劉文東,李華濱,包為民

(1 北京航天自動控制研究所,北京 100854; 2 北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076; 3 中國航天科技集團公司,北京 100037)

降階控制器性能指標(biāo)權(quán)系數(shù)設(shè)計方法*

劉文東1,李華濱2,包為民3

(1 北京航天自動控制研究所,北京 100854; 2 北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076; 3 中國航天科技集團公司,北京 100037)

為解決低階反饋控制高階系統(tǒng)的合理性問題,利用基于閉環(huán)系統(tǒng)時間尺度特性分析方法,分析了控制性能指標(biāo)中權(quán)系數(shù)對六階滾轉(zhuǎn)駕駛儀系統(tǒng)時間尺度特性的影響,討論了原系統(tǒng)二階、四階控制對反饋狀態(tài)的選取與系統(tǒng)當(dāng)前慢模態(tài)的差別,對不同控制的控制性能進行了仿真對比。結(jié)果表明:只有通過設(shè)計控制性能指標(biāo)中的權(quán)系數(shù),使得反饋狀態(tài)變量完全包含當(dāng)前系統(tǒng)慢模態(tài)時,對系統(tǒng)的降階控制才能達到控制性能要求。

兩時間尺度;LQR設(shè)計;降階控制;權(quán)系數(shù)

0 引言

降階控制在控制系統(tǒng)設(shè)計中有廣泛的應(yīng)用。對恰當(dāng)?shù)谋豢貙ο蠼惦A模型設(shè)計的控制律同樣能夠滿足期望的性能要求。之所以利用降階控制,一方面是由于系統(tǒng)建模的局限性,設(shè)計者面對的被控對象模型階數(shù)往往低于真實對象階數(shù);另一方面是由于原系統(tǒng)求解復(fù)雜,對系統(tǒng)降階設(shè)計可以簡化計算,滿足特定任務(wù)需求。

廣義上講,幾乎所有的系統(tǒng)都是多尺度系統(tǒng)[1]。對于多尺度系統(tǒng)中最典型的兩尺度問題,可將原系統(tǒng)拆解為兩個子系統(tǒng)分別求解。Shinar在攔截問題[2],Ardema在軌跡規(guī)劃問題[3]上都利用了系統(tǒng)的兩尺度特性,然而其對快慢變量的選取依靠的是經(jīng)驗。Kokotovic分析了線性系統(tǒng)的快慢模態(tài)分離方法[4],并證明了對慢模態(tài)設(shè)計LQR控制器[5]的性能指標(biāo),但其控制性能對系統(tǒng)參數(shù)變化敏感。

在古典控制方面,Nesline針對LQR降階控制的穩(wěn)定性問題提出了關(guān)于性能指標(biāo)權(quán)系數(shù)矩陣的建議[6],但其并未對系統(tǒng)能否使用降階控制這一前提進行驗證。文中利用閉環(huán)尺度分塊方法對文獻[7]中六階模型進行了尺度分析,調(diào)節(jié)尺度差μ觀測系統(tǒng)降階控制包含的控制量,并將其控制性能與二階、四階控制性能對比,得到了設(shè)計降階控制所需包含的最少控制量及控制性能對指標(biāo)權(quán)系數(shù)的要求。

1 兩尺度數(shù)學(xué)模型

對于線性定常系統(tǒng):

y=Cx

(1)

若通過反饋控制使得閉環(huán)系統(tǒng)具有兩尺度特性,則可通過一系列變換將式(1)轉(zhuǎn)化為下式的形式:

y=C1x1+C2x2

(2)

式中:μ為小于1的小量;x1、x2維度分別為n1×1和n2×1。進而可將其分解為兩個快慢子系統(tǒng)近似。

慢子系統(tǒng)為:

ys=Coxs+Dous

(3)

(4)

快子系統(tǒng)為:

yf=C2xf

(5)

原系統(tǒng)的控制可用兩個子系統(tǒng)的控制復(fù)合近似為:

uc=us+uf=Goxs+G2xf

(6)

圖1 系統(tǒng)框圖

2 降階控制器設(shè)計及性能指標(biāo)分析

對于輸出調(diào)節(jié)器問題,控制性能指標(biāo)為:

(7)

由文獻[5]知,兩尺度系統(tǒng)復(fù)合控制為:

(8)

(9)

對于式(9)得到的降階控制,不能依據(jù)LQR方法[8]得到其性能指標(biāo)。文獻[5]指出,通過解Riccati方程:

0=Pr(A-BF)+(A-BF)TPr+FTRF+CTC

(10)

3 降階控制器設(shè)計

3.1 時間尺度分析

對系統(tǒng)的認(rèn)識越深入,系統(tǒng)模型就越復(fù)雜。通常只能根據(jù)已知的系統(tǒng)模型設(shè)計控制器去控制真實的更高階數(shù)的系統(tǒng)。而有時雖然已知系統(tǒng)的高階模型,仍希望能夠通過設(shè)計低階而有效的控制器對其進行控制。

對于滾轉(zhuǎn)駕駛儀,二階、四階、六階模型如圖1所示,控制性能指標(biāo)為:

(11)

表1 模型參數(shù)

根據(jù)二階、四階模型分別設(shè)計的LQR最優(yōu)反饋控制為:

(12)

式中:C21=3,C22=0.103,C41=3,C42=0.127,C43=8.81,C44=0.030 9。

文獻[6]已經(jīng)指出,若利用δ2c、δ4c控制六階系統(tǒng),則δCMX必須小于某一數(shù)值才能保證系統(tǒng)穩(wěn)定。雖然此時穩(wěn)定性得以保證,但使用二階、四階控制的合理性并未得到驗證,即二階、四階控制的控制性能無法保證。

