祁俊威， 王春潔,2,*， 丁建中

1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院， 北京 100083 2.北京航空航天大學(xué) 北京市數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100083

基于降維算法和等效桿長(zhǎng)的可展結(jié)構(gòu)精度分析

祁俊威1， 王春潔1,2,*， 丁建中1

1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院， 北京 100083 2.北京航空航天大學(xué) 北京市數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100083

考慮鉸鏈間隙和桿件尺寸誤差的不確定性并通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)方法對(duì)其進(jìn)行研究，提出了一種基于單變量降維算法(UDRM)和等效桿長(zhǎng)模型的可展結(jié)構(gòu)精度分析方法。利用UDRM將可展結(jié)構(gòu)的精度性能函數(shù)解耦為多個(gè)桿件尺寸誤差的獨(dú)立作用形式，建立精度分析模型。引入等效桿長(zhǎng)模型，等效桿件替代原桿件進(jìn)行精度計(jì)算。將鉸鏈間隙與原始桿件尺寸誤差合并到等效桿件的尺寸誤差中，同時(shí)證明了等效桿長(zhǎng)尺寸誤差近似服從正態(tài)分布。以某衛(wèi)星可展開(kāi)天線為算例，結(jié)合高斯求積公式求解展開(kāi)狀態(tài)下精度指標(biāo)的分布期望和方差。通過(guò)與蒙特卡羅模擬(MCS)和一次二階矩(FOSM)法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了本文精度分析方法的正確性和高效性。

鉸鏈間隙； 尺寸誤差； 可展開(kāi)結(jié)構(gòu)； 精度分析； 降維算法； 等效桿長(zhǎng)

可展開(kāi)結(jié)構(gòu)在空間衛(wèi)星中應(yīng)用越來(lái)越廣泛，對(duì)其工作構(gòu)型精度的要求越來(lái)越高。空間可展開(kāi)結(jié)構(gòu)通常具有尺寸大等特點(diǎn)，其在軌工作精度和機(jī)械誤差緊密相關(guān)?？烧归_(kāi)結(jié)構(gòu)多設(shè)計(jì)為鉸接多閉環(huán)連桿機(jī)構(gòu)，其機(jī)械誤差主要來(lái)源于構(gòu)件間運(yùn)動(dòng)副間隙以及構(gòu)件自身尺寸誤差[1-4]。這些誤差不僅使可展開(kāi)結(jié)構(gòu)實(shí)際工作狀態(tài)與理論設(shè)計(jì)狀態(tài)存在一定偏差，嚴(yán)重時(shí)還可能造成其在軌工作失效。

鉸鏈間隙和桿件尺寸誤差使得可展開(kāi)結(jié)構(gòu)工作階段呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)不確定性[5-6]，衡量不確定性的大小可以借助隨機(jī)變量期望和方差的概念?，F(xiàn)今已有多種求解功能函數(shù)響應(yīng)期望和方差的方法，如一次二階矩(First Order Second Moment, FOSM)法[7-8]、蒙特卡羅模擬(Monte Carlo Simulation, MCS)[9-10]、響應(yīng)面法(Response Surface Method, RSM)[11-12]等。上述方法中FOSM法需已知功能函數(shù)的梯度信息，但當(dāng)功能函數(shù)為隱式或形式復(fù)雜時(shí)梯度運(yùn)算困難；MCS為了獲得較高精度的結(jié)果所需計(jì)算量巨大，耗時(shí)長(zhǎng)；RSM面對(duì)非線性較高的工程問(wèn)題需要用到高階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，但多項(xiàng)式的擬合范圍有限從而影響到結(jié)果精度。Rahman和Xu提出了一種單變量降維算法(Univariate Dimension Reduction Method, UDRM)[13]，該方法能夠避免對(duì)功能函數(shù)梯度的求解，可極大降低計(jì)算工作量，在結(jié)構(gòu)可靠度應(yīng)用方面取得了很好的效果[14-16]。

本文提出了單變量降維和等效桿長(zhǎng)模型的可展開(kāi)結(jié)構(gòu)精度分析方法。將可展開(kāi)結(jié)構(gòu)中的桿件尺寸誤差和鉸鏈間隙視作隨機(jī)變量，建立可展開(kāi)結(jié)構(gòu)精度分析的通用模型。以某可展開(kāi)天線為研究對(duì)象，結(jié)合高斯求積公式求解精度指標(biāo)的期望和方差。最后通過(guò)與蒙特卡羅模擬和一次二階矩法對(duì)比驗(yàn)證本文精度分析方法的正確性和高效性。

