劉慶華， 周秀清， 晉良念

桂林電子科技大學， 廣西信息科學實驗中心， 桂林 541004

相關(guān)色噪聲下無冗余累積量稀疏表示DOA估計

劉慶華*， 周秀清， 晉良念

桂林電子科技大學， 廣西信息科學實驗中心， 桂林 541004

針對傳統(tǒng)均勻線陣中四階累積量計算復雜度大、對快拍數(shù)敏感的問題，提出了一種快速去冗余的高分辨波達方向估計新方法。該方法首先通過構(gòu)造選擇矩陣對四階累積量矩陣進行第1次降維處理，摒棄傳統(tǒng)四階累積量中大量冗余數(shù)據(jù)，然后對無冗余累積量矩陣進行矢量化并通過二次降維得到統(tǒng)計性能更優(yōu)的向量觀測模型，最后在相應的過完備基下建立觀測模型的稀疏表示進行波達方向(Direction of Arrival，DOA)估計。同時將方法推廣到L型陣列2維DOA估計，擴展了其應用范圍。與傳統(tǒng)的四階累積量方法相比，該方法大大地減小了計算量，對快拍數(shù)要求不高，并且能夠有效地抑制相關(guān)色噪聲。理論分析和仿真實驗驗證了該方法對1維和2維DOA估計都具有較高的估計精度和分辨率。

波達方向(DOA)估計； 四階累積量； 稀疏表示； 相關(guān)色噪聲； 無冗余

信號的波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計是空間譜估計的基本問題，目前研究中，其大部分算法是在天線陣元噪聲為白噪聲的理想環(huán)境下有效。但是，實際應用的空間譜估計中噪聲往往為有色噪聲，且噪聲之間是相關(guān)的，這樣導致傳統(tǒng)DOA估計算法效果欠佳。相關(guān)色噪聲背景下信號DOA估計已受到廣泛的關(guān)注。

為此，國內(nèi)外學者提出了許多消除空間色噪聲或相關(guān)噪聲影響的方法[1-6]。其中，文獻[1-3]提出了噪聲協(xié)方差矩陣的參數(shù)化模型，該模型要求對噪聲參數(shù)進行估計，但是在噪聲協(xié)方差矩陣完全未知的情況下，估計性能受到嚴重的影響。文獻[4]利用僅存在噪聲或無信號情況下的數(shù)據(jù)信息對色噪聲進行白化處理并估計其噪聲協(xié)方差，但受實際陣列和噪聲影響，很難得到準確的噪聲協(xié)方差結(jié)構(gòu)。另一種有代表性的方法是所謂的協(xié)方差差分方法[5-6]，即假定噪聲在陣列旋轉(zhuǎn)或者在對輸出矢量進行特定線性變換時是不會發(fā)生變化的，利用這種不變性，可以在具有對稱Teoplitz協(xié)方差矩陣的色噪聲或相關(guān)噪聲背景下實現(xiàn)方向參數(shù)估計。雖然這些算法在一定程度上抑制了噪聲的影響，但并不具備全局最優(yōu)性，估計結(jié)果仍然難以令人滿意。

四階累積量作為一種強有力的信號處理工具，其主要優(yōu)勢是能夠有效地抑制高斯噪聲，即只要噪聲服從正態(tài)分布，采用四階累積量進行DOA估計時，無需知道噪聲協(xié)方差或?qū)υ肼晠f(xié)方差進行估計。因此，當空間噪聲為高斯色噪聲時，采用四階累積量來處理非常方便有效。1995年，Dogan和Mendel[7]提出了VESPA (Virtual-ESPRIT Algorithm)算法，該算法利用高階累積量生成的虛擬陣元和實際陣元之間的信息進行DOA估計，但只利用了累積量中的部分信息，估計精度受限。接著，Shan等[8]提出了MUSIC-like陣列擴展方法，該方法很好地擴展了陣列孔徑，但計算量很大。文獻[9]將時間平滑和高階累積量相結(jié)合，由于計算量很大而使得實時性能很差。文獻[10]利用互耦矩陣的聯(lián)合對稱Toeplitz結(jié)構(gòu)，構(gòu)造多個四階累積量矩陣，無需譜峰搜索，通過特征值分解即可獲得DOA估計，降低了計算量，但是當互耦效應不明顯卻不可忽略時，算法的估計性能急劇下降。后來，文獻[11-12]將四階累積量矩陣中冗余信息剔除，減小了計算量。雖然這些算法都能在一定程度上抑制噪聲的影響，但是在小快拍數(shù)、低信噪比情況下估計效果仍較差。近年來，隨著稀疏表示理論的提出和廣泛應用[13-17]，將稀疏表示與四階累積量理論相結(jié)合已經(jīng)成為一種趨勢。