根據(jù)多尺度理論[9],高階系統(tǒng)能夠被低階控制的前提即為系統(tǒng)呈現(xiàn)多時間尺度特性。考慮到六階系統(tǒng)可以寫成如下狀態(tài)空間形式:

(13)

若令尺度差μ=0.3,依據(jù)閉環(huán)兩尺度分塊方法,隨著δCMX以0.1°的間隔從0°到10°變化,整個系統(tǒng)呈現(xiàn)的時間尺度特性如表2所示。

表2 系統(tǒng)時間尺度特性(μ=0.3)

由于尺度差μ直接影響系統(tǒng)快慢模態(tài)分塊結(jié)果,而該參數(shù)的設(shè)置應(yīng)結(jié)合具體系統(tǒng)實際情況。故令μ=0.8,重新觀察系統(tǒng)時間尺度特性。

表3 系統(tǒng)時間尺度特性(μ=0.8)

綜合表2、表3可見,尺度差μ越大,慢模態(tài)的最低階數(shù)就越高,系統(tǒng)能夠使用降階控制的最低階數(shù)就越高。同樣也可以看到,系統(tǒng)的時間尺度特性隨控制性能指標(biāo)中的權(quán)系數(shù)變化,在針對不同控制系統(tǒng)設(shè)計降階控制器時,有必要分析其合理的降階系統(tǒng)階數(shù)。

3.2 控制性能對比分析

在上節(jié)分析了系統(tǒng)時間特性的基礎(chǔ)上,對二階控制、四階控制、基于閉環(huán)尺度特性的降階控制及全狀態(tài)反饋的控制性能進行對比分析。

由圖2可見,當(dāng)δCMX∈(0°,1.2°]時,系統(tǒng)的慢模態(tài)與二階控制選取的狀態(tài)相符,故初始段Jr位于J2下方,與J2幾乎重合,降階控制性能略優(yōu)于二階控制。由于此段四階控制包含了所有慢模態(tài)及部分快模態(tài),故其控制性能J4要優(yōu)于J2、Jr,略低于全狀態(tài)反饋J6。δCMX位于其他區(qū)間時,依據(jù)系統(tǒng)時間尺度特性,系統(tǒng)不再適合使用降階控制,即使其目前控制性能指標(biāo)未發(fā)散,也不可預(yù)知其發(fā)展趨勢,設(shè)計δCMX時應(yīng)避免其值落入該區(qū)域。

圖2 降階控制與二階、四階控制性能(μ=0.3)

由圖3可見,初始段δCMX∈(0°,3.6°],系統(tǒng)呈現(xiàn)四階慢模態(tài)特性,此時利用二階控制相當(dāng)于主觀降低被控對象階數(shù),其控制性能J2迅速惡化。而四階控制選取的狀態(tài)與慢模態(tài)相符,故初始段J4與Jr接近。對于中間段δCMX∈[3.7°,8.4°]由于不能使用降階控制,該段不予討論。對于末端δCMX∈[8.5°,10°],降階控制無論階數(shù)或者控制性能都更接近全狀態(tài)反饋,然而使用降階控制的目的就是為了簡化計算,末端對系統(tǒng)的簡化不大,故選取權(quán)系數(shù)δCMX時也應(yīng)避免選取在該段。

圖3 降階控制與二階、四階控制性能(μ=0.8)

綜合圖2、圖3可知,若通過選取δCMX數(shù)值,使反饋的控制量已經(jīng)包含當(dāng)前系統(tǒng)全部慢模態(tài),則其控制性能能夠得以保證;若反饋的控制量只包含當(dāng)前系統(tǒng)部分慢模態(tài),則該控制器設(shè)計存在不合理性,其控制效果無法預(yù)知。

4 結(jié)論

對于特定的控制系統(tǒng),一旦確定了尺度差μ,即可分析系統(tǒng)控制性能指標(biāo)中權(quán)系數(shù)對系統(tǒng)時間尺度特性的影響,由此可以確定適合該系統(tǒng)的低階反饋狀態(tài)變量,只有包含全部慢模態(tài)的反饋控制才能夠保證系統(tǒng)控制性能,在此基礎(chǔ)上,可根據(jù)權(quán)系數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)剪切頻率的關(guān)系調(diào)整權(quán)系數(shù)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,進而得到恰當(dāng)?shù)牡碗A控制器。

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[8] 胡壽松,王執(zhí)銓,胡維禮.最優(yōu)控制理論與系統(tǒng) [M].北京:科學(xué)出版社,2005:165-169.

[9] RAMNATH R V.Multiple Scales Theory and Aerospace Applications [M].Reston:American Institute of Aeronautics and Astronautics,2010:61-76.

DesignofReducedOrderControllerPerformanceIndexWeights

LIU Wendong1,LI Huabin2,BAO Weimin3

(1 Beijing Aerospace Automatic Control Institute,Beijing 100854,China; 2 Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering,Beijing 100076,China; 3 China Aerospace Science and Technology Corporation,Beijing 100037,China)

To solve rationality problem using low order feedback to control high order system,a method of system decomposing based on closed-loop time scale characteristic was used.The influence of performance index weights on sixth order roll autopilot system characteristic was analyzed.The differences of feedback state choosing between second order,fourth order and current system reduced order were discussed,and the performances were simulated and compared respectively.The results show that:Only if the feedback states contain all slow modes through design of performance index weights,the reduced control can achieve the performance requirement.

two-scale system; LQR design; reduced control; weights

10.15892/j.cnki.djzdxb.2017.02.003

2016-05-30

國家自然科學(xué)基金青年基金(61403355)資助

劉文東(1987-),男,遼寧大連人,博士研究生,研究方向:兩尺度系統(tǒng)、飛行控制。

O232

A