1 單變量降維算法

假設(shè)n維向量S=[s1s2…sn]T為系統(tǒng)輸入變量，g(S)為由S決定的系統(tǒng)輸出。則g(S)降維展開(kāi)表達(dá)式為

g12…n(s1,s2,…,sn)

(1)

式中：g0為對(duì)g(S)產(chǎn)生的零階影響；gi(si)為變量si單獨(dú)對(duì)g(S)產(chǎn)生的一階影響；gi1i2(si1,si2)為變量si1和si2聯(lián)合對(duì)g(S)產(chǎn)生的二階影響；gi1i2…ik(si1,si2,…,sik)為變量si1,si2,…,sik共同對(duì)g(S)產(chǎn)生的k階影響；g12…n(s1,s2,…,sn)為所有變量對(duì)g(S)產(chǎn)生的影響。

選取隨機(jī)變量空間中任一參考點(diǎn)S0=[s01s02…s0n]T，并將g(S)在參考點(diǎn)處展開(kāi)可得

(2)

式中：

(3)

可求得輸出響應(yīng)的期望和方差為

(4)

式中：E(·)為期望算子；D(·)為方差算子；

(5)

其中：ρ為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

當(dāng)g為隱式函數(shù)或表達(dá)式復(fù)雜時(shí)，若直接對(duì)式(5)進(jìn)行積分運(yùn)算，計(jì)算十分困難。因此本文利用高斯求積公式對(duì)誤差函數(shù)的期望和方差進(jìn)行求解，式(5)可轉(zhuǎn)化為

(6)

2 等效桿長(zhǎng)模型分析

當(dāng)可展開(kāi)結(jié)構(gòu)構(gòu)型變得復(fù)雜時(shí)，桿件和鉸鏈數(shù)目增多，單變量降維方法得到的展開(kāi)項(xiàng)也隨之增多，直接求解計(jì)算量增大。為了減少變量數(shù)目、降低計(jì)算量，引入等效桿長(zhǎng)模型。等效桿件由一根桿件和其所連接的一個(gè)或兩個(gè)鉸鏈間隙組成，將其作為一個(gè)整體計(jì)算等效桿長(zhǎng)，再將等效桿長(zhǎng)替代原始桿長(zhǎng)進(jìn)行精度指標(biāo)響應(yīng)的求解，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

2.1 等效桿件尺寸確定

無(wú)質(zhì)量虛擬連桿法是分析含間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性的主要手段之一[17]。將間隙用無(wú)質(zhì)量的連桿代替，分析時(shí)只需確定虛擬桿的長(zhǎng)度和方位，來(lái)表示間隙矢量的大小和方向即可。機(jī)構(gòu)中由鉸鏈連接的兩個(gè)構(gòu)件，如圖1所示，銷軸外徑為ra，襯套內(nèi)徑為rb，可以得到間隙圓半徑大小為rc=rb-ra。

連桿兩端均有鉸鏈間隙與只有一端有鉸鏈間隙兩種情況下的分析方法相同。下面以連桿兩端均含有鉸鏈間隙為例，等效桿長(zhǎng)示意圖如圖2所示，其計(jì)算方法為[18]

(7)

式中：li為原始桿長(zhǎng)；Li為等效桿長(zhǎng)；x1i、y1i和x2i、y2i分別為以襯套中心為局部坐標(biāo)的兩個(gè)銷軸的圓心坐標(biāo)值，銷軸圓心在襯套內(nèi)位置隨機(jī)分布，應(yīng)滿足

(8)

圖1 含間隙鉸鏈模型Fig.1 Joint clearance model

圖2 等效桿長(zhǎng)模型Fig.2 Effective link length model

2.2 等效桿長(zhǎng)誤差分析

現(xiàn)對(duì)等效桿長(zhǎng)模型進(jìn)行誤差分析，首先在各參數(shù)名義值處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)二階展開(kāi)，可得

(Δy2-Δy1)2]+O

(9)

