文 普寧市麒麟鎮(zhèn)龍峰初級中學(xué) 楊楚紅

由一道中考動點問題引發(fā)對創(chuàng)新教學(xué)的思考

文 普寧市麒麟鎮(zhèn)龍峰初級中學(xué) 楊楚紅

動點問題涉及的知識點多，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法集中，能全面考查學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息以及數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力。本文以2014年廣東中考最后一道動點問題為例，對個人課堂創(chuàng)新教學(xué)片段進(jìn)行分析思考整理，供同行參考。

一、謀攻篇，題型分析

圖1

例題：如圖1，在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC點 D， BC=10cm，AD=8cm，點P從點 B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點P到達(dá)點C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為 t秒 （t＞0）。

（1） 當(dāng)t=2時，連接DE、 DF， 求證：四邊形AEDF為菱形；（2） 在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時，求線段BP的長； （3）是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值，若不存在，請說明理由。

1.縱觀全局，胸有成竹

此題第 （1）題中EF在運動變化過程總能得到四邊形AEDF的一般性結(jié)論，由此再去探討它的特殊性，即四邊形AEDF為菱形，而在整個探討的過程發(fā)現(xiàn)點E、F、D分別是△ABC各邊的中點這一特殊性。在整個運動變化過程中始終不變的還有△AEF∽△ABC的一般性的特征。再由此去研究第 （2）題面積的特殊性，即△PEF的面積的最大值這一特殊性，以及第 （3）題△PEF形狀的特殊性。

2.分析思路，組方殺題

學(xué)生A：第 （1）題是通過E、F、D分別是△ABC各邊的中點，可以用中位線定理來證明得出DH=AH、 EH=FH進(jìn)而證明四邊形AEDF為菱形。

教師引：合理的轉(zhuǎn)化可以快速的形成解題思路，兵法稱 “圍魏救趙”，我們要懂得轉(zhuǎn)個彎思考解決問題。

學(xué)生B：第 （2）題為了得出△PEF的面積的最大值，關(guān)鍵是要得到△PEF的面積公式EF·h，而公式的關(guān)鍵在于找高h(yuǎn)，而高h(yuǎn)會不會是DH的值？

學(xué)生C：第 （2）題我也認(rèn)為公式成立，但理由也是說不出來，可是我能得到

教師引：你是怎樣做到的？

學(xué)生C：由DH=2t，可得AH=8－2t， 由 EF∥BC 知 △AEF∽△ABC。又因為 BC=10cm，AD=8cm，∴解得

學(xué)生 D： 第 （3）題若△PEF為直角三角形，顯然就要思考先尋找 EP2，F(xiàn)P2，EF2的值， 而尋找EP2， FP2， EF2的值又應(yīng)該跟勾股定理有關(guān)系，而勾股定理則要有直角三角形方可破解，而原圖顯然條件不充分，這時，該如何構(gòu)建直角三角形？能不能添加輔助線？

教師引：添輔助線兵法稱 “借刀殺人”，借得好，就成功一半。

學(xué)生E：如果 “借刀殺人”成功的話，那么， 尋找 EP2、FP2、EF2的值就能轉(zhuǎn)化成分別獲取與EP2、 FP2、 EF2相 關(guān)的線段含 t的代數(shù)式，這樣一來就可以將其代人化難為易，最后用勾股數(shù)組去探討△PEF為直角三角形時，求t值的情況。也就是題 （3）可以利用勾股定理去構(gòu)建等式，如EP2=（）2+（）2=？， FP2= （）2+ （）2=？， EF2=（）2+（）2=？然后再去化簡。

學(xué)生H：第 （3）題，不用添加輔助線同樣可以求出t值。通過△PEF的三個內(nèi)角分別為直角時展開分類討論，進(jìn)行取舍t(yī)值，分三種情況討論： ①若∠FEP=90°，則……②若∠EFP=90°，則……③若∠EPF=90°，則利用三角形相似和勾股定理就能解決問題。

二、虛實篇，化險擊破

通過題型分析，題中險阻就充分暴露出來。主要有以下兩點：學(xué)生困惑1，△PEF的高為何是DH的值？學(xué)生困惑2，構(gòu)建直角三角形找EP2、FP2、EF2的值，這輔助線該如何添？當(dāng)學(xué)生在分析問題遇到困阻時，課堂活動則應(yīng)由學(xué)生嘗試分析問題為主過渡到以教師分析講解為主，讓學(xué)生在分析問題受困之處，有例可仿、有境可生，達(dá)到實現(xiàn) “知彼”。 《孫子兵法》云：勝可為也。也就是說在分析問題思路受困時，往往需要添輔助線 “借刀殺人”。

責(zé)任編輯 徐國堅