針對上述問題，本文結(jié)合稀疏表示和四階累積量理論，提出一種簡單、直接的虛擬陣列擴展方法，該方法得到的觀測模型不含冗余數(shù)據(jù)，因而大大地降低了計算量，并且能有效抑制相關(guān)色噪聲，同時建立稀疏表示模型進行DOA 估計，在低樣本條件下可以達到較高的估計精度。進而將算法推廣到L型陣列中，擴展了其應用范圍。

1 信號模型

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)t=0,1,…,T-1

(1)

式中：X(t)=[x1(t)x2(t) …xM(t)]T，為M個陣元的接收信號，(·)T表示轉(zhuǎn)置；S(t)=[s1(t)s2(t) …sK(t)]T，為信號向量；A(θ)=[a(θ1)a(θ2) …a(θK)]，為陣列流型矩陣，其第k列代表第k個信號的導向矢量為

a(θk)=[1 e-j2πdsin θk/λ… e-j2π(M-1)dsin θk/λ]T

(2)

假設(shè)噪聲N(t)服從高斯分布，為圓對稱、零均值的相關(guān)色噪聲，且與信號相互獨立，如文獻[18-19]有

E{N(t)}=0

E{N(t1)NH(t2)}=δt1t2Rn

E{N(t1)NT(t2)}=0

式中：E(·)表示期望；(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置；δt1t2為Kronecker符號函數(shù)；Rn為一個M×M的正定Hermitian矩陣，表征其空間噪聲的相關(guān)性。

2 基于均勻線陣的1維DOA估計算法

2.1 四階累積量

在傳統(tǒng)的陣列信號處理中，二階統(tǒng)計量能夠充分地利用高斯信號的信息進行DOA估計。然而，在大部分的通信系統(tǒng)中采用的是非高斯信源，如BPSK、QPSK和QAM等調(diào)制信號，對于非高斯信號，二階統(tǒng)計量不能完全表征其統(tǒng)計特性，其大量有價值的統(tǒng)計信息包含在高階統(tǒng)計量中，因此，常用四階累積量進行處理。對于均勻線陣，根據(jù)零均值平穩(wěn)隨機過程的四階累積量對稱定義方式[7]，陣列接收數(shù)據(jù)的四階累積量為

(3)

R4((k1-1)M+k2,(k3-1)M+k4)=

C4x(k1,k2,k3,k4)=

E{(X?X*)(X?X*)H}-

E{(X?X*)}E{(X?X*)H}-

E{(XX)H}?E{(XXH)*}

(4)

式中：?表示Kronecker積。信號的四階累積量矩陣為

E{(S?S*)}E{(S?S*)H}-

E{(SS)H}?E{(SSH)*}

(5)

(6)

(7)

Cs=diag(γ1,γ2,…,γk)

由此，式(6)可以相應地簡化為

R4=(A⊙A*)Cs(A⊙A*)H=

(8)

式中：

[a(θ1)?a*(θ1)a(θ2)?a*(θ2) …

a(θK)?a*(θK)]

(9)

