浦敘德

在小學數(shù)學里，我們主要學習了數(shù)、圖形與數(shù)據(jù)統(tǒng)計三方面的知識，在數(shù)的研究上，重點是數(shù)的認識和計算，所以小學數(shù)學的這塊內(nèi)容可以簡稱為“算術(shù)”.進入初中后的數(shù)學學習，知識板塊由原來的三個變成代數(shù)、幾何、統(tǒng)計與概率四個，在數(shù)的研究上，從小學的算術(shù)數(shù)上升到了初中的代數(shù).初中代數(shù)需要經(jīng)歷三次飛躍，其中，第一次是從小學的算術(shù)數(shù)引進負數(shù)變成有理數(shù)，完成數(shù)擴充的飛躍，第二次是從小學具體的數(shù)引進抽象的字母，用字母代替數(shù)，從特殊到一般，完成數(shù)到式的飛躍，所以初中數(shù)學的這塊內(nèi)容可以簡稱為“代數(shù)”.由此可以看出，第3章《代數(shù)式》是小學算術(shù)與初中代數(shù)的分水嶺，也是同學們在初中代數(shù)學習中必須跨越的第二道坎.那么如何才能學好本章內(nèi)容呢？

一、掌握概念本質(zhì)是基礎(chǔ)

本章中涉及如下幾個重要概念：一是“代數(shù)式”；二是“單項式”“多項式”與“整式”；三是“代數(shù)式的值”；四是“同類項”.

用加、減、乘、除、乘方等運算符號把數(shù)與表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.從這個定義中可以看出，在式子中只能出現(xiàn)“數(shù)”“字母”“運算符號”三者，一旦出現(xiàn)等于號或不等號，就不是代數(shù)式.

單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.整式是屬于代數(shù)式中的比較簡單的一類，整式一定是代數(shù)式，但代數(shù)式不一定是整式，代數(shù)式與整式是一般與特殊的關(guān)系.

只有數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式；幾個單項式的和叫做多項式.單項式與多項式都屬于整式，它們與整式也是特殊與一般的關(guān)系，單項式是最簡單的代數(shù)式.對于單項式有系數(shù)與次數(shù)的概念；對于多項式有項、次數(shù)的概念，因為多項式的項是一個單項式，所以還有項的系數(shù)與項的次數(shù)的概念.

用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.用字母表示數(shù)就產(chǎn)生了代數(shù)式，讓“數(shù)”的問題走向“式”的問題，包括“式的認識”與“式的計算”；而代數(shù)式的值是讓字母回歸到具體的數(shù).代數(shù)式與代數(shù)式的值正好完成了“從特殊到一般”，再“從一般回到特殊”的完整過程.

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.項是針對多項式而言的，實際上就是幾個單項式，所以，同類項只會出現(xiàn)在多項式中.需要注意的是兩個“相同”的條件必須同時滿足，才能確定為同類項.

二、掌握思想方法是關(guān)鍵

本章中隱含了許多非常重要的思想方法.用字母表示數(shù)本身就是“字母代數(shù)”思想，又體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想；由于引進了字母，字母具有一般性，所以在研究代數(shù)式的問題中，往往需要“分類討論”；在求解代數(shù)式的值時，有時需要用到“整體思想”，包含整體代入、整體求解等方法；在研究單項式、多項式、同類項時，往往需要用到“方程思想”.

例1 我們知道：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52…根據(jù)前面各式規(guī)律，可以猜測：1+3+5+7+9+…+（2n-1）= .（其中n為自然數(shù)）.

【分析】本題是一個規(guī)律探索題，在前面的學習中多次遇到，在本章再來研究，可以加深對“字母表示數(shù)”的理解.我們發(fā)現(xiàn)等號的左邊全是連續(xù)奇數(shù)相加的式子，右邊正好是奇數(shù)個數(shù)的平方，這樣用字母表示數(shù)，從特殊到一般，所求左邊式子是n個連續(xù)奇數(shù)的和，就可以得出右邊式子是n2的結(jié)論.

例2 已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，[x]=1，求代數(shù)式a+b+x2-cdx的值.

【分析】因為a、b互為相反數(shù)，所以a+b=0，因為c、d互為倒數(shù)，所以cd=1，因為[x]=1，這里的x可正可負，需要進行分類討論，x=±1，所以代數(shù)式a+b+x2-cdx的值為0或者2.

例3 已知代數(shù)式3x2-4x+6的值為9，求x2-[43]x+6的值.

【分析】因為3x2-4x+6=9，從等式中無法直接求出x的值，所以可以從整體的角度思考，得到3x2-4x=3，從而x2-[43]x=1，把這個式子整體代入x2-[43]x+6，求出代數(shù)式x2-[43]x+6的值為7.

例4 關(guān)于x的多項式（m-2）x4-xn+x-1是二次三項式，求m，n的值.

【分析】這里是關(guān)于x的代數(shù)式，所以，應(yīng)該把m、n作為待定字母.由多項式的項與次數(shù)的定義可知，m-2=0，并且n=2，此處根據(jù)定義得出m-2=0就體現(xiàn)了方程思想，所以m=2，n=2.

三、掌握解題策略是保障

本章中的題目類型主要有如下幾類.

第一類是列代數(shù)式.此類問題本質(zhì)上是把通用的文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學獨有的符號語言，在列代數(shù)式的過程中，要遵循先讀先寫的原則，并且嚴格按照代數(shù)式的書寫規(guī)定進行，此處不再舉例.

第二類是關(guān)于單項式、多項式、整式、代數(shù)式等相關(guān)概念的認識.

例5 如果關(guān)于x，y的單項式2mxay與

-5nx2a-3y的差是一個單項式.

（1）求（7a-22）2017的值；（2）若2mxay-5nx2a-3y=0，求（2m-5n）2018的值.

【分析】關(guān)于x，y的單項式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個單項式，說明這兩個單項式是同類項，可以合并進行整式減法運算.根據(jù)同類項的定義，得2a-3=a，所以a=3.（1）由a=3，知（7a-22）2017=（-1）2017=-1；（2）因為2mxay-5nx2a-3y=0，說明這兩項是同類項，可以合并進行減法運算，所以2m-5n=0，故（2m-5n）2018=0.

第三類是利用直接代入法或間接代入法（整體）求代數(shù)式的值.此類問題只要嚴格按照解題步驟，特別需要注意把哪個式子作為一個整體，如上面的例3.

第四類是根據(jù)同類項的概念，利用去括號等步驟合并同類項，進行整式的加減運算.這類問題是程序性操作問題，課本上都有規(guī)范的解決問題的例子，只要嚴格按照先去括號、再根據(jù)合并同類項的法則合并同類項，直到整式中沒有同類項可以合并就可以了.

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）endprint