王琪

[摘 要] 近幾年的高考數(shù)學(xué)中，以直線與圓的位置關(guān)系為載體的考題出現(xiàn)頻次很高，該內(nèi)容既包含了圓的相關(guān)性質(zhì)，也結(jié)合了解析幾何的分析方法，如何使學(xué)生學(xué)好直線與圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，為教師提出了更高要求. 筆者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合學(xué)情制定了相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)，以供教學(xué)參考.

[關(guān)鍵詞] 直線與圓；位置；整體性；教材

“直線與圓的位置關(guān)系”是高中重要的內(nèi)容，不僅可以解決直線與圓的相關(guān)題目還是研究解析幾何問(wèn)題的基礎(chǔ). 該內(nèi)容建立在初中相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)之上，開(kāi)展教學(xué)要注意對(duì)初中知識(shí)的回顧和延伸，結(jié)合典型例題開(kāi)展拓展延伸，充分挖掘?qū)W生潛能，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)流程

1. 情境創(chuàng)設(shè)，開(kāi)課引入

預(yù)設(shè)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入直線與圓的位置關(guān)系，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)說(shuō)明研究直線與圓的位置關(guān)系具有現(xiàn)實(shí)意義，提高學(xué)生的重視程度.

2. 重溫舊知，學(xué)習(xí)預(yù)熱

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：在初中平面幾何中，直線與圓存在哪幾種位置關(guān)系？

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：在初中階段是如何判斷直線與圓的位置關(guān)系的？

預(yù)設(shè)意圖：學(xué)生非常熟悉初中的知識(shí)，通過(guò)回顧初中的舊知讓學(xué)生充滿自信，用熟悉的方法解決高中的知識(shí)，完滿結(jié)合數(shù)形，使課堂教學(xué)順利開(kāi)展.

3. 問(wèn)題提出，自主探究

問(wèn)題：已知直線l：4x+3y=40和圓心在C的圓x2+y2=100，試判斷直線l與圓的位置關(guān)系. 若相交，求交點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)問(wèn)：判斷直線與圓的位置關(guān)系有哪些方法？類比初中的知識(shí)，歸納總結(jié)解題思路.

總結(jié)：有兩種方法，幾何法：首先確定圓心坐標(biāo)和半徑r，然后計(jì)算圓心到直線的距離d，通過(guò)比較r與d的大小關(guān)系，確定它們的位置關(guān)系；代數(shù)法：求解直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，將直線方程帶入圓的方程中可得一元二次方程，分析Δ的大小，Δ>0，即有兩解可得兩個(gè)交點(diǎn)，則直線與圓相交；Δ=0，有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與圓相切；Δ<0，直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)，則相離.

設(shè)計(jì)意圖：以漸進(jìn)式問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生參與到討論中，這樣的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了知識(shí)形成發(fā)展的過(guò)程，使學(xué)生自己構(gòu)建判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，對(duì)比學(xué)習(xí)后加深理解，為學(xué)生以后的自主學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

4. 典例講評(píng)，拓展變式

例題：現(xiàn)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-1，0），B（1，0），C（3，2），它的外接圓為⊙H.

（1）如果直線l經(jīng)過(guò)了點(diǎn)C，且被⊙H截得的弦長(zhǎng)為2，求l的具體方程；

（2）在線段BH上有任意一點(diǎn)P，如果以C為圓心的圓上存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M位于線段PN的中點(diǎn)，求⊙C半徑r的取值范圍.

（2）如圖2所示，點(diǎn)P位于線段BH上，設(shè)P（m，3-3m）（0≤m≤1），經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN，垂足為E，則E就為MN的中點(diǎn)，又因M就為PN的中點(diǎn)，則有PE=3EN. 假設(shè)CE=d（0≤d

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)不能局限于知識(shí)講授，學(xué)以致用是最終目的，因此開(kāi)展典例講評(píng)是十分必要的，充分挖掘例題中的精髓，可以有效地加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，通過(guò)讓學(xué)生在問(wèn)題中思考，可以極大地提升學(xué)習(xí)效率.

5. 變式拓展，高考銜接

（2014年江蘇高考卷）如圖3所示，為保護(hù)河上的一座古橋，規(guī)劃建設(shè)一座新橋BC，同時(shí)設(shè)置了一個(gè)圓形的保護(hù)區(qū)，要求為：新橋BC要與河岸AB相垂直；現(xiàn)已知保護(hù)區(qū)的邊界是圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，古橋兩端O和A到圓上任意一點(diǎn)的距離都不少于80 m，經(jīng)過(guò)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位

（1）求新橋BC的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)OM為多少時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積達(dá)到最大？

教學(xué)立意的深入探究

1. 抓住中學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，透析數(shù)學(xué)教材

用幾何的代數(shù)方法研究幾何的本質(zhì)性質(zhì)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，高中數(shù)學(xué)教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中要求教師要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.教材是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要依托，因此需要教師充分研讀教材，掌握教材的編寫體系以及知識(shí)結(jié)構(gòu)，合理地編寫教學(xué)設(shè)計(jì).本課題依托教材開(kāi)展典例講評(píng)與合作探究，把握適度原則，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的自然過(guò)渡，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，有著良好的教學(xué)效果.

2. 開(kāi)展探究教學(xué)，促進(jìn)思維發(fā)展

現(xiàn)代中學(xué)的教學(xué)理念要求課堂教學(xué)要注重探究過(guò)程，充分使學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)中，因此教師要充分把握學(xué)情，利用教學(xué)資源對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)性教育. 知識(shí)的講授是建立在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的，要將更多的時(shí)間交給學(xué)生，充分使學(xué)生在探究思考、活動(dòng)交流中展現(xiàn)自我，養(yǎng)成自我發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、獲取、感悟的思維習(xí)慣，開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.本課的開(kāi)展利用了學(xué)生的舊知，從已有知識(shí)進(jìn)行延伸，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，以問(wèn)題的形式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，討論交流中促進(jìn)思維發(fā)展，推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，將自主學(xué)習(xí)與合作交流巧妙地融合在一起，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)效率的最大化.

3. 注重知識(shí)銜接，把握數(shù)學(xué)整體性

中學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是在原有知識(shí)基礎(chǔ)上的延伸，高中的知識(shí)點(diǎn)很多，包括函數(shù)、幾何、方程等，但這些知識(shí)的學(xué)習(xí)都是建立在初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上. 學(xué)生的認(rèn)知能力是有限的，因此教學(xué)在課堂開(kāi)展之前必須充分熟悉初中教材，沿用擴(kuò)展初中知識(shí)的教法，做好知識(shí)點(diǎn)的銜接過(guò)渡.數(shù)學(xué)是整體性的，整體性既體現(xiàn)在內(nèi)容上也反映在數(shù)學(xué)思想上，只有把握數(shù)學(xué)整體性，才能制定合理的教學(xué)目標(biāo)，把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)本質(zhì)，本課探究直線與圓的位置關(guān)系，正是對(duì)知識(shí)銜接與數(shù)學(xué)整體性的詮釋.

結(jié)束語(yǔ)

直線與圓的問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，卻包含著眾多經(jīng)典問(wèn)題，教師在教學(xué)中要充分研讀教材，把握學(xué)情，在學(xué)生原有知識(shí)體系上開(kāi)展教學(xué)拓展，同時(shí)要優(yōu)選例題，結(jié)合典型例題開(kāi)展教學(xué)討論，通過(guò)合作交流的方式使學(xué)生獲得知識(shí)和能力的提升.