鄭 妍 ，陳徐兵 ，劉 琴 ，彭芳瑜

（1.華中科技大學(xué)無(wú)錫研究院，江蘇 無(wú)錫 214174；2.華中科技大學(xué)國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢430074）

基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)的測(cè)量機(jī)幾何誤差敏感性分析

鄭 妍1，陳徐兵1，劉 琴2，彭芳瑜2

（1.華中科技大學(xué)無(wú)錫研究院，江蘇 無(wú)錫 214174；2.華中科技大學(xué)國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢430074）

針對(duì)專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)的幾何誤差問(wèn)題，提出一種基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾何誤差敏感性分析方法，來(lái)保證專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)的空間幾何精度。針對(duì)專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)及幾何誤差關(guān)系，建立了考慮運(yùn)動(dòng)幾何誤差的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。運(yùn)用多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論求解相鄰體間的特征變換矩陣，根據(jù)測(cè)量機(jī)裝配幾何誤差和運(yùn)動(dòng)幾何誤差建立測(cè)量機(jī)空間誤差模型。通過(guò)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)螺旋槳測(cè)量精度的對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明該算法能實(shí)現(xiàn)專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)的幾何誤差敏感性分析。

專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)；幾何誤差；多體運(yùn)動(dòng)學(xué)；敏感性分析

專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)（以下簡(jiǎn)稱“測(cè)量機(jī)”）是針對(duì)大型復(fù)雜船用螺旋槳實(shí)現(xiàn)葉面、葉背非接觸式同步測(cè)量的專用測(cè)量裝備，它對(duì)提高螺旋槳測(cè)量精度、測(cè)量效率及測(cè)量過(guò)程自動(dòng)化具有重要意義。然而由于測(cè)量機(jī)制造安裝誤差、熱變形及運(yùn)動(dòng)誤差等因素影響，測(cè)量過(guò)程中機(jī)器實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置與理論運(yùn)動(dòng)位置存在較大誤差，對(duì)螺旋槳的測(cè)量精度產(chǎn)生不利影響。

測(cè)量機(jī)的空間幾何誤差建模方法與數(shù)控機(jī)床的誤差建模方法類似。數(shù)控機(jī)床的誤差建模方法經(jīng)歷了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機(jī)構(gòu)學(xué)建模法、剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)法等幾個(gè)發(fā)展階段[1-2]，目前多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法[3]最受推崇。

測(cè)量機(jī)空間幾何誤差建模方法與數(shù)控機(jī)床的誤差建模方法類似，而數(shù)控機(jī)床組成的系統(tǒng)是典型的多體系統(tǒng)[4]。文獻(xiàn)[5-6]基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，提出了機(jī)床相鄰體間特征變換矩陣的概念[5]，建立考慮機(jī)床多種誤差的特征矩陣[6]。

本文以多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法為基礎(chǔ)，分析測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)鏈傳遞關(guān)系，對(duì)測(cè)量機(jī)幾何誤差進(jìn)行具體分類討論，分別建立測(cè)量機(jī)理想狀態(tài)下和考慮幾何誤差狀態(tài)下的特征變化矩陣，得到測(cè)量機(jī)空間幾何誤差模型。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證，得出各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸6項(xiàng)幾何誤差分量對(duì)空間幾何誤差作用的主次關(guān)系。

1 測(cè)量機(jī)形式

測(cè)量機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示，機(jī)械結(jié)構(gòu)主要由線性X軸、線性Z軸、線性U軸、線性W軸和旋轉(zhuǎn)C軸組成，此外還包括輔助軸Y軸和上下激光測(cè)頭。

圖1 測(cè)量機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)

基于多體系統(tǒng)理論將測(cè)量機(jī)中各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸和機(jī)身看成獨(dú)立的“體”，分析各聯(lián)動(dòng)軸之間的連接方式，繪制出測(cè)量機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。4表示測(cè)量機(jī)床身，相對(duì)于大地靜止；3表示線性X軸，可以沿著上測(cè)量臂水平移動(dòng)；2表示線性Z軸，可以上下移動(dòng)；1表示上激光測(cè)頭，它通過(guò)夾具固定在Z軸上；8表示旋轉(zhuǎn)軸C，它通過(guò)夾具固定在測(cè)量機(jī)上；5表示線性U軸，可以沿著下測(cè)量臂水平移動(dòng)；6表示線性W軸，可以上下移動(dòng)；7表示下激光測(cè)頭，通過(guò)夾具固定在W軸上。