2.2 四階累積量快速去冗余

對于均勻線陣，在陣列孔徑擴展過程中，產(chǎn)生了重疊的虛擬陣元，也就是形成了大量的冗余數(shù)據(jù)。這樣，直接利用式(8)構(gòu)造冗余字典來進行稀疏求解的計算量是巨大的。那么，可以構(gòu)造一個M2×(2M-1)維的選擇矩陣H，將四階累積量矩陣R4中冗余的虛擬陣元剔除，使其維數(shù)降低。矩陣H可以表示為

式中：

Hm=

(10)

其中：IM為M維單位陣，定義(2M-1)×(2M-1)維矩陣G，即

G=HTH=diag(1,2，…,M-1,M,M-1,…,1)

同時，根據(jù)文獻[20]，有

(11)

(12)

再結(jié)合矩陣H和G對式(12)作線性處理，去除冗余項，以降低矩陣R4的維數(shù)，可以得到

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式(17)是與觀測模型式(1)類似的一種新的觀測模型，B(θ)為新的陣列流型矩陣，稱為虛擬陣列流型，其維數(shù)為4M-3，大于陣元數(shù)M，進一步擴展了陣列孔徑[14,20]，并且沒有重疊虛擬陣元，這意味著通過降維運算得到的觀測模型統(tǒng)計性能更優(yōu)。

2.3 無冗余累積量稀疏表示及求解

利用2.2節(jié)所給出的算法得到新陣列導向矢量來構(gòu)造完備的冗余字典，假設(shè)集合

表示空間可能存在的波達方向，于是整個空間所形成的流型矩陣為

它包含了所有可能的信號方位信息，則式(17)可以表示為

(18)

(19)

(20)

2.4 正則化參數(shù)選擇

(21)

L-曲線上曲率最大的那點對應的λt值是L-曲線的最優(yōu)值。

2.5 可分辨信源數(shù)分析

2.6 計算量分析

3 基于L型陣列的2維DOA估計方法

在實際應用中，信號往往是處于3維的立體空間中，很明顯，采用2維DOA估計能夠獲得更多開發(fā)信道的空間信息，可以更加準確地估計來波信號的空間特征，更切合實際應用。將上述無冗余累積量稀疏表示的1維DOA估計推廣到L型陣列2維DOA估計，擴展其應用范圍。假設(shè)K個遠場窄帶非高斯信號入射到2M-1的L型均勻陣列上，陣元數(shù)為M的子陣X位于x軸上，陣元數(shù)為M的子陣Y位于y軸上，原點為o。第k個信號的入射方向為(θk,φk)，其中θk是入射信號的方位角(與第1節(jié)定義相同)，為入射信號在xoy平面的投影與x軸正方向的夾角，φk為俯仰角，為入射信號與其在xoy平面投影的夾角。這樣，兩子陣信號觀測模型可以表示為

(22)

式中：Ax(θ,φ)和Ay(θ,φ)分別為兩子陣的流型矩陣，對應的導向矢量分別為

(23)

利用稀疏表示的方法進行2維DOA估計時，冗余字典要覆蓋整個2維空間，字典非常長，導致稀疏求解的計算量極其巨大。為了降低冗余字典的長度，利用空間角構(gòu)造字典，將字典2維空間降為1維空間，大大減少了冗余字典的長度[24]。引入空間角α和β，分別表示為入射信號與x軸和y軸的夾角，由幾何位置關(guān)系可得

(24)

將式(24)代入式(23)可得

(25)

根據(jù)式(8)，設(shè)子陣X和Y的四階累積量分別為R4x和R4y，同理，對矩陣R4x和矩陣R4y進行二次降維和矢量化運算，可以得到與式(17)類似的最終向量觀測模型：

(26)

式中：Bx(α)與By(β)為二維空間中最終的陣列流型矩陣，對應的導向矢量分別為

bx(αk)=[e-j2π(2M-2)dcos αke-j2π(2M-3)dcos αk… ej2π(2M-2)dcos αk]T

by(βk)=[e-j2π(2M-2)dcos βke-j2π(2M-3)dcos βk… ej2π(2M-2)dcos βk]T

(27)

