□駱金 何娜

（杭州啟正中學(xué)，浙江杭州 310003；杭州大成岳家灣實驗學(xué)校，浙江杭州 310003）

呈現(xiàn)出題脈絡(luò) 破解思維難題
——以“函數(shù)與幾何綜合題”為例

□駱金 何娜

（杭州啟正中學(xué)，浙江杭州 310003；杭州大成岳家灣實驗學(xué)校，浙江杭州 310003）

為減輕學(xué)生的解題負擔(dān)，教師可以從研究題目的編制規(guī)律入手，揭示解題的基本思想和方法，并且讓學(xué)生共同參與編題與解題的全過程，有助于學(xué)生打開思維的脈絡(luò)，體味主動學(xué)習(xí)的樂趣，變“要我解”為“我要解”.

脈絡(luò)；思維；生題

在各地的數(shù)學(xué)中考試卷中，函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題頻繁出現(xiàn).這類題是考查學(xué)生靈活運用初中階段所學(xué)知識來分析和解決問題的一個重要手段和方法.但對初中學(xué)生來說難度頗高，它不僅要求學(xué)生溝通題目中自變量、函數(shù)在幾何圖形中所表示的量之間的關(guān)系，而且要求學(xué)生會運用“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想解決問題.在以往的教學(xué)中教師往往要求學(xué)生解大量此類題目，以期達到理解掌握的目的.但學(xué)生解完后還是一臉疑惑，不知道來龍去脈.能否從破解題目編制的奧秘入手，讓學(xué)生通曉并掌握解決此類問題的基本思想和方法？為此，本文將重點探索此類題目的編制脈絡(luò)，并從三個方向，即“順向”“逆向”和“縱向”展開研究，繪制出題目“生長”的線路圖（如圖1所示）.

一、順向“生題”

順向“生題”，就是已知函數(shù)的解析式，求內(nèi)接幾何圖形與函數(shù)的交點坐標(biāo)，繼而可求內(nèi)接圖形的邊長、周長和面積等.

因為函數(shù)的解析式已知，也就是函數(shù)圖象上一點的橫縱坐標(biāo)之間的一個等量關(guān)系已知，所以只要再另添一個橫縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，就可求得該點的坐標(biāo).而添加的這個關(guān)系可以直接用“數(shù)”（方程）的形式給出，也可以利用“形”（幾何圖形中隱含著線段之間的數(shù)量關(guān)系）間接獲取.以下舉例說明.

圖1

此時增加最直接的條件是已知點A的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，但間接地只要已知點A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的等量關(guān)系.而這個關(guān)系可以借助函數(shù)的內(nèi)接幾何圖形給出.所以點A是連接函數(shù)與其內(nèi)接幾何圖形的媒介.

圖2

如圖2，我們可以放入等邊三角形OAB，其中點B在x軸上，點A在l上.此時若設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，則其縱坐標(biāo)就為m，因為點A在函數(shù)的圖象上，所以，解 得 m=1，所 以 點.繼而可求得△OAB的邊長、周長、面積等.

（一）換圖

我們可改變內(nèi)接幾何圖形的形狀，將等邊三角形改換成等腰直角三角形、正方形、半圓、正多邊形（如圖3）等.

圖3

（二）換線

我們還可以改變函數(shù)的類型，將一次函數(shù)改換成反比例函數(shù)（圖4）和二次函數(shù)（圖5）等.

圖4

圖5

（三）增加個數(shù)

內(nèi)接圖形的個數(shù)也可以從一個變成多個.如圖6、圖7.

圖6

圖7

通過換圖、換線讓學(xué)生明白解題的突破點仍然是幾何圖形與函數(shù)圖象的交點，至于增加個數(shù)則只需將交點逐個依序擊破即可.

圖8

（四）圖形運動

我們可以對給定的幾何圖形（或其一部分）施行平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的位置變化，然后分析新的圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

如對于前述的一次函數(shù)和內(nèi)接等邊三角形OAB，我們可以作如下的運動變換：

①如圖8，將△OAB沿y軸平移到△O'A'B'，使點B'在直線l上，問平移的距離是多少？

②如圖2，求△OAB關(guān)于直線l的對稱三角形的頂點坐標(biāo).

解決此類問題只需將圖形變換帶來的“不變”特征定量地反映到點的坐標(biāo)上.

二、逆向“生題”

逆向“生題”，就是已知內(nèi)接圖形的邊長或半徑等，求函數(shù)解析式.

求函數(shù)的解析式也就是求解析式中的待定系數(shù)，而確定系數(shù)的條件可以直接給出圖象上點的坐標(biāo).但為了增加思維的含金量，我們可以嵌入內(nèi)接幾何圖形，通過數(shù)形結(jié)合間接地求出點的坐標(biāo).以下舉例說明.

三、縱向“生題”

縱向“生題”，就是利用函數(shù)圖象或內(nèi)接幾何圖形中的點，構(gòu)造出新的圖形或圖象.

我們可以選取圖象或內(nèi)接幾何圖形中的某些點來構(gòu)造新的幾何圖形，如三角形、四邊形、圓等，并可進一步求這些新幾何圖形的某些量或新舊幾何圖形之間的關(guān)系.又可以探索新圖形的存在性問題等.還可以利用它們來構(gòu)造新的函數(shù)，如一次、二次、反比例函數(shù)等，從而創(chuàng)新生成千姿百態(tài)的函數(shù)與幾何綜合問題.以下舉例說明.

如對于前面圖2中所述的一次函數(shù)和內(nèi)接等邊三角形OAB，我們可以“取點”繼續(xù)進行編題：

（一）構(gòu)新圖

③如圖2，若以A，O，E，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；A，O，E三點坐標(biāo)可求，此時點Q的位置有三種可能，求得Q點坐標(biāo)為

④如圖2，是否存在以BE為邊的等腰三角形BEM，使得點M在直線l上？若存在，試求點M的坐標(biāo).

BE可以作為腰，也可以是底，因而點M的位置有四種可能.可求得點M坐標(biāo)為：

⑤如圖2，在直線EF上有一動點M，在坐標(biāo)系內(nèi)有另外一點N，若以點O，F(xiàn)，M，N為頂點構(gòu)成的四邊形為菱形，則滿足這樣的點N的個數(shù)為（ ）

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

因為此時OF=FM或OM=FM，所以點N的位置有4種可能，選B.

圖9

⑥如圖9，過A，B，E三點畫圓，將此圓如何平移才能與x軸和y軸同時相切；有四種移法：向上平移2-個單位，再向左平移1個單位；或向下平移2+個單位，再向左平移1個單位；或向上平移2-個單位，再向左平移5個單位；或向下平移2+個單位，再向左平移5個單位.

圖10

⑦如圖10，過A、O、E三點畫拋物線，將△OAB沿直線l的方向平移到△O'A'B'，使得點B'在拋物線上，問平移的距離是多少？

（二）求面積

⑧在直線l上是否存在點P，使得△PAB的面積是△OAB面積的一半？

⑨若點P是⑦中求出的拋物線AE段上一動點（不與A，E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值.

綜上，從研究題目的編制規(guī)律入手，讓學(xué)生參與教學(xué)的全過程，就能從根本上減輕學(xué)生的解題負擔(dān)．并且在教學(xué)中我們完全可以讓學(xué)生沿著這樣的脈絡(luò)自己編題，自己解題，從而體味主動學(xué)習(xí)的樂趣，變“要我解”為“我要解”.