圖2 測(cè)量機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

為了建立測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于多體系統(tǒng)理論，對(duì)每個(gè)獨(dú)立的體建立對(duì)應(yīng)的體坐標(biāo)系，也可叫局部坐標(biāo)系，如圖3所示。圖中坐標(biāo)系O4表示測(cè)量機(jī)坐標(biāo)系，定為基坐標(biāo)系；O3表示線性X軸的局部坐標(biāo)系；O2表示線性Z軸的局部坐標(biāo)系；OST表示上激光測(cè)頭局部坐標(biāo)系；Ow表示旋轉(zhuǎn)軸C的局部坐標(biāo)系；O5表示線性U軸的局部坐標(biāo)系；O6表示線性W軸的局部坐標(biāo)系；OXT表示下激光測(cè)頭的局部坐標(biāo)系。

圖3 測(cè)量機(jī)聯(lián)動(dòng)軸坐標(biāo)系

從圖3可以看出，測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)鏈由上下激光測(cè)頭兩條運(yùn)動(dòng)鏈組成，螺旋槳上表面運(yùn)動(dòng)鏈傳遞關(guān)系為：上激光測(cè)頭－Z軸－X軸－床身－C軸－螺旋槳上表面；螺旋槳下表面運(yùn)動(dòng)鏈傳遞關(guān)系為：下激光測(cè)頭－W軸－U軸－床身－C軸－螺旋槳下表面。

2 考慮幾何誤差的測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 測(cè)量機(jī)垂直度誤差

實(shí)際測(cè)量機(jī)由于安裝、制造等因素的影響，各聯(lián)動(dòng)軸之間存在垂直度誤差和平行度誤差，因上測(cè)量臂可以繞Y軸旋轉(zhuǎn)調(diào)整位置，平行度誤差可人為消除。垂直度誤差會(huì)影響測(cè)量機(jī)的測(cè)量精度。垂直度誤差分為運(yùn)動(dòng)軸對(duì)平面的垂直度誤差和運(yùn)動(dòng)軸之間的垂直度誤差，測(cè)量機(jī)在測(cè)量過(guò)程中，各軸的垂直度誤差隨軸的位置不同而產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的位置誤差。為方便空間誤差計(jì)算，將垂直度誤差分解為繞X、Y、Z三個(gè)方向的角度誤差，并隨軸的運(yùn)動(dòng)引起沿X、Y、Z方向的位置誤差。

（1）上激光測(cè)頭到地面運(yùn)動(dòng)鏈垂直度誤差

線性Y軸與地面垂直度誤差：

如圖4所示，l1為Y軸在初始位置時(shí)的局部坐標(biāo)系原點(diǎn)到地面的距離，k為Y軸從局部坐標(biāo)系原點(diǎn)移動(dòng)的位移，gαk為Y軸相對(duì)于地面繞X方向的角度誤差，gβk為Y軸相對(duì)于地面繞Y方向的角度誤差，gγk為Y軸相對(duì)于地面繞Z方向的角度誤差。其中 l1、k 為已知值，gαk、gβk、gγk為測(cè)量值。設(shè)△Xk、△Yk、△Zk分別為Y軸在X、Y、Z方向的位置誤差，因Y軸與地面垂直度誤差在Z方向分量極小，所以△Zk可忽略不計(jì)，△Xk和△Yk可由 l1、k、gαk、gβk計(jì)算得到。

圖4 Y軸與地面垂直度誤差分解

（2）上測(cè)量臂與線性Y軸垂直度誤差

如圖5所示，l2為Y軸、X軸初始位置時(shí)局部坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的距離，x為X軸從局部坐標(biāo)系原點(diǎn)移動(dòng)位移，kαx為上測(cè)量臂相對(duì)Y軸繞X方向角度誤差，kβx為上測(cè)量臂相對(duì)Y軸繞Y方向的角度誤差，kγx為上測(cè)量臂相對(duì)Y軸繞Z方向的角度誤差。其中l(wèi)2、x 為已知值，kαx、kβx、kγx為測(cè)量值。設(shè)△Xx、△Yx、△Zx分別為X軸在X、Y、Z方向的位置誤差，因上測(cè)量臂與Y軸垂直度誤差在X方向分量極小，所以△Xx可忽略不計(jì)，△Yx和△Zx可由 l2、x、kβx、kγx、gβk、gγk計(jì)算得到。