式中：F=(x2-x1+l)(Δx2-Δx1+Δl)+(y2-y1)(Δy2-Δy1)；Δx1、Δy1、Δx2、Δy2和Δl分別為x1、y1、x2、y2和l的誤差值；O為高階微小量，計(jì)算中可以忽略；(1/L)3?(1/L)，計(jì)算中可以被忽略；第3項(xiàng)為高次項(xiàng)，計(jì)算時(shí)也可以被忽略。因此在計(jì)算等效桿長(zhǎng)誤差ΔL時(shí)展開(kāi)至一階項(xiàng)就能夠保證計(jì)算精度。

間隙尺寸x1、y1和x2、y2可看做參數(shù)名義值均為0的隨機(jī)變量，則L的誤差可以化簡(jiǎn)為

(10)

因此易得L誤差的期望與方差為

(11)

通常假設(shè)構(gòu)件尺寸的加工誤差服從正態(tài)分布，則其尺寸的期望和方差有

(12)

即

li～N(μli,σli)i=1,2,…,n

在空間無(wú)自重?zé)o外力的自由漂浮狀態(tài)下，可以假設(shè)銷軸中心在間隙圓內(nèi)均勻分布，可得銷軸圓心坐標(biāo)的概率密度函數(shù)為[6]

ρ(xi)=

(13)

式中：rci為第i個(gè)鉸鏈的間隙圓半徑；xi為間隙沿x軸的分量。yi與xi具有相同形式的概率密度函數(shù)，由此計(jì)算可得xi和yi的期望和方差為

(14)

2.3 等效桿長(zhǎng)誤差分布確定

Δx1、Δx2和Δl為相互獨(dú)立的誤差變量，則ΔL的概率密度函數(shù)可通過(guò)如下卷積的方式進(jìn)行計(jì)算：

(15)

式中：*為卷積符號(hào)。

進(jìn)而可以得到等效桿長(zhǎng)誤差的卷積形式為

ρΔx1,Δx2,Δl(ΔL)=ρΔx1*ρΔx2*ρΔl(ΔL)

(16)

將式(13)代入式(16)，發(fā)現(xiàn)間隙尺寸部分的卷積是一個(gè)瑕點(diǎn)積分的形式，即使采用數(shù)值積分也難以進(jìn)行求解，導(dǎo)致等效桿長(zhǎng)誤差ΔL概率密度函數(shù)的精確表達(dá)式難以求得。因此本節(jié)采用Edgeworth級(jí)數(shù)對(duì)其概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)[19-20]。

概率密度函數(shù)Edgeworth級(jí)數(shù)展開(kāi)式定義為

(17)

式中：φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)；ΔL*為經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化變換的等效桿長(zhǎng)誤差，即ΔL*=(ΔL-μΔL)/σΔL；κn為ΔL第n階中心距，其表達(dá)式為

(18)

(19)

通常利用隨機(jī)變量前4階矩信息進(jìn)行擬合，能夠得到較好的近似結(jié)果[21-22]。計(jì)算可得ΔL的概率分布Edgeworth級(jí)數(shù)估計(jì)的前4階展開(kāi)式為

[(ΔL*)4-6(ΔL*)2+3]

(20)

式中：航天領(lǐng)域大型衛(wèi)星制造公差一般小于0.05 mm，中小衛(wèi)星制造公差一般小于0.03 mm，本文取rc為0.2 mm進(jìn)行分析；ΔL*經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化處理后取值主要落在(-3,3)之間?，F(xiàn)對(duì)2項(xiàng)取值進(jìn)行估計(jì)

(ΔL*)4-6(ΔL*)2+3=

((ΔL*)2-3)2-6∈[-6,30)

計(jì)算可得式(20)中的第2項(xiàng)取值在[-5×10-5,2.5×10-4)之間，要遠(yuǎn)小于1，在實(shí)際應(yīng)用中可以忽略不計(jì)。因此ΔL*的概率密度分布估計(jì)可化簡(jiǎn)為

f(ΔL*)≈φ(ΔL*)

(21)

一組桿件尺寸誤差和鉸鏈間隙的分布參數(shù)如表1所示。

由圖3可知兩種方法的結(jié)果吻合很好，證明了本節(jié)推導(dǎo)方法的正確性，等效桿長(zhǎng)的誤差服從正態(tài)分布，因此在求解誤差函數(shù)期望和方差時(shí)可利用Gauss-Hermite求積公式。等效桿長(zhǎng)替代原始桿長(zhǎng)和鉸鏈間隙，最終誤差函數(shù)的期望和方差表示為

(22)