利用式(27)陣列導向矢量來構(gòu)造完備字典，將式(26)轉(zhuǎn)化為稀疏表示問題，同時將對應的信號矢量擴展為N×1維的矢量PNx和PNy，PNx和PNy中非零元素分別代表空間角α和β的值。這樣，基于L型均勻陣列的DOA估計問題可以表示為l1范數(shù)優(yōu)化問題：

(28)

針對2維DOA估計問題，需要解決的一個難點就是方位角和俯仰角的配對問題。然而，通過稀疏分解不僅能得到信號的角度估計，還能得到信號的幅值，這樣，可以利用相同信號的幅值相等這一特性進行配對，且利用估計出的空間角α和β，可以反推得到θ和φ：

很明顯，在利用幅度信息進行L型陣列空間角配對時，會存在相近的難以判別的情況。在信號幅度特別相近時，可以利用兩個空間角之間的數(shù)學關(guān)系cos2α+cos2β≤1進行約束[24]。在對空間角進行配對時，只有滿足cos2α+cos2β≤1才作為同一信號的DOA信息，這樣，解決了幅度相近信號的角度配對問題。

4 仿真與分析

通過仿真驗證本文所提方法的估計性能。仿真中均采用均勻線陣，陣元間距d=λ/2，假設(shè)信源為獨立遠場窄帶非高斯信號，仿真中采用4QAM調(diào)制信號。噪聲均為服從高斯分布的相關(guān)色噪聲，與信號獨立，噪聲協(xié)方差矩陣的第(k,l)個元素為

Rn(k,l)=σ2γ|k-l|ejπ(k-λ)/2

式中：噪聲功率σ2用來調(diào)整信噪比的值，定義SNR=10×lgσ-2，γ為回歸系數(shù)，調(diào)整噪聲之間的相關(guān)性。γ越大，相關(guān)性越強，而γ=0時噪聲為白高斯噪聲。另外，均方根誤差定義為

仿真1：假設(shè)6個獨立4QAM信號入射到陣元數(shù)為4的均勻線陣, 信號入射方向為

[-40° -25° -10° 5° 20° 35°]

信噪比為10 dB， 快拍數(shù)為500，噪聲相關(guān)系數(shù)γ設(shè)為0.7。圖1為基于上述條件下式(21)的L-曲線，根據(jù)圖中曲率最大點可以得到對應的最優(yōu)正則化參數(shù)λt=0.29。MUSIC-like和本文算法空間譜如圖2所示?？梢钥闯?，本文算法和MUSIC-like算法均能估計出多于物理陣元數(shù)的信源數(shù)，但本文算法無需預知信源數(shù)目，且具有尖銳的譜峰，分辨率更高。

仿真2：考慮2個獨立信源，入射方向為θ1=-13°,θ2=30°，線陣的陣元數(shù)為4，快拍數(shù)為500，γ設(shè)為0.9，同樣，利用式(21)，后續(xù)所有仿真中λt均取0.42。圖3為不同算法均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系?？梢钥闯觯捎贚1-ACMSR[14]算法是基于二階統(tǒng)計量陣列協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計算法，受相關(guān)色噪聲影響較大，因此估計誤差最大；MUSIC-like算法雖然能抑制相關(guān)色噪聲，但受本身算法性能的限制，估計精度也受限；文獻[15]算法在四階累積量的合成陣列協(xié)方差矩陣稀疏表示基礎(chǔ)上，提出L1-SRFOC算法，估計精度在低信噪比下比MUSIC-like算法有所提高，但效果并不明顯；而本文算法估計性能隨著信噪比增大迅速上升，與其他方法相比，有著明顯的優(yōu)勢，說明本文算法具有更好的估計精度和噪聲魯棒性。

圖1 L-曲線
Fig.1 L-curve

圖2 MUSIC-like和本文算法空間譜
Fig.2 Spatial spectra for MUSIC-like and proposed algorithm

圖3 均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系(1維DOA)
Fig.3 Variation relationship between root mean square error (RMSE) and signal to noise ratio (SNR) (1-dimensional DOA)