圖5 上測(cè)量臂與Y軸垂直度誤差分解

（3）線性Z軸與上測(cè)量臂垂直度誤差

如圖6所示，l3為Z軸、X軸在初始位置時(shí)局部坐標(biāo)系原點(diǎn)在Z方向的距離，z為Z軸從局部坐標(biāo)系原點(diǎn)移動(dòng)的位移，xαz為Z軸相對(duì)于上測(cè)量臂繞X方向的角度誤差，xβz為Z軸相對(duì)于上測(cè)量臂繞Y方向的角度誤差，xγz為Z軸相對(duì)于上測(cè)量臂繞Z方向的角度誤差。其中 l3、z 為已知值，xαz、xβz、xγz為測(cè)量值。設(shè)△Xz、△Yz、△Zz分別為 Z 軸在 X、Y、Z 方向的位置誤差，因Z軸與上測(cè)量臂垂直度誤差在Z方向分量極小，所以△Zz可忽略不計(jì)，△Xz和△Yz可由l3、z、xαz、kαx、gαk、xβz、gβk計(jì)算得到。

圖6 Z軸與上測(cè)量臂垂直度誤差分解

（4）旋轉(zhuǎn)軸C到地面運(yùn)動(dòng)鏈垂直度誤差

如圖7所示，l6為C軸局部坐標(biāo)系原點(diǎn)到地面距離，gαc為C軸相對(duì)于地面繞X方向角度誤差，gβc為C軸相對(duì)于地面繞Y方向角度誤差，gγc為C軸相對(duì)于地面繞 Z 方向的角度誤差。其中 l6已知，gαc、gβc、gγc為測(cè)量值。

圖7 C軸與地面垂直度誤差分解

設(shè)△Xc、△Yc、△Zc為 C 軸在 X、Y、Z 方向的位置誤差，因C軸與水平面垂直度誤差在Z方向分量極小，△Zc忽略不計(jì)，△Xc和△Yc可由 l6、gαc、gβc計(jì)算得到。

3 基于多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的測(cè)量機(jī)空間幾何誤差建模

在多體系統(tǒng)中，體坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以由4×4階齊次矩陣來(lái)描述。測(cè)量機(jī)各聯(lián)動(dòng)軸局部坐標(biāo)系間的關(guān)系用4×4階齊次矩陣表示，可使各局部坐標(biāo)系間的變換轉(zhuǎn)化成矩陣間的數(shù)量運(yùn)算，方便測(cè)量機(jī)空間幾何誤差建模與計(jì)算。

3.1 測(cè)量機(jī)理想狀態(tài)下相鄰體間的特征變換矩陣

為得到測(cè)量機(jī)激光測(cè)頭在理想狀態(tài)下的空間位置，需建立測(cè)量機(jī)各聯(lián)動(dòng)軸相鄰坐標(biāo)系理想坐標(biāo)變換矩陣。

（1）上激光測(cè)頭運(yùn)動(dòng)鏈：上激光測(cè)頭－Z軸－X軸－床身－C軸

上激光測(cè)頭到Z軸的理想坐標(biāo)變換矩陣

Z軸到X軸的理想坐標(biāo)變換矩陣

X軸到Y(jié)軸的理想坐標(biāo)變換矩陣

Y軸到C軸的理想坐標(biāo)變換矩陣

C軸到工件的理想坐標(biāo)變換矩陣

式中，各參數(shù)含義如下：

LSTZ1表示上激光測(cè)頭局部坐標(biāo)系到Z軸局部坐標(biāo)系沿x向偏移距離；

LSTZ2表示上激光測(cè)頭局部坐標(biāo)系到Z軸局部坐標(biāo)系沿z向偏移距離；

L1表示X軸局部坐標(biāo)系到Y(jié)軸局部坐標(biāo)系沿x向偏移距離；

L2表示Y軸局部坐標(biāo)系到C軸局部坐標(biāo)系沿x向偏移距離；

L3表示Y軸局部坐標(biāo)系到C軸局部坐標(biāo)系沿z向偏移距離。

3.2 測(cè)量機(jī)考慮幾何誤差后相鄰體間的特征變換矩陣

為得到測(cè)量機(jī)激光測(cè)頭在考慮幾何誤差影響后的實(shí)際空間位置，需建立測(cè)量機(jī)各聯(lián)動(dòng)軸相鄰坐標(biāo)系實(shí)際坐標(biāo)變換矩陣。由于激光測(cè)頭通過(guò)夾具安裝在運(yùn)動(dòng)軸上后，與運(yùn)動(dòng)軸沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以不存在運(yùn)動(dòng)幾何誤差。