表1桿件尺寸誤差和鉸鏈間隙分布參數(shù)

Table1Distributionparametersoflinklengtherrorandjointclearance

VariableDistributionformExpectation/mmVariance/mm2Jointclearance(0．1mm)Uniformincircle00．0025LengtherrorNormal00．01

圖3 MCS和Edgeworth級(jí)數(shù)推導(dǎo)結(jié)果比較 Fig.3 Comparison of results of MSC and Edgeworth series

式中：L為各桿件等效長(zhǎng)度組成的向量；μL為等效桿長(zhǎng)均值組成的向量。

本文方法的計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 精度分析模型計(jì)算流程圖Fig.4 Flow chart of calculation with precision analysis model

3 算例分析

3.1 天線展開(kāi)構(gòu)型

本文以某型號(hào)可展開(kāi)天線為例進(jìn)行分析?？烧归_(kāi)天線由1套可折疊的空間支撐桁架來(lái)保證其剛度和精度。天線在軌展開(kāi)之后由支撐桁架固定在展開(kāi)工作狀態(tài)。支撐桁架關(guān)于展開(kāi)方向與天線板垂線方向所構(gòu)成的平面對(duì)稱，在進(jìn)行展開(kāi)狀態(tài)精度分析時(shí)可簡(jiǎn)化為平面桿系處理。該天線展開(kāi)構(gòu)型如圖5所示。

圖5 可展開(kāi)天線的展開(kāi)構(gòu)型Fig.5 Deployment state of deployable antenna

以根鉸鏈b1轉(zhuǎn)動(dòng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖5所示的全局坐標(biāo)系。鉸鏈b1和d1與星體固連，d3和d4均為復(fù)合鉸鏈。鉸鏈d2、c1和c2處設(shè)置鎖定機(jī)構(gòu)，達(dá)到180° 時(shí)自動(dòng)鎖死。

3.2 指向精度評(píng)定指標(biāo)

引入位置偏差和角度偏差兩個(gè)指標(biāo)對(duì)天線板展開(kāi)結(jié)束后的指向精度進(jìn)行量化評(píng)判，其原理如圖6所示。

取每塊天線板框架與支撐桁架連接點(diǎn)作為測(cè)量的擬合點(diǎn)，即a1、a2、a3和a4，計(jì)算其在引入桿件尺寸誤差情況下的坐標(biāo)值。4個(gè)擬合點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)組成向量X和Y，即

式中：xai為ai點(diǎn)橫坐標(biāo)值；yai為ai點(diǎn)縱坐標(biāo)值。

圖6中兩塊天線板理想位置表示為直線P0，兩塊天線板實(shí)際位置通過(guò)線性回歸算法擬合后表示為直線P1，其方程為

α1x+y+α2=0

(23)

式中：x和y為擬合平面上點(diǎn)的坐標(biāo)值，α1和α2為平面方程參數(shù)，其計(jì)算方法為

位置偏差定義為直線P1與坐標(biāo)軸y的截距，其表達(dá)式為

epos=-α2

(24)

角度偏差定義為直線P1與平面P0的夾角，其表達(dá)式為

圖6 位置偏差及角度偏差測(cè)量原理Fig.6 Measurement principles for position and angular errors

eang=arctan(-α1)

(25)

在理想狀態(tài)下(不考慮鉸鏈間隙和桿件尺寸誤差)，位置偏差和角度偏差值為0 mm和0°；在實(shí)際狀態(tài)下(考慮鉸鏈間隙和桿件尺寸誤差)，位置偏差和角度偏差會(huì)偏離理想值，且偏離越多表示誤差越大。

3.3 計(jì)算結(jié)果及分析

天線各桿件原始尺寸及其誤差分布參數(shù)如表2 所示。

間隙對(duì)鎖定鉸鏈的影響較小，且當(dāng)鎖定角度為π時(shí)，由間隙導(dǎo)致的鎖定角度偏差對(duì)等效桿長(zhǎng)的影響也十分微小，因此本文在計(jì)算指向精度時(shí)將鎖定鉸鏈連接的兩桿視為一個(gè)固定構(gòu)件[6]。按照一定的工藝方法，可假設(shè)所有的鉸鏈間隙都具有同樣的尺寸，令所有間隙圓半徑rc=0.05 mm。通過(guò)單變量降維算法和Gauss-Hermite積分可以直接求解精度指標(biāo)的期望和方差。計(jì)算結(jié)果如表3 所示。