為驗證本文所提算法的空間分辨能力，假設(shè)：以Θ=[θ1-δ,θ1+δ]∪…∪[θp-δ,θp+δ]為假設(shè)集合，δ為信噪比對應的均方根誤差，[θp-δ,θp+δ]為第p個DOA區(qū)間。一次實驗中，若估計出的DOA都能夠落在它們自己的區(qū)間內(nèi)，那么認為這次實驗是成功的。如果進行了1 000次實驗，只有Ns次實驗中的所有DOA都能被成功分辨了，則分辨概率為Ns/1 000。圖4中假設(shè)δ=1.5，其他仿真條件與圖3一致，為不同算法的分辨概率隨信噪比變化關(guān)系，與圖3分析一致，L1-ACMSR算法受相關(guān)色噪聲影響，誤差較大，本文算法的分辨能力最好。

仿真3：驗證本文所提算法受快拍數(shù)影響的大小，圖5為不同算法均方根誤差隨快拍數(shù)變化關(guān)系，γ=0.9，信噪比設(shè)為10 dB，其他仿真條件與圖3相同。很明顯，與其他算法相比，本文算法優(yōu)勢突出，其均方根在低樣本情況下較小，且隨著快拍數(shù)增加呈下降的趨勢，這表明了本文算法具有較好的估計性能，克服了傳統(tǒng)四階累積量算法受快拍數(shù)影響較大的缺陷。

圖4 分辨概率隨信噪比變化關(guān)系(1維DOA)
Fig.4 Variation relationship between resolution
probability and SNR (1-dimensional DOA)

圖5 均方根誤差隨快拍數(shù)變化關(guān)系(1維DOA)
Fig.5 Variation relationship between RMSE and snapshot (1-dimensional DOA)

仿真4：假設(shè)入射信源為3個獨立信號，方位角和俯仰角的入射角度分別為(99°,63°)，(120°,65°)，(249°,20°)，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為500，噪聲的相關(guān)系數(shù)γ取0.6。圖6為本文算法2維角估計結(jié)果?？梢钥闯?，本文算法對3個信號的方位角和俯仰角得到較高準確度的估計，估計出來的結(jié)果分別為(99.39°,63.32°),(120.77°,65.59°),(248.12°,19.99°)。估計結(jié)果和實際DOA值基本重合，誤差較小。

圖6 本文算法2維角估計結(jié)果
Fig.6 Results of two-dimensional angle estimation with proposed algorithm

仿真5：考慮2個入射信號，入射角度分別為(θ1,φ1)=(60°,42°)，(θ2,φ2)=(185°,25°)。γ設(shè)為0.9。圖7為快拍數(shù)為500條件下均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系?？煽闯觯芟嚓P(guān)色噪聲影響，文獻[16]算法的均方根誤差較大，但隨著信噪比增大，受噪聲影響不斷減弱，當信噪比大于15 dB時，其估計性能優(yōu)于MUSIC-like算法，而本文算法的均方根誤差最小，且隨信噪比增大明顯下降，這展現(xiàn)了本文算法在2維DOA估計應用中亦能有效地抑制相關(guān)色噪聲，具有較好的噪聲魯棒性和估計精度。

圖8為不同算法的方位角和俯仰角分辨概率隨信噪比變化的關(guān)系，仿真中取δ=1.2，其他仿真條件與圖7一致?？梢悦黠@看出，在2維DOA估計中，文獻[16]算法受相關(guān)色噪聲影響，分辨能力較差，本文算法的分辨能力最好，充分地展示了所提算法具有較好的估計精度和分辨率。

圖9為信噪比為10 dB條件下，不同算法的均方根誤差隨快拍數(shù)變化關(guān)系。受噪聲影響，文獻[16]算法均方根誤差較大，而MUSIC-like算法作為傳統(tǒng)四階累積量算法，受快拍數(shù)影響較大，與1維DOA估計一致，本文算法在2維DOA估計情況下，仍能克服對快拍數(shù)的敏感性。

圖7 均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系(2維DOA)
Fig.7 Variation relationship between RMSE and SNR (2-dimensional DOA)

