個過程）：一是（掌握）圖形，二是（利用圖形）描述問題，三是（利用圖形）分析問題，這和探索性因子分析結(jié)果不謀而合，形成相互佐證．

表2 旋轉(zhuǎn)成份矩陣a

綜上，從原構(gòu)想的5個測評指標(biāo)中提取并重新整合得到了3個一級測評指標(biāo)，即形成圖形的認(rèn)識、利用圖形描述問題和利用圖形分析問題．基于操作性定義，并通過對專家反復(fù)的咨詢，也確定了3×3個二級指標(biāo)，如表3所示．

表3 小學(xué)生幾何直觀能力測評指標(biāo)及符號表示

2.3 測評指標(biāo)的認(rèn)同度與驗證性分析

經(jīng)文獻(xiàn)梳理和探索性因子分析提取小學(xué)生幾何直觀能力的測評指標(biāo)，需要對指標(biāo)進(jìn)行驗分析，主要考察高校教育專家、一線小學(xué)教師與教研員等對測評指標(biāo)的認(rèn)同度，以及二級指標(biāo)對一級指標(biāo)的解釋度等．研究者將小學(xué)生幾何直觀能力測評指標(biāo)編制成問卷，通過問卷調(diào)查收集數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證性因子分析．該問卷分兩個部分，第一部分是對9個二級測評指標(biāo)的認(rèn)同度進(jìn)行評價，采用李克特5級量表記分，選項“完全同意”、“較同意”、“不清楚”、“較不同意”、“完全不同意”分別記為5分、4分、3分、2分和1分，一方面是對探索出的測評指標(biāo)驗證其認(rèn)同度與解釋度，另一方面是借助結(jié)構(gòu)方程模型計算因素負(fù)荷量確定指標(biāo)權(quán)重；第二部分是對3個一級指標(biāo)的重要性進(jìn)行評分（共為100分），旨在通過專家評分法確定測評指標(biāo)的權(quán)重．然后，通過兩種方法綜合構(gòu)建測評模型．

利用所編制的調(diào)查問卷對重慶市數(shù)學(xué)培訓(xùn)班學(xué)員進(jìn)行初試，經(jīng)修改后形成正式的問卷．正式問卷的施測對象來自重慶、貴州、海南、吉林、浙江等省（市）承辦的小學(xué)數(shù)學(xué)教師國家（?。┘壟嘤?xùn)班學(xué)員和培訓(xùn)專家，共發(fā)放調(diào)查問卷480份，回收有效問卷共431份（其中教育專家23人，小學(xué)教師與教研員403人，其他5人），有效率為90％．問卷的Cronbachs Alpha系數(shù)為0.839，調(diào)查問卷具有較高信度．

2.3.1 測評指標(biāo)的認(rèn)同度分析

對問卷中的9個二級指標(biāo)進(jìn)行了認(rèn)同度分析，結(jié)果如圖1所示（1:3代表的指標(biāo)見表3）．

圖1 測評指標(biāo)的認(rèn)同度調(diào)查結(jié)果

從圖1看出，所有指標(biāo)的認(rèn)同度都比較高，達(dá)到4.17以上．不僅如此，從認(rèn)同度圖形變化趨勢中還發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)具有一定的規(guī)律性，即9個測評指標(biāo)中前3個指標(biāo)認(rèn)同度均值整體最高，其次是后3個指標(biāo)，中間3個指標(biāo)認(rèn)同度均值整體最低．從上述數(shù)據(jù)分析可知，一方面說明調(diào)查對象對“形成圖形的認(rèn)識”、“利用圖形分析問題”的認(rèn)同度高于“利用圖形描述問題”，另一方面也體現(xiàn)了教育專家、小學(xué)教師與教研員對“用圖形來表示數(shù)及其運算”（認(rèn)同度為4.17）可能關(guān)注較少．

2.3.2 測評指標(biāo)的驗證性因子分析

利用二級測評指標(biāo)調(diào)查問卷數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證性因子分析（），并用AMOS24.0軟件作為計算工具，結(jié)果如圖2和表4所示．

圖2 驗證性因子分析結(jié)果

表4 驗證性因子分析適配指標(biāo)結(jié)果

從圖2中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，因素負(fù)荷量介于0.54至0.89之間，說明模型的基本適配度良好[17]．從表4的數(shù)據(jù)結(jié)果可知，預(yù)設(shè)模型的基本適配指標(biāo)均達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，表示樣本數(shù)據(jù)與預(yù)設(shè)模型的擬合度良好，初步說明所劃分的測評指標(biāo)科學(xué)、合理。

3 測評模型的構(gòu)建

基于前面對測評模型的相關(guān)理論分析，為保證構(gòu)建測評模型的可靠性，利用因子分析法和專家評分法綜合嘗試構(gòu)建小學(xué)生幾何直觀能力的測評模型．