表2天線桿件參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征

Table2Parametricstatisticalcharacteristicsofantennalinks

LinknameOriginalvalue/mmErrorexpectation/mmErrorvariance/mmld1d3467300．01ld3d4 21000．01la1d3480100．01la2d3197500．01la3d4197500．01la4d4480100．01

表3 天線指向精度計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results of antenna pointing precision

從表3可以看出，F(xiàn)OSM法和本文方法與MCS相比位置偏差期望的絕對(duì)誤差分別為0.18 μm 與0.14 μm，角度偏差期望的絕對(duì)誤差分別為(1.90×10-5)°與(3×10-8)°；位置偏差方差的相對(duì)誤差分別為4.84%和0.81%，角度偏差方差的相對(duì)誤差分別為10.68%和0.17%，在期望估計(jì)方面3種方法結(jié)果相差不多，但是對(duì)方差估計(jì)的結(jié)果，本文方法與蒙特卡羅法吻合更好，說(shuō)明了本文精度分析方法的正確性；同時(shí)比較3種方法計(jì)算所需的迭代次數(shù)可以看出，本文方法所需的迭代次數(shù)遠(yuǎn)小于另兩種方法，說(shuō)明了在保證結(jié)果精度的前提下該方法具有高效性。

4 結(jié) 論

1) 提出了一種基于單變量降維算法和等效桿長(zhǎng)模型的可展開(kāi)結(jié)構(gòu)精度分析方法，該方法無(wú)需精度指標(biāo)函數(shù)的梯度信息。

2) 引入等效桿長(zhǎng)模型，將鉸鏈間隙和桿件尺寸誤差轉(zhuǎn)化到桿件等效桿長(zhǎng)誤差上，等效桿長(zhǎng)作為中間變量與可展結(jié)構(gòu)誤差函數(shù)建立聯(lián)系，可減少計(jì)算變量數(shù)目、降低迭代次數(shù)。

3) 以某衛(wèi)星可展開(kāi)天線為算例，通過(guò)與MCS和FOSM法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性與高效性。

4) 本文方法具有流程簡(jiǎn)單、易于編程、求解速度快等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于可展開(kāi)結(jié)構(gòu)的精度分析具有普遍適用性，可為后續(xù)分析與設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

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(責(zé)任編輯： 徐曉)

Precision analysis of deployable structures based on dimensionreduction method and effective link length

QIJunwei1,WANGChunjie1,2,*,DINGJianzhong1

1.SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,BeihangUniversity,Beijing100083,China2.BeijingKeyLaboratoryofDigitalDesignandManufacturing,BeihangUniversity,Beijing100083,China

The uncertainties of joint clearances and link length errors are studied by the method of probability and statistics. A precision analysis method for deployable structure is proposed based on Univariate Dimension Reduction Method (UDRM) and effective link length model. Using the UDRM, the precision function for the deployable structure is decoupled into a combination of independent effects of multiple link length errors to establish the precision analysis model for the structure. The effective link length model is applied to replace the original link length for precision calculation. The effective model converts the joint clearances and link length errors into effective link length errors, which are proved to follow normal distributions. An example of deployable antenna is given to calculate the means and variances in the deployable state with the Gauss quadrature based on the error distributions of link lengths and joint clearances. The correctness and effectiveness of the precision analysis method is verified by comparing the results of Monte Carlo Simulation (MCS) and First Order Second Moment (FOSM) method.

joint clearance; length error; deployable structure; precision analysis; dimension reduction method; effective link length

2016-07-06；Revised2016-08-29；Accepted2016-10-26；Publishedonline2016-11-101418

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161110.1418.006.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(51635002)

2016-07-06；退修日期2016-08-29；錄用日期2016-10-26； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-11-101418

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161110.1418.006.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51635002)

*

.E-mailwangcj@buaa.edu.cn

祁俊威， 王春潔， 丁建中． 基于降維算法和等效桿長(zhǎng)的可展開(kāi)結(jié)構(gòu)精度分析J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(6):220590.QIJW,WANGCJ,DINGJZ.PrecisionanalysisofdeployablestructuresbasedondimensionreductionmethodandeffectivelinklengthJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):220590.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0273

V11； TH115

A

1000-6893(2017)06-220590-08

*Correspondingauthor.E-mailwangcj@buaa.edu.cn