圖8 分辨概率隨信噪比變化關(guān)系(2維DOA)
Fig.8 Variation relationship between resolution probability and SNR (2-dimensional DOA)

圖9 均方根誤差隨快拍數(shù)變化關(guān)系(2維DOA)
Fig.9 Variation relationship between RMSE and snapshot (2-dimensional DOA)

5 結(jié) 論

1) 針對傳統(tǒng)四階累積量算法計算復雜度高、受快拍數(shù)影響大的問題，通過二次降維運算對四階累積量快速去冗余，進而采用稀疏表示實現(xiàn)DOA估計，提高了估計精度和減弱了對快拍數(shù)的敏感性。

2) 在將方法擴展到L型陣列2維DOA估計時，通過空間角構(gòu)造冗余字典，大大地降低了稀疏求解的復雜度，利用稀疏求解的信號幅度信息實現(xiàn)方位角和俯仰角配對。同時，該方法還適用于其他存在任意夾角的陣列，如平行線陣等。

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DOAestimationusingnon-redundantcumulantssparserepresentationincorrelatedcolorednoise

LIUQinghua*,ZHOUXiuqing,JINLiangnian

GuangxiExperimentCenterofInformationScience,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin541004,China

Thispaperaimsattheproblemthatconventionalfourth-ordercumulantshavehighcomputationalcomplexityandaresensitivetodatasamples.Anewdirectionofarrival(DOA)estimationmethodisproposedtoeliminatetheredundancyquickly.Themassiveredundantdataareremovedbyselectionmatrixtoreducethedimensionoffourth-ordercumulantsmatrix.Byvectorizingthenon-redundantcumulantsmatrixandreducingthedimensionagain,thevectormeasurementmodelwithbetterstatisticalperformanceisthenobtained.Thesparserepresentationofthemeasurementmodelcorrespondingtotherelatedover-completebasisisconstructedforDOAestimation.ThenthemethodisextendedtoLarrayfortwodimensionalDOAestimation.Comparedwithconventionalfourth-ordercumulantsmethods,theproposedmethodcangreatlyreducethecomputationalcomplexityandtheimpactofthesizeofdatasamples,andcanefficientlysuppresscorrelatedcolorednoise.TheoreticalanalysisandsimulationexperimentsverifythattheproposedmethodhashigherresolutionandbetterestimationaccuracyforoneandtwodimensionalDOAestimation.

directionofarrival(DOA)estimation;fourth-ordercumulant;sparserepresentation;correlatedcolorednoise;non-redundancy

2016-04-19；Revised2016-04-20；Accepted2016-07-13；Publishedonline2016-09-051643

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160905.1643.004.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61461012,61371186)；GuangxiKeyLaboratoryofWire-lessWidebandCommunication&SignalProcessing(GXKL06160110)；CenterforCollaborativeInnovationintheTechnologyofIOTandtheIndustrialization(WLW20060205)；InnovationProjectofGUETGraduateEducation(2016YJCX87).

2016-04-19；退修日期2016-04-20；錄用日期2016-07-13； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2016-09-051643

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國家自然科學基金 (61461012,61371186)； 廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室基金 (GXKL06160110)； 廣西物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)及產(chǎn)業(yè)化推進協(xié)同創(chuàng)新中心資助項目 (WLW20060205)； 桂林電子科技大學研究生教育創(chuàng)新計劃 (2016YJCX87)

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.E-mailliuqinghuagl@126.com

劉慶華， 周秀清， 晉良念． 相關(guān)色噪聲下無冗余累積量稀疏表示DOA估計J． 航空學報,2017,38(4):320331.LIUQH,ZHOUXQ,JINLN.DOAestimationusingnon-redundantcumulantssparserepresentationincorrelatedcolorednoiseJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(4):320331.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0247

V243.2； TN911.7

A

1000-6893(2017)04-320331-10

(責任編輯： 蘇磊)

＊Correspondingauthor.E-mailliuqinghuagl@126.com