3.1 利用因子分析法構(gòu)建測評模型

在前面進(jìn)行的驗證性因子分析中發(fā)現(xiàn)，3個一級指標(biāo)之間存在較高的關(guān)聯(lián)度，分別是0.71、0.89、0.78，且樣本數(shù)據(jù)與預(yù)設(shè)模型適配較好，說明該研究可能存在一個較高階潛在變量可以解釋這3個維度，因此進(jìn)行了二階驗證性分析，結(jié)果如圖3所示．

圖3 驗證性因子分析結(jié)構(gòu)方程模型標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)

表5 二階驗證性分析適配指標(biāo)結(jié)果

由表5數(shù)據(jù)可知，樣本數(shù)據(jù)與預(yù)設(shè)模型具有良好的擬合度和適配度．由于結(jié)構(gòu)方程模型的因素負(fù)荷量表示因子之間關(guān)系密切程度[18]，因素負(fù)荷量越大表示該因子越重要．因此，依據(jù)因素負(fù)荷量的大小可以確定因子的權(quán)數(shù)．借鑒已有的測評模型構(gòu)建方法，利用圖3中的因素負(fù)荷量值，經(jīng)計算并標(biāo)準(zhǔn)化后3個一級指標(biāo)“形成圖形的認(rèn)識”、“利用圖形描述問題”、“利用圖形分析問題”在幾何直觀能力中的重要程度比例為0.29:0.34:0.37．對二級指標(biāo)進(jìn)行迭代運算，并標(biāo)準(zhǔn)化，“形成圖形的認(rèn)識”中3個觀測變量比值為0.32:0.32:0.36，“利用圖形描述問題”中的觀測變量比值為0.30:0.36:0.34，“利用圖形分析問題”中的觀測變量比值為0.35:0.32:0.33．用數(shù)學(xué)線性表達(dá)式表示，可得小學(xué)生幾何直觀能力測評模型為：

并且，

利用綜合權(quán)重表示測評模型，可寫為：

3.2 運用專家評分法構(gòu)建測評模型

設(shè)計專家評分方法，旨在從中收集到更豐富的信息，而且便于對部分專家的評分進(jìn)行有針對性的回訪．對問卷第二部分3個指標(biāo)數(shù)據(jù)求均值，結(jié)果依次是0.33、0.31、0.36．借鑒相關(guān)研究的線性描述方式，基于對模型應(yīng)該好理解、好測算的原則，按照調(diào)查結(jié)果的重要程度均值構(gòu)建小學(xué)生幾何直觀能力測評模型的數(shù)學(xué)線性表達(dá)式為：

其中、、、所代表的意義與①式相同．專家評分法更表現(xiàn)的是質(zhì)性研究，考慮到測試實際情況的需要，只要求給3個一級指標(biāo)的重要程度評分．

3.3 小學(xué)生幾何直觀能力測評模型表述

4 模型的初步檢驗

測評模型的構(gòu)建，需要對其進(jìn)行必要的檢驗．研究檢驗?zāi)Ｐ秃侠硇缘幕痉椒ㄓ卸阂皇菍＜覍δＰ徒Y(jié)構(gòu)的質(zhì)性判斷；二是利用測評指標(biāo)及其模型編制測試題并實施測試，考察模型的可操作性、可靠性與延展性．

4.1 專家判斷

4.2 測試檢驗

研究構(gòu)建的測評指標(biāo)和模型的重要目的之一是為了編制小學(xué)生幾何直觀能力的測試卷，并用測試題測試分析學(xué)生的能力特征．借鑒TIMSS關(guān)于內(nèi)容維度（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率）的比例，按照上述測評指標(biāo)和測評模型編制成一套測試卷，經(jīng)過組織西南大學(xué)教育專家和貴州的小學(xué)教師與教研員討論，以及初試與修改，最后形成一套由10個題目構(gòu)成的“小學(xué)生幾何直觀能力的測試題”．研究抽取貴州、重慶等有代表性學(xué)校的四年級、五年級、六年級學(xué)生進(jìn)行測試，發(fā)放試卷1?192份，收回有效問卷1?093份，有效率92%．對試卷進(jìn)行初步分析，整套測試題的Cronbachs Alpha系數(shù)為0.616，表示該測驗可以接受．經(jīng)計算，四、五、六年級成績均分分別是57.41、69.03和77.84，說明測試題檢測結(jié)果能反映小學(xué)生的幾何直觀能力會隨著年級的增高而提升，經(jīng)方差檢驗?zāi)昙壷g的成績存在顯著性差異（=0.00<0.05，=133.161）．因此，研究構(gòu)建的小學(xué)生幾何直觀能力測評指標(biāo)及其模型符合專家們的經(jīng)驗和認(rèn)識，獲得專家較好的認(rèn)同．按照測評指標(biāo)及模型編制的測試題，經(jīng)檢測分析，測試題能在大范圍進(jìn)行測試，具有可操作性，能反映小學(xué)生幾何直觀能力會隨著年級的增高而提升的特征．