（1）上激光測(cè)頭運(yùn)動(dòng)鏈

Z軸到X軸的實(shí)際坐標(biāo)變換矩陣

X軸到Y(jié)軸的實(shí)際坐標(biāo)變換矩陣

Y軸到C軸的實(shí)際坐標(biāo)變換矩陣

C軸到工件的實(shí)際坐標(biāo)變換矩陣

3.3 測(cè)量機(jī)空間誤差模型的建立

根據(jù)以上各相鄰運(yùn)動(dòng)軸之間的變換關(guān)系，得到理想情況下激光測(cè)頭坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣和實(shí)際激光測(cè)頭坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，并且可算出激光測(cè)頭運(yùn)動(dòng)幾何綜合誤差變換矩陣，結(jié)合垂直度誤差，得到測(cè)頭綜合誤差矩陣，最終建立測(cè)量機(jī)空間誤差模型。

上激光測(cè)頭坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的理論變換矩陣和實(shí)際變換矩陣位：

令Es=為上激光測(cè)頭運(yùn)動(dòng)幾何綜合誤差變換矩陣，

由Q′WST=QWSTEs，可得：

上激光測(cè)頭空間位姿誤差如下：

由此可得上激光測(cè)頭綜合誤差矩陣

其中：

設(shè)測(cè)量機(jī)上測(cè)頭位置點(diǎn)Q在上激光測(cè)頭坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 Qt=（Qx，Qy，Qz，1），點(diǎn) Q 在工件理想坐標(biāo)系與實(shí)際坐標(biāo)系之間的差值為：

式22即為測(cè)量機(jī)空間幾何誤差模型，根據(jù)測(cè)量機(jī)幾何誤差測(cè)量與求解可得到上述特征矩陣的參數(shù)值，代入式22得到測(cè)量機(jī)空間幾何誤差模型數(shù)學(xué)表達(dá)式。

4 測(cè)量機(jī)幾何誤差敏感性分析

研究各運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)螺旋槳葉面葉背測(cè)量精度的影響時(shí)，涉及的變量有6個(gè)運(yùn)動(dòng)軸，每個(gè)軸有6項(xiàng)誤差分量。在未考慮耦合誤差影響的情況下，計(jì)算單一軸、單一方向誤差產(chǎn)生的擬合曲面法向誤差值，根據(jù)擬合曲面法向誤差值的大小確定影響螺旋槳葉面葉背測(cè)量精度的主要因素和次要因素。

4.1 測(cè)量機(jī)各軸誤差分量影響分析

測(cè)量機(jī)為上下雙聯(lián)動(dòng)結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)軸數(shù)較多，造成測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)幾何誤差分量也較多，這樣就為綜合幾何誤差求解和幾何誤差標(biāo)定帶來(lái)了巨大的困難。因此必須分析各運(yùn)動(dòng)軸各項(xiàng)誤差對(duì)測(cè)量機(jī)測(cè)量誤差的影響效果，指導(dǎo)后續(xù)的空間幾何誤差補(bǔ)償和誤差標(biāo)定工作。

以3400螺旋槳1號(hào)葉片模型為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，分別對(duì)上激光測(cè)頭－Z軸－X軸－床身－C軸和下激光測(cè)頭－W軸－U軸－床身－C軸兩條運(yùn)動(dòng)鏈各誤差分量進(jìn)行分析。針對(duì)單一軸、單一方向誤差分量，誤差等級(jí)分別為 0.001，0.005，0.025，0.125.首先根據(jù)設(shè)計(jì)模型參數(shù)點(diǎn)x，y，z坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換成G代碼后，在G代碼正解過(guò)程中考慮某一運(yùn)動(dòng)軸某一誤差傳遞矩陣，得到實(shí)際點(diǎn) x′，y′，z′坐標(biāo)值，通過(guò)設(shè)計(jì)模型參數(shù)點(diǎn) x，y，z和實(shí)際點(diǎn) x′，y′，z′擬合的曲面法向誤差值分析誤差影響大小，表1和表2分別為葉片上表面運(yùn)動(dòng)鏈C軸誤差分量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和Y軸誤差分量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表1 C軸誤差分量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（單位：mm）