5 討論與結(jié)論

5.1 討論

5.1.1 幾何直觀能力測評指標(biāo)關(guān)系及權(quán)重值的復(fù)雜性

研究是基于文獻(xiàn)梳理、專家咨詢以及《標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上經(jīng)因素分析確定測評指標(biāo)，提出3個一級指標(biāo)和9個二級指標(biāo)，并獲得較高的認(rèn)同度，但從文獻(xiàn)梳理和操作性定義探索可知，幾何直觀能力測評涉及數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三大課程內(nèi)容領(lǐng)域，確定測評指標(biāo)難度很大，可能存在多種測評視角．研究在構(gòu)建測評模型過程中主要考慮對象是針對整個小學(xué)，3個能力指標(biāo)權(quán)重比例為3:3:4，但不同年齡段的學(xué)生各個指標(biāo)的能力要求可能是存在差異的，一年級可能注重“形成圖形的認(rèn)識”能力培養(yǎng)，而六年級可能更注重培養(yǎng)學(xué)生“利用圖形分析問題”的能力，因此，在使用測評模型過程中要根據(jù)需要適當(dāng)調(diào)整．

5.1.2 利用因子分析和專家評分兩種方法綜合構(gòu)建測評模型

研究采用因子分析法和專家評分法分別構(gòu)建了兩個測評模型①與②．經(jīng)四舍五入取整十?dāng)?shù)后3個能力指標(biāo)的系數(shù)比例都是3:3:4，一定程度上說明兩種方法構(gòu)建的模型基本具有一致性．因子分析法構(gòu)建測評模型主要基于實證數(shù)據(jù)的分析，具有客觀性；而專家評分法主要依靠專家的專業(yè)知識與經(jīng)驗，具有主觀性，將二者結(jié)合起來，是定量研究與定性研究相結(jié)合的一種構(gòu)建方法，既客觀又符合實際，提高了研究結(jié)果的可靠性．

5.2 結(jié)論

研究得出如下主要結(jié)論：

（1）初步形成“小學(xué)生幾何直觀能力測評指標(biāo)”，包括3個一級指標(biāo)和9個二級指標(biāo)．

（3）經(jīng)檢驗，該測評模型可操作，數(shù)據(jù)結(jié)果與專家判斷基本一致．

總之，該模型是測評小學(xué)生幾何直觀能力科學(xué)、可靠且可操作的工具．

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[13] 曹培英．跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實踐解讀之四——幾何直觀（上）[J]．小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（6）：12-15．

[14] 蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶．小學(xué)數(shù)學(xué)教材難度模型研究[J]．教育學(xué)報，2013，9（5）：97-105．

[15] 朱亞麗．義務(wù)教育資源配置均衡發(fā)展測評模型的構(gòu)建研究——基于對重慶統(tǒng)籌城鄉(xiāng)教育的調(diào)研[D]．重慶：西南大學(xué)，2015：78-85．

[16] 薩克斯 J，牛頓 J W．教育和心理的測量與評價原理[M]．王昌海，張樹東，趙麗波，等譯．4版．南京：江蘇教育出版社，2002：301．

[17] 吳明?。Y(jié)構(gòu)方程模型——AMOS的操作與應(yīng)用[M]．重慶：重慶大學(xué)出版社，2010：224．

[18] 吳明隆．問卷統(tǒng)計分析實務(wù)——SPSS操作與應(yīng)用[M]．重慶：重慶大學(xué)出版社，2010：188．

Study on Constructing Assessment Model of Geometrical Intuition Ability for Elementary School Students

ZHANG He-ping1, 3, PEI Chang-gen1, 2, SONG Nai-qing1, 2

(1. Center of Southwest University of National Innovation Center for Assessment of Basic Education Quality, Chongqing 400715, China;2. Mathematics and Statistics Institute, Southwest University, Chongqing 400715, China;3. Kaili University, Guizhou Kaili 556011, China)

elementary school students; geometrical intuition ability; assessment indicators; assessment model

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G620

A

1004–9894（2017）05–0049–05

張和平，裴昌根，宋乃慶．小學(xué)生幾何直觀能力測評模型的構(gòu)建探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（5）：49-53．

2017–09–06

2015年中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心項目——小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的評價、監(jiān)測與改進(jìn)（201506BZK02）；貴州省2017年科技廳項目——幾何直觀能力測評模型構(gòu)建及實證研究（黔科合LH字[2017]7164號）

張和平（1974—），男，貴州從江人，凱里學(xué)院副教授，西南大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育與教育測評研究．