表2 Y軸誤差分量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（單位：mm）

同理計(jì)算出X軸、Z軸、U軸、W軸和葉片下表面運(yùn)動(dòng)鏈C軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

4.2 測(cè)量機(jī)幾何誤差敏感性分析

根據(jù)上下運(yùn)動(dòng)鏈各軸誤差分量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得到上下葉片傳動(dòng)鏈誤差影響分析表，如表3所示。

表3 上葉片傳動(dòng)鏈誤差影響分析表

（續(xù)下表）

（續(xù)上表）

軸誤差類別 測(cè)量誤差與軸向誤差比例δx Z 0.15 δy 0.75 δz 1 εα 9.1 εβ 4.4 εγ 2

通過(guò)比較測(cè)量誤差與軸向誤差比例大小分析上下運(yùn)動(dòng)鏈關(guān)節(jié)誤差分量對(duì)最終測(cè)量精度的影響大小，上葉片：

Y（εβ） ＞ C（εβ） ＞ X（εα） ＞ C（εα） ＞ Z（εα）＞ Y（εγ）=C（εγ）=Y（εα）＞ X（εβ）＞ Z（εβ）＞＞其他

從結(jié)果可以看出上運(yùn)動(dòng)鏈中Y軸繞Y方向的角度誤差對(duì)螺旋槳槳葉上表面輪廓測(cè)量誤差影響最大，下運(yùn)動(dòng)鏈求解方法類似?？傮w看來(lái)，各軸的角度誤差比位置誤差對(duì)槳葉表面測(cè)量誤差的影響大。

5 結(jié)論

本文對(duì)專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)空間幾何誤差模型進(jìn)行研究，分析測(cè)量機(jī)組成結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)鏈傳遞關(guān)系，運(yùn)用多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論得到相鄰體間的特征變換矩陣，建立測(cè)頭到工件的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過(guò)測(cè)頭位置點(diǎn)建立測(cè)量機(jī)空間誤差模型。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)螺旋槳測(cè)量精度影響，結(jié)果表明該算法能實(shí)現(xiàn)專用雙臂螺旋槳測(cè)量機(jī)的幾何誤差敏感性分析。

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Sensitivity Analysis of Geometric Error of Measuring Machine Based on the theory of Multi-body System

ZHENG Yan1，CHEN Xu－bing1，LIU Qin2，PENG Fang－yu2
（1.HUST-Wuxi Research Institute，Wuxi Jiangsu 214174，China；2.National NC System Engineering Research Center，Huazhong University of Science&Technology，Wuhan Hubei 430074，China）

A geometrical error sensitivity analysis method based on the theory of multi-body system is proposed to ensure the geometric accuracy of the special two-arm propeller measuring machine.A kinematic model considering the geometric error of motion is established for the relationship between the structure and geometric error of the special propeller measuring machine.The mult-body system theory is used to solve the feature transformation matrix between adjacent bodies，and the error model is established according to the geometric error and the motion geometry error of the special measuring machine.The results show that the algorithm can realize the geometric error sensitivity analysis of the special two-arm propeller measuring machine by comparing the geometric error of the motion axis with the accuracy of the propeller.

special two-arm propeller measuring machine；geometric error；multi-body system theory；sensitivity analysis

TP391.7

A

1672-545X（2017）09-0093-06

2017-06-01

國(guó)家科技支撐計(jì)劃（編號(hào)：SQ2015BAJY2541）；江蘇省“雙創(chuàng)計(jì)劃”人才項(xiàng)目；江蘇省產(chǎn)學(xué)研前瞻性聯(lián)合研究項(xiàng)目（編號(hào)：BY2015022-03）

鄭 妍（1989－），女，江蘇無(wú)錫人，碩士，工程師，研究方向：機(jī)械工程；陳徐兵（1982－），男，江蘇南通人，工程師，碩士，華中科技大學(xué)無(wú)錫研究院工程師；劉 琴（1989－），女，江蘇泰州人，學(xué)生，碩士，華中科技大學(xué)國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心碩士研究生；彭芳瑜（1972－），男，江西宜豐人，高級(jí)工程師（教授、博導(dǎo)），博士，華中科技大學(xué)國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心教授、博士研究生導(dǎo)師。